Книга Путеводитель для влюблённых в математику, страница 8 – Эдвард Шейнерман

Чем больше символов в десятичном числе, тем труднее его прочесть. Обычно каждый четвертый разряд отделяют пробелом или запятой ^[33].

Двоичная система устроена схожим образом, просто позиция в записи означает, на какую степень двух (а не десяти) мы должны умножить эту конкретную цифру.

В двоичной системе счисления используются всего два символа: 0 и 1. Разряды здесь тоже растут справа налево, обозначая количество единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. Например, в двоичной записи 10110 означает:

Проверьте, насколько вы ориентируетесь в новой теме: чему равно число 42 в двоичной системе и чему равно число 11011₂ в десятичной ^[34]? Ответы – в конце главы.

Вычисления

Двоичные числа труднее для чтения, чем десятичные. Двоичная запись 1011001 кажется менее привычной, чем десятичная запись того же числа: 89. Преимущество двоичных чисел в том, что их использование облегчает вычисления. Вместо огромного количества математических данных нам необходимы всего две таблицы:

Заметьте, что в таблице умножения 10 означает число два.

Сложение двоичных чисел устроено так же, как в десятичной системе. Например, нам нужно найти сумму 10100₂ и 1110₂. Расположим эти числа друг над другом:

Дальше нужно двигаться справа налево, складывая цифры в каждом столбце и при необходимости перемещая единицу на столбец влево. В нашем случае мы сложим два нуля и получим ноль:

Дальше идет столбец двоек. Мы складываем 1 и 0 (переносить ничего не требуется):

Дальше – столбец четверок. Мы складываем 1 и 1, получаем 10, пишем 0, держим 1 в уме и переносим на столбец влево:

Следующий столбец – восьмерки. Складываем 1 и 0 и 1, получаем 10, пишем 0 и держим 1 в уме:

Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:

Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.

Переведем это на язык десятичных чисел:

Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.

Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:

Умножение на 2:

Лишний ноль на конце дает 11010.

Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 8₁₀ (1000₂) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа.

Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:

Умножение на 11010 можно представить так:

Удобнее умножать в столбик:

А вот и ответ:

Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:

Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.

Дроби

В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую ^[35], мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения: