Книга Как же называется эта книга?, страница 25 – Рэймонд М. Смаллиан

Можно ли определить, кто из А, В и С рыцарь и кто лжец?

Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА

116

Предположим, что следующие два высказывания истинны:

1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.

2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.

Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?

117

Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».

Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?

118

На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: «Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?» Я отвечаю: «Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда».

О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?

119

На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее:

1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.

2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.

3) Я либо люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них.

4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.

Кого из девушек я люблю?

Не кажется ли вам, что логики – народ глуповатый? Уж кому, как не мне, знать, люблю я или не люблю Бетти, Джейн, Еву, Маргарет, Сью, Марцию, Диану и всех прочих. Разве для этого непременно нужно сесть за стол и что-то прикинуть на бумаге? Не сочли бы вы странным, если бы жена, спросив у своего высокоученого мужа: «Милый, ты меня любишь?» – услышала бы в ответ: «Минуточку, дорогая», после чего муж уселся бы за письменный стол и после напряженных вычислений через час сказал бы: «Ты знаешь, милая, выходит, что я тебя люблю»?

В этой связи мне вспоминается история, якобы приключившаяся с Лейбницем. Однажды великий философ стал размышлять, не жениться ли ему на некоей даме. Взяв лист бумаги, он разделил его на две части и на одной подробно перечислил все достоинства дамы, а на другой – ее недостатки. Недостатков оказалось больше, и Лейбниц решил воздержаться от женитьбы.

120

Эта задача, хотя и проста, но несколько неожиданна. Предположим, что я либо рыцарь, либо лжец и высказываю два следующих утверждения:

1) Я люблю Линду.

2) Если я люблю Линду, то я люблю Кати. Кто я: рыцарь или лжец?

121. Новый вариант старинной пословицы

Старинная английская пословица гласит: «Под приглядом котел не закипит». Как я установил, это утверждение ложно. Однажды мне довелось приглядывать за котлом, стоявшим на раскаленной плите, и котел закипел.

А что, если мы исправим старинную пословицу, например, так: «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать»?

Как, по-вашему, истинно или ложно такое утверждение?

В. ЕСТЬ ЛИ СОКРОВИЩА НА ЭТОМ ОСТРОВЕ?

Задачи двух предыдущих групп были связаны в основном с условными высказываниями, то есть с высказываниями вида «Если Р истинно, то Q». Задачи этой группы связаны главным образом с высказываниями вида «Р истинно в том и только в том случае, если Q истинно». Оно означает, что если Р истинно, то Q истинно, и если Q истинно, то Р истинно. Иначе говоря, если одно из двух высказываний Р, Q истинно, то другое также истинно. Оно означает также, что высказывания Р и Q либо оба истинны, либо оба ложны. Сложное высказывание «Р в том и только в том случае, если Q» принято обозначать «Р ↔ Q».

Таблица истинности для Р ↔ Q имеет следующий вид:

Высказывание «Р в том и только в том случае, если Q» иногда читают как «Р эквивалентно Q» или как «Р и Q эквивалентны». Отметим два следующих факта:

Факт 1. Любое высказывание, эквивалентное истинному высказыванию, истинно.

Факт 2. Любое высказывание, эквивалентное ложному высказыванию, ложно.

122. Есть ли сокровища на этом острове?

На некотором острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух о том, что на нем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете у одного из местных жителей (назовем его А), есть ли золото на его острове. В ответ на ваш вопрос А заявляет: «Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь».

Наша задача подразделяется на две части:

а) Можно ли определить, кто такой А – рыцарь или лжец?

б) Можно ли определить, есть ли сокровища на острове?

123

В предыдущей задаче коренной житель А острова рыцарей и лжецов добровольно снабдил вас информацией. Предположим, что теперь вы спросили у А: «Эквивалентно ли высказывание о том, что вы рыцарь, высказыванию о том, что на этом острове спрятаны сокровища?» Если бы А ответил «да», то задача свелась бы к предыдущей. Предположим, что А ответил «нет». Могли бы вы в таком случае сказать, спрятаны ли сокровища на острове?

124. Как я разбогател

К сожалению, история, которую я хочу вам поведать, не соответствует истине. Но поскольку она интересна, то мне все равно хочется рассказать ее вам.

В океане (в каком именно – не помню) неподалеку друг от друга расположены три острова: А, В и С. Мне удалось разузнать, что по крайней мере на одном из них закопаны сокровища, но на каком именно – неизвестно. Острова В и С были необитаемы, население острова А составляли рыцари и лжецы. Не исключено, что среди местных жителей встречались и обычные люди, но сказать с уверенностью, был ли на острове хоть один обычный человек, я не берусь.

Мне посчастливилось раздобыть карту островов, составленную знаменитым капитаном Марстоном – пиратом, славившимся своими причудами (он-то и запрятал сокровища). К карте была приложена записка, разумеется, зашифрованная. Когда я ее расшифровал, то выяснилось, что она состоит лишь из двух предложений. Вот что в ней значилось:

1) На острове А нет сокровищ.

2) Если среди жителей острова А встречаются обычные люди, то сокровища закопаны на двух островах.

Я поспешил на остров А. Мне было достоверно известно, что обитатели этого острова знают о зарытых сокровищах все до мелочей. Король острова догадался, зачем я прибыл в его владения, и в недвусмысленных выражениях разрешил мне задать лишь один вопрос любому из наугад выбранных мною его подданных. Способа установить, на кого пал мой выбор – на рыцаря, лжеца или на обычного человека, у меня не было.

Мне необходимо было придумать такой вопрос, чтобы, получив ответ, я мог указать на один из островов и быть уверенным, что сокровище закопано на нем.