Первым, кому удалось найти точное решение для эйнштейновских уравнений поля в вакууме вокруг точечной массы, был немецкий астроном Карл Шварцшильд. Он обнаружил решение, описывавшее черную дыру, то есть точечный источник гравитации в абсолютной пустоте. Публикуя работы по общей теории относительности, Эйнштейн прикидывал, что в мире найдется примерно дюжина человек, способных ее понять. Одним из них был Карл Шварцшильд. В 1900 году он написал статью о возможной кривизне пространства. Это было еще до появления специальной теории относительности. Он рассуждал, что пространство может обладать положительной кривизной, подобно шару, либо отрицательной кривизной, как у ковбойского седла. Шварцшильд хотел выяснить, каков должен быть радиус этой кривизны с учетом наиболее актуальных на тот момент астрономических наблюдений. Уже тогда он стремился исследовать кривизну пространства. Когда вышла статья Эйнштейна, Шварцшильд очень живо откликнулся на нее: понял эту статью и, что не менее важно, оказался способен справиться со сложной математикой, присущей тензорам кривизны Римана. Он оказался во всеоружии, чтобы извлечь из этих данных что-то новое и оригинальное. Шварцшильду удалось решить задачу, поскольку он стал решать эти уравнения в очень толковой системе координат, позволявшей воспользоваться следующим фактом: задача связана со сферической симметрией и неизменна во времени. Оказалось, что такое решение эйнштейновских уравнений для точечной массы в пустом пространстве описывает внешнюю часть черной дыры.
На Первой мировой войне Карл Шварцшильд подхватил редкое аутоиммунное заболевание, в то время смертельное; в 1916 году он был комиссован по болезни, уже дома узнал о статье Эйнштейна и нашел свое решение. Он отправил решение Эйнштейну, сообщив, что в разгар войны был счастлив «провести некоторое время в саду ваших идей». Через пару месяцев Шварцшильд умер.
Найти такое точное глобальное решение для вакуумных уравнений поля было сложно, как сшить лоскутное одеяло. В каждой точке пространства сшиваем кусочки, и локальные члены кривизны повсюду отличаются, но в сумме они дают ноль. Эти уравнения диктуют правила, по которым можно сшивать лоскуты. Просто шьешь и добавляешь кусочек за кусочком. Но, в конечном итоге, у тебя должно получиться глобальное решение – лоскутное одеяло, – каждая точка которого удовлетворяет этим уравнениям. Это довольно сложно. Карл Шварцшильд оказался одним из первых, кому удалось найти такое решение для искривленного пространства вокруг точечной массы.
Сын Карла Шварцшильда Мартин долгое время работал в Принстоне и был нашим коллегой (см. рис. 8.3). Он также стал астрономом и внес серьезный вклад в науку. Так, Мартин определил, что такие звезды, как Солнце, рано или поздно становятся красными гигантами. Он определенно пошел по стопам отца, которого, в сущности, и не знал – тот умер, когда Мартину было всего 4 года. Интересно, что Карл в Первую мировую войну сражался за Германию, а Мартин бежал из Германии после того, как к власти пришел Гитлер, и во Вторую мировую войну выступал против Германии на стороне США.
Чтобы понять, что такое черные дыры, для начала вернемся к ньютоновскому тяготению. Если я возьму мяч и подброшу в воздух, то что произойдет? Мяч немного взлетит, а затем упадет. Есть даже пословица: «Чем выше взлетишь, тем больнее падать». Правда, вот незадача: эта пословица ошибочна. Если не учитывать сопротивление воздуха, то можно кинуть мяч с достаточной скоростью, превышающей вторую космическую, например 40 000 км/ч, – тогда мяч преодолеет земную гравитацию и никогда не упадет. Астронавты «Аполлона» летели к Луне практически на такой скорости. В теории Ньютона есть формула для расчета такой скорости убегания: vуб2 = 2GM/r, где G – ньютонова гравитационная постоянная, M – масса Земли, а r – радиус Земли. Теперь допустим, что у меня есть колоссальный пресс для мусора, при помощи которого я сжал Землю в малюсенький шарик, как будто она бумажная; в таком случае ее радиус уменьшится. Что произойдет со скоростью убегания? Масса Земли останется прежней, а радиус станет гораздо меньше, поэтому скорость, необходимая для отрыва от поверхности, возрастет. В конце концов я могу спрессовать Землю настолько сильно, что вторая космическая скорость сравняется со скоростью света c. Насколько мал должен быть такой радиус? Можно просто подставить в уравнение член vуб2 = c2 = 2GM/r и вычислить r. Получится, что r = 2GM/c2. Эта величина называется «радиус Шварцшильда» в честь Карла Шварцшильда. При такой массе, как у Земли, радиус Шварцшильда равен 8,8 мм. Это размер крупной жемчужины. Если сжать Землю до еще меньшего радиуса, то вторая космическая скорость станет выше скорости света, и ничто, даже свет, с Земли улететь не сможет. Эйнштейн продемонстрировал, что превысить скорость света невозможно, поэтому если сплюснуть Землю до размеров менее радиуса Шварцшильда, то планета необратимо превратится в черную дыру. Мы называем ее «черной дырой», поскольку никакого света от нее не отражается. Масса, заключенная в черной дыре, будет и далее сжиматься все сильнее и сильнее, вторая космическая скорость продолжит расти. В пределах радиуса Шварцшильда гравитация превосходит все остальные силы, и вся масса сжимается в точку, в сингулярность с бесконечной кривизной в центре. Согласно теории относительности, размер такой точки должен быть нулевым, но считается, что под действием квантовых эффектов сингулярность размажется до размера около 1,6 × 10–33 сантиметров, так называемой планковской длины (в главе 24 будет рассказано, откуда берется это число). Эта величина гораздо меньше атомного ядра. В итоге имеем в центре точечную массу (сосредоточенную фактически в нулевом объеме), а вокруг нее – пустое искривленное пространство.
Если бы мы вошли в пределы радиуса Шварцшильда, то смогли бы мы выбраться обратно? Нет. Для этого потребовалось бы развить сверхсветовую скорость, а Эйнштейн продемонстрировал, что это невозможно.
Радиус Шварцшильда черной дыры пропорционален ее массе. Чем больше масса, тем шире будет радиус Шварцшильда. Истина такова, что Землю было бы очень сложно сжать до радиуса Шварцшильда. Но когда массивная звезда сжигает все свое ядерное топливо, от нее остается плотное ядро, которое вполне может уменьшиться до собственного радиуса Шварцшильда. Когда Солнце погибнет, оно превратится в красный гигант, потом от него отделятся газовые оболочки и останется ядро – белый карлик размером примерно с Землю. Если масса звездного ядра окажется больше 1,4 солнечных масс, но не превысит 2 солнечных, то белый карлик будет сжиматься и дальше, пока не превратится в нейтронную звезду радиусом около 12 километров. Нейтронная звезда всего в 2–3 раза крупнее своего радиуса Шварцшильда, поэтому она близка к опасному пределу. Если же попытаться сформировать нейтронную звезду, которая будет немного тяжелее 2 солнечных масс, то получится нестабильный объект, который может сконцентрироваться в пределах радиуса Шварцшильда, – тогда гравитация полностью возобладает и возникнет черная дыра. Черная дыра в 10 солнечных масс, какая может образоваться в итоге гибели и коллапса очень массивной звезды, имеет радиус Шварцшильда 30 километров. У сверхмассивной черной дыры в 4 миллиона солнечных масс – такая черная дыра находится в центре нашей Галактики – радиус Шварцшильда равен 12 миллионам километров (чуть менее 1/10 а.е.). Одна из крупнейших когда-либо обнаруженных черных дыр находится в центре гигантской эллиптической галактики М87. Ее масса – 3 миллиарда солнечных и, соответственно, ее радиус равен 9 миллиардам километров. Эта величина вдвое больше радиуса всей Солнечной системы с учетом орбиты Нептуна.
