Книга Магия математики. Как найти x и зачем это нужно, страница 77 – Артур Бенджамин

что и требовалось доказать.◻

Следовательно, если y = 1/x = x^–1, то y' = −1/x², если y = 1/x² = x^–2, то y' = −2x^–3 = −2/x³, и т. д.

y = x + 1/x

Отступление

Доказательство: Для доказательства нам потребуется следующая лемма (лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).

Лемма:

Здесь утверждается, что значение любого угла h, равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h, в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin (A + B) из главы 9 говорит нам, что

А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. Подобным же образом

И снова h → 0 дает нам (cos x)(0) – (sin x)(1) = –sin x, что и требовалось доказать.◻

Отступление

То, что

На единичной окружности, часть которой изображена выше, R = (1, 0), а P = (cos h, sin h), где h есть небольшой угол с положительным значением. В прямоугольном треугольнике OQR

Рассмотрим сектор OPR, имеющий клинообразную форму. Площадь единичной окружности равна π1² = π, сектор OPS – ее часть, выражаемая дробью h/(2π). Следовательно, площадь сектора OPR составляет π(h/2π) = h/2.

Так как сектор OPR содержит в себе треугольник OPS, а тот, в свою очередь, – треугольник OQR, сравнение их площадей дает нам

Для положительных значений a, b и c, если a < b < c, то 1/c < 1/b < 1/a. Следовательно,

А так как h → 0, и cos h, и 1/cos h будут стремиться к 1, что и требовалось доказать.

◻

Отступление

С помощью полученного результата и нескольких алгебраических формул (включая cos² h + sin² h = 1) можно доказать, что

◻

tan (x) cos x = sin x

tan x (–sin x) + tan' (x) cos x = cos x