Примечания книги Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть. Автор книги Брайан Кокс, Джефф Форшоу

1

Если, конечно, вы читаете не электронную книгу, иначе придется поднапрячь воображение. Здесь и далее прим. авт., если не указано иное.

2

Урановые лучи (фр.). Прим. перев.

3

Правда, она не покажется такой уж смехотворной, если вспомнить, что до сих пор используется такая единица измерения, как лошадиная сила.

4

Когда-то эта идея использовалась в работе телевизоров. Поток электронов, испускаемых проводом под напряжением, собирался, фокусировался в луч и направлялся магнитным полем на экран, который светился при попадании электронов.

5

Перевод Б. Пастернака. Прим. ред.

6

Тем, кто знаком с математикой, достаточно просто сменить терминологию: «циферблат» заменяется «комплексным числом», «размер циферблата» – модулем комплексного числа, а «направление часовой стрелки» – фазой. Правило сложения циферблатов – это всего лишь правило сложения комплексных чисел.

7

Или эстетической – в зависимости от вашей точки зрения.

8

Если вам непросто понять последнее предложение, попробуйте вместо слова «циферблат» подставить слово «волна».

9

Кинетическая энергия равна mv² / 2, а потенциальная энергия – mgh, когда шар находится на высоте h над землей, g – это ускорение свободного падения для всех предметов в области действия земного притяжения. Действие – это разность энергий, проинтегрированная по времени между моментами, связанными с прохождением двух точек на пути.

10

Издана на русском языке. О наглядном содержании квантово-теоретической кинематики и механики. М.: УФН, 1977. Т. 122. Вып. 4. С. 651–671.

11

Деление всех циферблатов на одно и то же число верно только в том случае, если мы игнорируем эффекты специальной теории относительности Эйнштейна. Иначе некоторые циферблаты будут уменьшаться больше остальных. Но нам нет нужды беспокоиться на этот счет.

12

Для частицы массой m, которая покрывает расстояние x за время t, действие составляет 1 / 2m(x / t)²t, если частица движется по прямой с постоянной скоростью. Но это не значит, что квантовая частица действительно перемещается с места на место по прямым линиям. Правило хода часов выводится из соотнесения циферблатов со всеми возможными маршрутами, которыми частица может следовать между двумя точками, и лишь случайно после суммирования всех остальных траекторий результат оказывается настолько прост. Например, правило хода часов будет не настолько простым, если мы примем поправки для достижения соответствия специальной теории относительности Эйнштейна.

13

Обычная масса песчинки – около 1 мкг, то есть одна миллиардная килограмма.

14

Есть вероятность, что частица продвинется еще дальше, чем в «предельном» случае, ограниченном большой окружностью на рисунке, но, как мы уже показали, сложение циферблатов приводит к отмене таких сценариев.

15

Если хотите, проверьте сами.

16

Дифракция – термин, используемый для характеристики одного из видов интерференции; применяется к волнам.

17

Конечно, если величина d очень велика, то можно задаться вопросом, как вообще измерить импульс. Но эта проблема решается, поскольку, какой бы ни была величина d, L все равно окажется намного больше.

18

Вспомним о том, что изображение волн – это удобный способ зарисовки проекций стрелок часов, указывающих на 12.

19

Этот способ выведения принципа неопределенности, впрочем, тоже опирается на уравнение де Бройля, связывающее длину волны с ее импульсом.

20

В научной терминологии волновые функции пространства импульсов, соответствующие частицам с определенным импульсом, известны как собственные состояния импульсов.

21

Иначе говоря, наблюдаемые нами соотношения выполняются для средних значений наблюдаемых величин. Прим. ред.

22

Кобылка (бридж, подструнник) – часть гитары в самой нижней части корпуса. Некоторые модели современных звукоснимателей находятся внутри кобылки, где и считывают вибрации струн. Прим. ред.

23

Гравитационный потенциал точно соответствует карте местности, потому что вблизи земной поверхности он пропорционален высоте над уровнем моря.

24

Они описываются функциями Бесселя.

25

Это выводится из того, что энергия равна 1 / 2mv² и p = mv. Эти уравнения корректируются специальной теорией относительности, но для электрона внутри атома водорода эффект невелик.

26

Это большой мяч, так что можно не думать о всяких квантовых эффектах, но, если такая мысль пришла вам в голову, это хороший знак: ваша интуиция становится квантовой.

27

Буквально авторы произносят каламбур: «There is a nice twist», где слово twist означает одновременно и «твист» (танец), что намекает на скачки, о которых шла речь перед этим, и «поворот», «завихрение». Прим. ред.

28

Впрочем, музыканты, наверное, и так не говорят, особенно барабанщики, ведь в слове «частота» целых три слога.

29

То eсть для случая прямоугольной потенциальной ямы n = 1.

30

Кстати, если вы знаете, что для частиц, лишенных массы, E = cp, что считается следствием специальной теории относительности Эйнштейна, то E = hc / λ незамедлительно выводится из этой формулы с помощью уравнения де Бройля.

31

Технически, как мы уже говорили в предыдущей главе, решение уравнения Шрёдингера должно быть пропорционально сферической гармонике, поскольку потенциальная яма вокруг протона сферическая и симметричная, а не прямоугольный ящик. Связанная с этим угловая зависимость порождает квантовые числа l и m. Радиальная зависимость решения дает главное квантовое число n.

32

Понятие спина было предложено, чтобы объяснить расщепление спектральной линии основного состояния атома серебра в магнитном поле. Прим. ред.

33

В главе 10 мы узнаем, что, если брать в расчет вероятность взаимодействия двух электронов друг с другом, нужно вычислить вероятность нахождения электрона 1 в точке А и электрона 2 в точке В «сразу», потому что она не сводится к умножению двух независимых вероятностей.

34

В единицах постоянной Планка, деленной на 2π.

35

Отрывок из Нобелевской речи У. Шокли 1956 года.

36

Здесь мы для простоты будем игнорировать спин электрона. Сказанное верно и для двух электронов с одинаковым спином.

37

Помните: мы говорим о двух одинаковых электронах, так что у них одинаковый спин.

38

Если протоны не движутся слишком быстро относительно друг друга.

39

Это верно для стоячих волн, где размер циферблата и проекция на 12-часовое направление пропорциональны друг другу.

40

Можно решить, что есть еще четыре волновые функции, соответствующие тем, что мы начертили, но повернутые вверх ногами. Но, как мы уже говорили, они полностью эквивалентны присутствующим на рисунке.

41

Электронвольт – это очень удобная единица энергии при обсуждении электронов в атомах, широко используемая в ядерной физике и физике частиц. Это энергия, которую приобретает электрон при ускорении разностью потенциалов в один вольт. Само определение не имеет особого значения: важно, что это способ измерения энергии. Чтобы вы лучше могли себе представлять эту величину, скажем, что энергия, требуемая для полного освобождения электрона из основного состояния атома водорода, равна 13,6 электронвольт.

42

Это определение – просто вопрос условности и исторический курьез. С тем же успехом можно было бы определить ток через движение электронов в зоне проводимости.

43

Диод может проводить ток и в обратном направлении, но этот эффект мал. Прим. ред.

44

Пропагатор уменьшает и циферблат, чтобы во время Т обеспечить нахождение частицы во Вселенной с вероятностью 1.

45

Мы уже встречались с этой идеей, когда рассматривали в главе 7 принцип Паули.

46

Это технический момент, потому что правило перевода и уменьшения циферблатов, которым мы пользуемся в этой книге, не включает в себя последствий специальной теории относительности. Если ввести их, как и нужно сделать при описании фотонов, окажется, что правила перевода часов для электронов и фотонов отличаются.

47

Величина g связана с прекрасной структурной константой: α = g² / 4π.

48

Это технический момент: важно, чтобы электрон при движении испытывал примерно одинаковую силу магнитного притяжения.

49

Впервые предсказанный Бором в 1913 году.

50

Калибровочная инвариантность означает, что теория и ее предсказания не меняются при неких преобразованиях полей, входящих в теорию. Прим. ред.

51

Под «событием» подразумевается столкновение протона с протоном. Поскольку фундаментальная физика – это счетная игра, которая имеет дело с вероятностями, необходимо продолжать сталкивать протоны, чтобы накопить достаточное количество этих очень редких событий, во время которых рождается частица Хиггса. Какое количество считать достаточным – зависит от того, насколько правильно и уверенно экспериментаторы умеют исключать из рассмотрения ложные сигналы.

52

То, что мы можем считать массивную частицу частицей без массы, к которой применяется правило «поворота», исходит из уравнения P(A, B) = L(A, B) + L(A, 1) L(1, B) S + L(A, 1) L(1, 2) L(2, B) S2 + L(A, 1) L(1, 2) L(2, 3) L(3, B) S3 + …, где S – коэффициент уменьшения, ассоциирующийся с каждым поворотом. То есть необходимо суммировать все возможные промежуточные точки – 1, 2, 3 и т. д.

53

Это тонкий момент, который выводится из «калибровочной инвариантности», лежащей в основе правил перехода и рассеяния для элементарных частиц.

54

Конечно, он был слишком скромен, чтобы назвать их своим именем.

55

Проблема состоит в колоссальном различии между теоретическим значением космологической константы, вычисленной исходя из вакуумных флуктуаций частиц, и ее наблюдаемым значением. Прим. ред.

56

Как мы знаем из главы 5, частицы определенного импульса на деле описываются бесконечно длинными волнами, так что мы должны разрешить некую неопределенность импульса, если хотим локализовать частицу. Но нет смысла говорить о частице с определенной длиной волны, если она локализуется на расстоянии меньше этой самой длины.

57

Мы можем обобщить до всей звезды, потому что не указали, где именно находится куб. Если можем доказать, что куб, расположенный в какой-то точке звезды, не движется, это значит, что все подобные кубы не двигаются и звезда стабильна.

58

Конечно, можно вычислить скорость движения электронов и более точно, но это потребует куда большего привлечения математики.

59

Второй закон Ньютона можно записать в виде F = dp / dt. Для постоянной массы он обретает более привычную форму: F = mdv / dt = ma.

60

Здесь мы сложили показатели степени по общему правилу: xaxb = xa+b.

61

Задание для любителей математики: докажите, что g(a) = 4πR3 ρ̅∫a0 x2f(x)dx, то есть что функция g (a) определяется, если известна функция f (a).

62

Фейнман Р. Ф. КЭД – странная теория света и вещества. М.: Астрель; Полиграфиздат, 2012.

63

Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М.: Мир, 1979.