На рисунке 21.2 отмечены точки, представляющие собой результат возведения числа 20 в степень, определяемую первым, вторым, третьим, …, двадцатым нулем дзета-функции. Видно, что результаты разбросаны по окружности радиуса √20 (что равно 4,47213…) в комплексной плоскости, причем без особого порядка. Это происходит потому, что функция 20s отображает критическую прямую в окружность радиуса √20 таким образом, что критическая прямая (вместе со всеми нанесенными на нее нулями дзета-функции) наматывается и наматывается на эту окружность, делая это бесконечное число раз. На математическом языке данная окружность в плоскости значений задается как 20критическая прямая.
Рисунок 21.2. Плоскость значений для функции w = 20z. Показаны значения w для первых двадцати нетривиальных нулей дзета-функции.
Представим себе, что наш приятель муравей Арг топает на север по критической прямой в плоскости аргумента, а на его приборчике выставлена функция 20s; тогда его брат-близнец, муравей Знач, отслеживая соответствующие значения в плоскости значений, нарезает круги по нашей окружности. Он продвигается против часовой стрелки, и к тому моменту, как муравей Арг доберется до первого нуля дзета-функции, муравей Знач одолеет уже почти три четверти своего седьмого круга.
[197]
V.
А теперь мы найдем, одно за одним, значения функции Li во всех этих точках — во всем бесконечном числе этих точек. К сожалению, это комплексные числа, а мы определили функцию Li только для вещественных чисел — как площадь под кривой. Имеется ли способ определить Li также и для комплексных чисел? Что из себя представляют интегралы для комплексных чисел? Да, способ определить эту функцию есть; и, кроме того, да, существует способ интегрировать, когда в этом деле участвуют комплексные числа. Интегрирование на самом деле представляет собой один из важнейших элементов комплексного анализа, объект самых прекрасных и мощных теорем во всем этом разделе. Не вдаваясь в подробности, я скажу только, что, да, функция Li(z) определена
[198] для комплексных чисел z.
На рисунке 21.3 показано, куда функция Li отображает первые 10 точек, изображенных на рисунке
21.2. Другими словами, (точнее, ее отрезок от 1/2 + 14i до 1/2 + 50i). Как видно, эта функция отображает критическую прямую в спираль, идущую против часовой стрелки и приближающуюся к числу πi по мере того, как аргумент взбирается вверх по критической прямой. Там, где функция 20z бесконечно много раз наматывала и наматывала критическую прямую на окружность радиуса √20, применение функции Li разматывает ее в изящную спираль; на ней по-прежнему нарисованы точки, изображающие нули.
Рисунок 21.3. Функция Li(20z) для отрезка критической прямой.
VI.
Теперь примемся за знак сигмы, где надо суммировать эти точки (каждая из которых — просто комплексное число) по всем возможным нетривиальным нулям дзета-функции. Для этого сначала вспомним один момент, который мы до сих пор практически игнорировали. Для каждого нетривиального нуля, расположенного на северной половине критической прямой, имеется соответствующий нуль на ее южной части. Если, например, 1/2 + 14,134725i — нуль дзета-функции, то нулем должно быть и число 1/2 − 14,134725i. На чисто математическом языке можно сказать, что если z — нуль, то и его комплексное сопряжение z' также есть нуль. (Мы помним, что z' произносится как «зет-с-чертой».
{2} Сейчас может оказаться нелишним взглянуть на рисунок
11.2 и освежить в памяти основные факты о комплексных числах.)
При выполнении суммирования южная часть критической полосы играет ключевую роль. На рисунках
21.2 и
21.3 были показаны лишь первые несколько нулей вдоль северной половины критической прямой. Для создания более полной картины, включающей и южную половину этой прямой, в самой левой части рисунка 21.4 показана плоскость комплексных чисел с отмеченной критической полосой от 1/2 − 15i до 1/2 + 15i. Этого достаточно, чтобы был виден первый нуль при 1/2 + 14,134725i, а также его комплексное сопряжение 1/2 − 14,134725i. Они отмечены буквами ρ и ρ'.
Рисунок 21.4. Критическая прямая, продолженная до первой пары нетривиальных нулей, и ее отображение сначала с помощью функции 20z, а затем с помощью функции Li(20z).
Рассматривая эту плоскость как плоскость аргумента для функции 20z, мы получаем на средней части рисунка
21.4 картинку типа «сюда» в плоскости значений — окружность радиуса √20, где, как и на рисунке
21.2, отмечено 20ρ, а наряду с этим отмечено еще и 20ρ'. Заметим, что, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения функции. Такое происходит не со всеми функциями, но, по счастью, происходит с функцией 20z. Если мы применим функцию Li, на этот раз используя в качестве ее плоскости аргумента среднюю часть рисунка
21.4, то мы увидим, что критическая прямая, которая намоталась на эту окружность бесконечное число раз под действием функции 20z, теперь разматывается в симпатичную двойную спираль в правой части рисунка. (Рисунок
21.3 представлял собой «наезд камеры» на верхнюю часть этой спирали.) И по-прежнему, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения.
