В отличие от Больцмана, сосредоточенного на атомах газа с их соответствующими энергиями, в центре внимания Бозе были его ячейки и соответствующие количества фотонов, располагающихся в них. Тогда как у Бозе ячейки были занумерованы («ячейка 1», «ячейка 2» и т. д.) подобно тому, как Больцман нумеровал свои частицы (атомы газа), частицы (фотоны) – нет. Вместо этого он предусматривал только определенное число фотонов, занимающих некоторую ячейку. Так что, если частицы Больцмана можно было отличить друг от друга, то частицы Бозе были неразличимыми (это другая особенность, которую Бозе явно не упомянул)
. Физически это означает, что все фотоны выглядели бы совершенно одинаково, если бы можно было увидеть их «вблизи». Они тождественны.
Более того, опять же, если частицы Больцмана сохранялись (невозможно на досуге просто создать или уничтожить атомы газа), то частицы Бозе – нет. Наконец, Бозе отметил, что для получения формулы Планка необходимо было допустить, что фотон находится в одном из двух состояний поляризации, которые в современной квантовой теории известны как спиновые состояния. Эту замечательную находку Бозе упомянул лишь мимоходом
.
Кризис тождественности
Чтобы лучше понять противопоставление различимого и неразличимого, рассмотрим две монеты. Если мы подбросим каждую из них и будем считать различимыми, то возможные микросостояния системы из этих монет после их падения будут следующими: (О1, О2), (О1, Р2), (Р1, О2) и (P1, P2), где О = орел, Р = решка, а номера обозначают монету 1 и монету 2. Есть четыре различных микросостояния. Однако, если мы не будем нумеровать монеты – то есть сделаем их неразличимыми, – то возможными микросостояниями будут (О, О), (О, Р) и (Р, Р), поскольку теперь (О1, Р2), (Р1, О2) – это одно и то же микросостояние.
На самом деле монеты любого достоинства не являются настолько уж неотличимыми; хотя две монеты могут выглядеть очень похоже, всегда будет некоторая отличительная характеристика, придающая правильному методу «подсчета микросостояний» прежний вид. С другой стороны, микроскопические частицы, такие как атомы, фотоны, электроны и т. д., на самом деле неотличимы друг от друга, и поэтому требуют последний, только что описанный вариант метода подсчета микросостояний, пусть и намного более изощренный.
Именно Бозе ввел такой подход для фотонов, тем самым дав начало тому, что со временем станут называть квантовой статистикой. В 1905 году Эйнштейн защищал определенную эквивалентность света и атомов, в основном заключающуюся в том, что свет – это некая частица (фотон), и атом – это тоже некая частица
. Примерно двадцать лет спустя Эйнштейн был готов распространить эту эквивалентность дальше, применив метод Бозе, использованный для света, к атомам идеального газа, и этим он показал, что кажущийся безобидным метод Бозе привел к серьезным физическим последствиям и для атомов
. Он явно выразил свои чувства по этому поводу:
«Если сделанный Бозе вывод формулы излучения Планка воспринимать всерьез, то тогда нельзя оставить без внимания [мою] теорию идеального газа; поскольку ее оправдывает рассмотрение излучения [света] как квантового газа, и тогда аналогия между квантовым газом [светом] и газом из молекул, должно быть, является полной».
Эйнштейн написал три статьи, касающиеся квантовой теории идеального одноатомного газа. В первой из этих статей (представленной Прусской академии наук всего лишь через восемь дней после того, как Бозе прислал статью для публикации, и опубликованной позднее, в 1924 году) Эйнштейн с успехом применил новый метод Бозе к идеальному газу
, получив выражения для важных термодинамических величин, и проиллюстрировал различие между своей новой теорией и основанной на классической механике. Главным результатом этой статьи является эквивалентность между светом и атомами, которую она начала устанавливать. Вторая статья, которую опубликовали в 1925 году, из всех трех имеет наибольшее значение. Здесь Эйнштейн прямо обращается к неразличимости, присущей методу Бозе, которую сам Бозе никогда не упоминал. Мы видим, что концепция неразличимости, или «потери статистической независимости», как ее тогда называли, вызвала большие волнения в физическом сообществе. Эйнштейн говорил:
«Сторона теории излучения Бозе и моего аналога для идеальных газов, которые критиковались господином Эренфестом и другими коллегами, состоит в том, что в этих теориях кванты, или молекулы, не считаются [различимыми] сущностями; этот вопрос явно не поднимался в наших работах. И это абсолютно верно».
Эйнштейн не делал каких-либо оговорок по поводу неотъемлемой неразличимости. Он просто продолжил в подробностях перечислять отличия между новой теорией и подходом, использующим классическую механику, и привел модифицированную формулу для числа микросостояний неразличимых частиц, которую используют и по сей день. Далее он признал, что есть реальные физические следствия, вытекающие из этой неразличимости: «То есть формула [для числа микросостояний] косвенно выражает определенную гипотезу, касающуюся взаимного, таинственного на данный момент типа влияния молекул друг на друга». Сейчас мы знаем, что это таинственное поведение – всего-навсего одно из многих у микрочастиц.
Другой впечатляющий момент второй статьи Эйнштейна – предсказание очень необычного фазового перехода, происходящего с идеальным квантовым газом. Эйнштейн описал это явление в письме к Паулю Эренфесту (1880–1933): «При определенной температуре молекулы конденсируются без помощи каких-либо сил притяжения, то есть они скапливаются у нулевой скорости».
Другими словами, при понижении температуры атомы в газе начинают «скучиваться», или конденсироваться, в одночастичное состояние с наименьшей энергией, в котором кинетическая энергия равна нулю; есть критическая температура, при которой происходит фазовый переход
. Это эффект становится наиболее выраженным, когда температура понижается до абсолютного нуля, при котором все атомы газа конденсируются в состояние с наименьшей энергией. Разумеется, конденсация газа в жидкое состояние не является ничем особенным.
Многие из нас знакомы с явлением, когда наше «дыхание» (точнее, водяной пар выдыхаемого нами воздуха) конденсируется, когда мы находимся на улице холодным зимнем днем, и благодаря этому становится хорошо видимым. Новация, которую предложил Эйнштейн, состояла в том, что конденсация того особого типа может происходить без воздействия притяжения любого типа. То есть атомы могут «притягиваться друг к другу таинственным образом», что приводит к конденсации даже, опять же, при полном отсутствии любого притяжения (в идеальном газе нет ни притяжения, ни отталкивания между частицами).
В то время конденсацию Бозе – Эйнштейна (БЭК) не воспринимали слишком серьезно, и ее даже критиковали, в частности Эренфест (который в том числе подтолкнул Эйнштейна к написанию третьей и наименее важной статьи из серии). Однако в 1938 году Фриц Лондон (1900–1954) предположил, что БЭК представляет собой механизм, возникающий при фазовом переходе гелия-4 в сверхтекучее состояние. Наконец, в 1995 году предсказание Эйнштейна воплотили в жизнь: используя комбинацию новых технологий, физики-экспериментаторы смогли охладить систему рубидия-87 почти до абсолютного нуля.
