Теперь, зная нули, мы можем разложить эту функцию на множители. Она разлагается на множители как (z − 4)(z − 7). По правилу знаков это можно записать и как (4 − z)(7 − z). Еще один способ записи — это 28(1 − z/4)(1 − z/7). Смотрите: так или иначе, мы выразили функцию z2 − 11z + 28 через ее нули! Разумеется, такое можно делать не только для квадратичных функций. Многочлен пятой степени z5 − 27z4 + 255z3 − 1045z2 + 1824z − 1008 тоже можно записать через его нули (каковыми являются числа 1, 3, 4, 7, 12). Вот как: −1008(1 − z/1)(1 − z/3)(1 − z/4)(1 − z/7)(1 − z/12). Любую полиномиальную функцию можно переписать через значения ее нулей.
Полиномиальные функции обладают интересным свойством с точки зрения теории функций комплексной переменной. Область определения полиномиальной функции составляют все комплексные числа. Полиномиальная функция никогда не «обращается в бесконечность». Нет такого значения аргумента z, при котором оказалось бы невозможным вычислить ее значение. При вычислении значения полиномиальной функции для любого заданного значения аргумента используются только возведение аргумента в положительные целые степени, умножение этих степеней на числа и сложение полученных результатов друг с другом. Такое можно проделать со всяким числом.
Функции, область определения которых составляют все комплексные числа и которые ведут себя достаточно симпатичным образом (для чего имеется точное математическое определение!), называются целыми функциями.
[195] Все полиномиальные функции — целые. Показательная функция — тоже целая. Однако рациональные функции, которые мы рассматривали в главе 17.ii, не целые, потому что знаменатели в них могут обращаться в нуль. Функция ln также не является целой: у нее нет значения при нулевом аргументе. Подобным же образом у дзета-функции Римана нет значения при аргументе, равном единице, а потому она не является целой функцией.
Целая функция может не иметь нулей вовсе (как, например, показательная функция: равенство ez = 0 никогда не выполняется), может иметь их несколько (как, например, полиномиальные функции: числа 4 и 7 — нули функции z2 − 11z + 28), а может — бесконечно много (как, например, синус, который обращается в нуль при всех целых кратных числа π).
[196] Ну и раз полиномиальные функции выражаются через свои нули, интересно, можно ли все целые функции выразить подобным же образом? Пусть у нас есть какая-нибудь целая функция — назовем ее F, — определяемая бесконечной суммой вида F(z) = a + bz + cz2 + dz3 + …, и пусть еще нам удалось узнать, что у этой функции бесконечно много нулей; назовем их ρ, σ, τ, …. Можно ли выразить данную функцию через ее нули, в виде бесконечного произведения F(z) = а(1 − z/ρ)(1 − z/σ)(1 − z/τ)… — как если бы бесконечная сумма была чем-то вроде «сверхмногочлена»?
Ответ таков: да, при определенных условиях можно. И когда такое удается сделать, получается, как правило, чрезвычайно полезная штука. Например, именно таким способом — применив подобное рассуждение к синусу — Эйлер и решил базельскую задачу.
Но какая нам польза от всего этого для дзета-функции, которая, увы, не является целой функцией? Дело в том, что в ходе упомянутой выше сложной процедуры обращения Риман преобразовал дзета-функцию в нечто слегка от нее отличающееся — в целую функцию, нули которой суть в точности нетривиальные нули дзета-функции. И эту-то слегка измененную функцию можно выразить через данные нули. (Тривиальные нули спокойно исчезли в ходе преобразования.)
Таким вот образом, после некоторой дополнительной обработки, в конце концов и получается выражение ∑ρLi(xρ), в котором сумму надо брать по всем нетривиальным нулям дзета-функции.
И теперь, чтобы продемонстрировать важность вторичного члена в выражении
(21.1), а также связанные с ним проблемы, мы разберем его на части. Для этого начнем с его сердцевины и будем двигаться изнутри наружу, т.е. сначала рассмотрим xρ, затем функцию Li, а потом уже — вопрос о суммировании по всем возможным значениям буквы ρ.
IV.
Вот, стало быть, перед нами число x, являющееся вещественным. (Окончательная цель всего упражнения состоит в том, чтобы получить формулу для функции π(x), а она осмысленна только для вещественных чисел и даже, честно говоря, для натуральных; правда, мы изменили обозначения от N к x, чтобы использовать средства математического анализа.) С этим x мы делаем такое: возводим его в степень ρ, представляющую собой комплексное число, причем если Гипотеза Римана верна, то комплексное число вида 1/2 + ti (где t — некоторое вещественное число). Это действие само по себе заслуживает обсуждения.
При возведении вещественного числа x в комплексную степень а + bi правила комплексной арифметики предписывают следующее. Модуль результата — т.е. расстояние до нуля, измеряемое по прямой, — есть xa. Буква b на модуль никак не влияет. Зато фаза результата — насколько он повернут и в каком секторе комплексной плоскости лежит — зависит от x и b, но a на фазу не влияет.
При возведении вещественного числа x в степень 1/2 + ti, таким образом, модуль результата есть x в степени 1/2, т.е. √x. Фаза при этом может оказаться какой угодно — результат может угодить в любой сектор комплексной плоскости, при условии только, что расстояние от нуля равно √x. Иными словами, если при заданном x вычислять значения выражения xρ для множества различных нулей ρ дзета-функции, то получаемые числа будут разбросаны по окружности радиуса √x в комплексной плоскости с центром в нуле (при условии, что ГР верна!).
