Магия математики. Как найти x и зачем это нужно – страница 76 | Артур Бенджамин

Онлайн книга «Магия математики. Как найти x и зачем это нужно»

📃 Cтраница 76

Отступление

Почему f(x) = e^x соответствует f'(x) = e^x? Смотрите, в чем секрет. Сначала обратите внимание на то, что

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_466.jpg]

Вспомним, что е, по сути, есть

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_467.jpg]

что означает, что с увеличением n значение члена (1 + 1/n)ⁿ будет все ближе и ближе подходить к e. Теперь предположим, что h = 1/n. При очень большом значении n h = 1/n находится очень близко к 0. Следовательно, при h, близком к 0,

e ≈ (1 + h)1/h

Возведя обе части в степень h (и помня, что (a^b)^c = a^bc), получаем

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_468.jpg]

А есть ли еще такие функции, которые равны своим производным? Есть. Но все они сводятся к y = ce^x, где c заменяется любым действительным числом (в том числе и 0, который превращает функцию в постоянную y = 0).

Не так давно мы выяснили, что при сложении функций производная суммы равна сумме производных. А что насчет умножения? Увы, но производная произведения не равна произведению производных. Тем не менее посчитать ее не очень сложно – для этого достаточно воспользоваться несложной теоремой.

Теорема (правило дифференцирования произведения функций): Если y = f(x)g(x), то

y' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)

Например, согласно правилу дифференцирования произведения, чтобы продифференцировать y = x³e^x, нам нужно взять f(x) = x³ и g(x) = ex. В результате у нас получится

y' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x) = x³e^x + 3x²e^x

Обратите внимание, что при f(x) = x³ и g(x) = x⁵ их произведение, согласно тому же правилу, составит x³x⁵ = x⁸. Производная же будет выглядеть как

y' = x³(5x⁴) + 3x²(x⁵) = 5x⁷ + 3x⁷ = 8x⁷

что полностью соответствует правилу дифференцирования степенной функции.

Отступление

Доказательство (правило дифференцирования произведения функций): Предположим, что u(x) = f(x)g(x). Тогда

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_469.jpg]

А дальше творим истинно математическое волшебство – добавляем к числителю 0, но не привычным способом, а с помощью прибавления и вычитания f(x + h)g(x):

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_470.jpg]

Так как h → 0, в результате имеем f(x)g'(x) + f'(x)g(x), что и требовалось доказать.◻

Но доказанное правило полезно не только в этом конкретном случае – с его помощью можно найти производные других функций. Мы уже доказали, что правило дифференцирования степенной функции верно при положительных значениях показателя степени. Давайте посмотрим, как оно поведет себя при дробных и отрицательных значениях.

Например, согласно правилу дифференцирования степенной функции

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_471.jpg]

Сможем ли мы доказать его с помощью правила дифференцирования произведения? Предположим u(x) = √x. Тогда

u(x) u(x) = √x √x = x

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u(x) u'(x) + u'(x) u(x) = 1

Следовательно,

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_472.jpg]

как мы и предполагали.

Отступление

Правило дифференцирования произведения при отрицательных значениях степени гласит, что y = x⁻ⁿ будет иметь производную

Иллюстрация к книге — Магия математики. Как найти x и зачем это нужно [i_473.jpg]

Чтобы это доказать, возьмем u(x) = x⁻ⁿ, где n ≥ 1. Согласно определению, при x ≠ 0

u(x)xn = x^–ⁿxⁿ = x0 = 1

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u(x)(nxⁿ⁻¹) + u'(x)xⁿ = 0

Книга Магия математики. Как найти x и зачем это нужно, страница 76 – Артур Бенджамин

Онлайн книга «Магия математики. Как найти x и зачем это нужно»