Книга Как же называется эта книга?, страница 24 – Рэймонд М. Смаллиан

Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание «Если Р, то Q», когда оба высказывания Р и Q ложны. Обратимся к нашему примеру. Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена невиновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.

С интересующим нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена невиновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена невиновна? Если связку «если …, то …» понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания Р и Q, то сложное высказывание «Если Р, то Q» означает: «Неверно, что Р истинно, a Q ложно» (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена невиновны, то высказывание (1) следует считать истинным. Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена невиновна. Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена невиновны. Иначе говоря, если Джон и его жена невиновны, то заведомо неверно, что Джон виновен, а его жена невиновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.

Следующий пример еще более причудлив:

Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2) Высказывание (2) означает всего-навсего: «Неверно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула». Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.

К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.

Рассмотрим теперь любые два высказывания Р, Q. Составим из них сложное высказывание:

Если Р, то Q. (3)

Будем обозначать его Р → Q (эту сокращенную запись принято читать либо как «если Р, то Q», либо как «из Р следует Q», либо «Р влечет за собой Q», либо даже «Р имплицирует Q»). Слово «следует» (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: неверно, что Р истинно и Q ложно. Итак, относительно высказывания Р → Q мы располагаем следующей информацией.

Факт 1. Если Р ложно, то Р → Q автоматически истинно.

Факт 2. Если Q истинно, то Р → Q автоматически истинно.

Факт 3. Высказывание Р → Q может быть ложно в том и только в том случае, если Р истинно, a Q ложно.

Факт 1 иногда формулируют иначе: «Из ложного высказывания следует что угодно». Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».

Таблица истинности

Если заданы два высказывания Р, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) Р и Q истинны; 2) Р истинно, Q ложно; 3) Р ложно, Q истинно; 4) Р и Q ложны.

В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание Р → Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких – ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.

Случай 1: Р и Q истинны. Так как Q истинно, то Р → Q истинно (факт 2).

Случай 2: Р истинно, Q ложно. Тогда Р → Q ложно (факт 3).

Случай 3: Р ложно, Q истинно. Тогда Р → Q истинно (факт 1 или факт 2).

Случай 4: Р ложно, Q ложно. Тогда Р → Q истинно (факт 1).

Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:

Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда Р истинно и Q истинно, высказывание Р → Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если Р истинно, Q ложно, то Р → Q ложно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке – что если Р ложно и Q ложно, то Р → Q истинно.

Заметим, что Р → Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.

Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если Р, то Q», достаточно, приняв высказывание Р за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки Р следует заключение Q, то высказывание «Если Р, то Q» истинно.

В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.

А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ

109

О каждом из двух людей А и В известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что А высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то В – рыцарь».

Можно ли определить, кто такие А и В: кто из них рыцарь и кто лжец?

110

У А спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».

Докажите, что А придется съесть свою шляпу.

111

А утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два – четыре». Кто такой А: рыцарь или лжец?

112

А заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два – пять». Кто, по-вашему, А: рыцарь или лжец?

113

Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если В – рыцарь, то я лжец». Кто А и кто В?

114

Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, А и В выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:

А: Если X виновен, то Y виновен.

В: Либо X не виновен, либо Y виновен.

Можно ли утверждать, что А и В однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)

115

У трех обитателей А, В и С острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:

А: В – рыцарь.

В: Если А – рыцарь, то С – рыцарь.