M/N = √2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N, получим M² = 2N². Поскольку M² получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное.
Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K, где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M² = 4K². Чуть ранее мы показали, что M² = 2N², поэтому 2N² = 4K². Разделив на 2, получим N² = 2K². Следовательно, число N² четное, а значит, и N – тоже четное.
Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что √2 можно записать как I/J, – неверно. Таким образом, иррациональность √2 доказана.
Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число √2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание.
Если интересно, можете попробовать доказать аналогичным способом, что иррационально число √4. Разумеется, это не так; √4 = 2/1. Попробуйте просто применить подход, который мы только что использовали, и посмотреть, где он не сработает.
Приложение 4
Творение
Вначале было лишь ничто –
и не существовало
ни Солнца, ни Земли,
ни космоса, ни времени –
и пустота зияла.
Возникло время – и раздался взрыв:
ничто изверглось, словно лава,
наполнилась огнем живым
вселенская душа –
и сердце мира
в волнении затрепетало.
Стремительно как свет росло пространство,
а огненные бури утихали,
и появилась
материя первейшая.
Необычайно хрупкие песчинки,
из коих состоит Вселенная,
перемешались в беспорядке,
казалось, ожидая мощной силы,
которая бы усмирила их.
Вселенная остыла,
материя начала дробиться.
Она дробилась и дробилась
до предела. Мельчайшие частицы
(электроны, глюоны, кварки)
бросалися друг к другу, но бело-голубое пламя, что жгло нещадно,
не позволяло им соединиться.
Пространство расширялось,
а пламя остывало от бела до красна,
и наступила темнота.
И вот остановилось жженье,
частицы сжались и слилися
в атомы:
то были водород и гелий, из которых
все в нашем мире состоит.
Затем под силой притяженья
Те атомы соединились,
Из них возникли облака, и звезды, и галактики,
и их скопленья. И в пустоте впервые
Пространство появилося пустое.
И в звездном облаке
скопилось вещество –
материя
сжималась, нагревалась
и зажглась, и вот он – свет!
И ядра, что сокрыты
внутри таинственной звезды,
вдруг обратились в топливо
и через много лет
наполнили Вселенную всем, веществом –
то были углерод и кислород, железо –
материя жизни,
материя, что зарождалась долго в недрах звезд.
Горело и страдало сердце
таинственной большой звезды. И обессилело вконец,
забилось в судорогах… Но… О чудо! Вспышка –
гравитационная энергия наружу вырвалась и, обрушая жар, воспрянула
и стала ярче тысяч звезд Сверхновая звезда!
Да, ярче, ярче тысяч, мириадов звезд,
светлее, чем галактики.
Крупицы углерода, железа, кислорода
исторглись в космос,
свободу обрели – и обратились в пыль.
То пепел был звезды
и жизни суть.
Что далее?
В галактике с названьем Млечный Путь,
что в сверхскопленье Девы,
пылинки делятся, соединяются, рождая
новую звезду. А рядом
из звездной пыли появляется планета.
И молодое Солнце сжимается и зажигает, согревая своим теплом
младую, девственную Землю.
Приложение 5
Математика неопределенности
Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами.
Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье-анализа
[280] и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов.
