Примечания книги Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства. Автор книги Леонард Млодинов

1

О равнодушии вавилонян к знанию ирландский поэт и драматург Уильям Батлер Йейтс (1865–1939) написал в своем стихотворении «Заря», начинающемся так:

Здесь и далее прим. автора, кроме оговоренных особо.

2

Michael Williams, A History of Computing Technology (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985), стр. 39–40.

3

Интересно о происхождении счета и арифметики у Уильямза, гл. 1.

4

Williams, стр. 3.

5

R. G. W. Anderson, The British Museum (London: British Museum Press, 1997), стр. 16.

6

Pierre Montet, Eternal Egypt, trans. Doreen Weightman (New York: New American Library, 1964), стр. 1–8.

7

Pierre Montet, Eternal Egypt, trans. Doreen Weightman (New York: New American Library, 1964), стр. 1–8.

8

Georges Jean, Writing: The Story of Alphabets and Scripts, trans. Jenny Oates (New York: Harry N. Abrams, 1992), стр. 27.

9

Геродот писал, что развитие египетской геометрии стимулировали задачи налогообложения. См.: W. K. C. Guthrie, A History of Greek Phulosophy (Cambridge, UK: University Press, 1971), стр. 34–35, и Herbert Turnbull, The Great Mathematicians (New York: New York University Press, 1961), стр. 1.

10

Rosalie David, Handbook of Life in Ancient Egypt (New York: Facts on File, 1998), стр. 96.

11

Эти и другие поразительные факты можно найти благодаря вкладу Алексея в эти примечания — вот где: James Putnam and Jeremy Pemberton, Amazing Facts about Ancient Egypt (London and New York: Thames & Hudson, 1995), стр. 46.

12

Хороший обзор вавилонской и шумерской математики см.: Edna E. Kramer, The Nature and Growth of Modern Mathematics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1981), стр. 2–12.

13

Для сравнения египетской и вавилонской математик см.: Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York: Oxford University Press, 1972), стр. 11–22. См. Также: H. L. Resnikoff and R. O. Wells, Jr., Mathematics in Civilization (New York: Dover Publications, 1973), стр. 69–89.

14

Также известен как «папирус Ахмеса»; Александр Генри Ринд (Райнд, 1833–1863) — шотландский юрист и египтолог. — Прим. пер.

15

Resnikoff and Wells, стр. 69.

16

Kline, стр. 11.

17

Цит. по: The First Mathematicians (март, 2000); сходная, но более сложная риторическая задача есть у Клайна, стр. 9.

18

Kline, стр. 259.

19

О жизни и работе Фалеса см.: Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics (New York: Dover Publications, 1981), стр. 118–149; Jonathan Barnes, The Presocratic Philosophers (London: Routledge & Kegan Paul, 1982), стр. 1–16; George Johnston Allman , Greek Geometry from Thales to Euclid (Dublin, 1889), стр. 7–17; G. S. Kirk and J. E. Raven, The Presocratic Philosophers (Cambridge, UK: University Press, 1957), стр. 74–98; Hooper, стр. 27–38; Guthrie, стр. 39–71.

20

Meander (англ.) — изгиб, извилина, излучина, поворот. — Прим. пер.

21

Reay Tannahill, Sex in History (Scarborough House, 1992), стр. 98–99.

22

Richard Hibler, Life and Learning in Ancient Athens (Lanham, MD: University Press of America, 1988), стр. 21.

23

28 мая 585 года до н. э. по современному летоисчислению; битва между лидийцами и мидянами. — Прим. пер.

24

Hooper, стр. 37.

25

Erwin Schroedinger, Nature and the Greeks (Cambridge: Cambridge University Press, 1996), стр. 81.

26

Hooper, стр. 33.

27

О милетской жизни см.: Adelaide Dunham, The History of Miletus (London: University of London Press, 1915).

28

См.: Guthrie, стр. 55–80, и Peter Gorman, Pythagoras, A Life (London: Routledge & Kegan Paul, 1979), стр. 32.

29

Gorman, стр. 40.

30

Хорэс Грили (1811–1872) — американский журналист и политик, социалист-утопист, прославился фразой в своей редакторской колонке, опубликованной 13 июля 1865 г.: «Ступайте на Запад, молодой человек, ступайте на Запад…» — Прим. пер.

31

Наиболее полная биография Пифагора, со всеми ссылками, — гормановская. Также см.: Leslie Ralph, Pythagoras (London: Krikos, 1961).

32

См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107.

33

См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107.

34

Square deal (англ. букв.) — «квадратная сделка», употребляется в значении «справедливая, честная сделка». — Прим. пер.

35

Gorman, стр. 108.

36

Gorman, стр. 19.

37

Gorman, стр. 110.

38

Gorman, стр. 111.

39

Gorman, стр. 111.

40

Gorman, стр. 123.

41

Для интересующихся математикой приведем доказательство. Обозначим длину диагонали как с и начнем с допущения, что с можно выразить в виде дроби — скажем, m/n, в которой у m и n нет общих делителей, и они ни в коем случае не четные одновременно. Доказательство производится в три этапа. Первый: заметим, если с² = 2, значит, m² = 2n². Словами: m² — четное число. Поскольку квадраты нечетных чисел — нечетные, значит, и m само по себе должно быть четным. Второй: поскольку m и n не могут быть оба четными, значит, n должно быть нечетным. Третий: взглянем на уравнение m² = 2n² с другой стороны. Поскольку m — четное, его можно записать как 2q, при любом q. Если заменить m в m² = 2n² на 2q, получим 4q² = 2n², что то же самое, что и 2q² = n². Это означает, что n², а следовательно, и n — четное.

Мы только что доказали, что если с можно записать как с = m/n, то m есть нечетное, а n — четное. Получается противоречие, а значит, исходное допущение, что с можно записать как с = m/n, — ложное. Такого рода доказательства, когда мы допускаем отрицание того, что стремимся доказать, а потом показываем, что отрицание ведет к противоречию, называется reductio ad absurdum. Это одно из изобретений пифагорейцев, и поныне полезное для математики.

42

Muir, стр. 12–13.

43

Kramer, стр. 577.

44

Gorman, стр 192–193.

45

Спиноза, знаковый философ XVII века, писал «Этику» — свой главный труд — в стиле евклидовых «Начал», вплоть до определений и аксиом, с помощью которых, как он считал, строго доказывал теоремы. См. также «Историю западной философии» Бертрана Расселла: Bertand Russell, A History of Western Philosophy (New York: Simon & Schuster, 1945), стр. 572. Авраам Линкольн, еще будучи никому не известным юристом, изучал «Начала» с целью улучшить свои навыки логики, см.: Hooper, стр. 44. Кант читал евклидову геометрию неотъемлемой частью человеческого мозга, см. Расселл. (На рус. яз.: Бенедикт Спиноза, «Этика», М., СПб, Азбука, Азбука-Аттикус, 2012, пер. Я. Боровского, Н. Иванцова; Бертран Рассел, «История западной философии», М.: Академический проект, 2009, пер. В. Целищева. — Прим. пер.)

46

Heath, стр. 354–355.

47

Heath, стр. 354–355.

48

Heath, стр. 356–370, см. также: Hooper, стр. 44–48. В 1926 году Хит лично продолжил историю «Начал», опубликовав свое издание, перепечатанное издательством «Доувер»: Sir Thomas Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (New York: Dover Publications, 1956).

49

«Мальтийский сокол» (1930) — детектив-нуар американского писателя Сэмюэла Дэшилла Хэммета (1894–1961). — Прим. пер.

50

Kline, стр. 1205.

51

«Let’s Make A Deal» — американская телевикторина телеканала «Эн-би-си», транслировавшаяся с 1963 по 1968 гг. — Прим. пер.

52

Трудный выбор, на котором основана программа «Поспорим», часто называют задачей Монти Холла, по имени ведущего программы. Проще всего разобраться в решении, нарисовав диаграмму-дерево, последовательно иллюстрирующую возможные варианты выбора. Этот метод применяется для наглядного описания теоремы Байеса в: John Freund, Mathematical Statistics (Englewood, Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1971), стр. 57–63. (Здесь и далее по тексту в квадратных скобках имена собственные даются в соответствии с произносительной нормой в тех случаях, когда она расходится с привычным написанием. — Прим. пер.)

53

Martin Gardner, Entertaining Mathematical Puzzles (New York: Dover Publications, 1961), стр. 43. (На рус. яз.: Гарднер М., «Математические досуги», М: «Мир», 1972, пер. Ю. Данилова. — Прим. пер.)

54

История про трудности с перигелием Меркурия изложена в: John Earman, Michael Janssen, and John D. Norton, eds., The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity (Boston: The Center for Einstein Studies, 1993), стр. 129–149. А еще есть хорошее, хоть и краткое, изложение этой же темы в: Abraham Pais, Subtle Is The Lord (Oxford: Oxford University Press, 1982), стр. 22, 253–255; цитата Леверье дана на стр. 254; «высшая точка» — на стр. 22. Геометрия всей этой истории изложена в: Resnikoff and Wells, стр. 334–336.

55

Три хороших современных обзора «Начал» Евклида есть в: Kline, Mathematical Thought, стр. 56–88; Jeremy Gray, Ideas of Space (Oxford: Clarendon Press, 1989), стр. 26–41; Marvin Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries (San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1974), стр. 1–113.

56

Kline, стр. 59.

57

Здесь и далее — пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. — Прим. пер.

58

H. G. Wells, The Outline of History (New York: Garden City Books, 1949), стр. 345–375. Линию времени см.: Jerome Burne, ed., Chronicle of the World (London: Longman Chronicle, 1989), стр. 144–147.

59

Russell, стр. 220.

60

Афиняне одолжили Птолемею III драгоценные манускрипты Еврипида, Эсхила и Софокла. Хоть он их и не вернул, ему хватило щедрости отдать сделанные им копии. Греки, скорее всего, не слишком удивились. Они запросили с Птолемея III (и оставили себе) целое состояние. См.: Will Durant, The Life of Greece (New York: Simon & Schuster, 1966), стр. 601.

61

«U.S. News & World Report» (с 1933) — американский новостной журнал. В последние годы стал особенно известен своей системой ранжирования и ежегодным отчетам об американских колледжах, университетах, школах и медицинских центрах. — Прим. пер.

62

Геометрия его расчетов объяснена в: Morris Kline, Mathematics and the Physical World (New York: Dover Publications, 1981), стр. 6–7.

63

Бытует несколько разных вариантов этой истории. Согласно некоторым, Эратосфен замечает отсутствие тени, глядя в колодец, и определяет расстояние до Сиена по рассказам странников. Версия, приведенная здесь, есть в: Carl Sagan, Cosmos (New York: Ballantine Books, 1981), стр. 6–7. (На рус. яз.: К. Саган, Космос, СПб: Амфора, 2008, пер. А. Сергеева . — Прим. пер.)

64

Kline, Mathematical Thought, стр. 106.

65

Kline, Mathematical Thought, стр. 106.

66

Kline, Mathematical Thought, стр. 158–159.

67

Обзор работ Птолемея см.: John Noble Wilford, The Mapmakers (New York: Vintage Books, 1981), стр. 25–33.

68

Kline, Mathematics in Western Culture, стр. 86.

69

Kline, Mathematical Thought, стр. 201.

70

Kline, Mathematics in Western Culture, стр. 89.

71

Историю Гипатии см.: Maria Dzielska, Hypatia of Alexandria, trans. F. Lyra (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1995). См. также: Kramer, стр. 61–65, и Russell, стр. 367–369.

72

Edward Gibbon, The Decline and Fall of the Roman Empire (London: 1898), стр. 109–110. (На рус. яз.: Эдвард Гиббон, «История упадка и разрушения Римской империи», в 7 т., М.: Наука, 2006, пер. В. Неведомского. — Прим. пер.)

73

Dzielska, стр. 84.

74

Dzielska, стр. 90.

75

Dzielska, стр. 93–94.

76

Resnikoff and Wells, стр. 4–13.

77

David Lindberg, ed., Science in the Middle Ages (Chicago: University of Chicago Press, 1978), стр. 149.

78

Город и река в штате Мичиган, США. — Прим. пер.

79

William Gondin, Advanced Algebra and Calculus Made Simple (New York: Doubleday & Co., 1959), стр. 11.

80

Два прекрасных рассказа об истории создания карт см.: Wilford and Norman Thrower, Maps and Civilization (Chicago: University of Chicago Press, 1996).

81

Resnikoff and Wells, стр. 86–89.

82

Согласно некоторым источникам — в 1699-м, однако поскольку изобретение не было опубликовано сразу, точную дату установить затруднительно. — Прим. пер.

83

Dava Sobel, Longitude (New York: Penguin Books, 1995), стр. 59.

84

Wilford, стр. 220–221.

85

Космический корабль из вселенной «Звездного пути» (Star Trek) — американского научно-фантастического кино— и телесериала (с 1966), созданного сценаристом и продюсером Джином Родденберри (1921–1991). Действие сериала происходит в XXIII веке. — Прим. пер.

86

Morris Bishop, The Middle Ages (Boston: Houghton Mifflin, 1987, стр. 22–30.

87

Ок. 193 см. — Прим. пер.

88

Jean, стр. 86–87.

89

Jean Gimpel, The Medieval Machine (New York: Penguin Books, 1976), стр. 182.

90

Bishop, стр. 194–195.

91

Robert S. Gottfried, The Black Death (New York: The Free Press, 1983), стр. 24–29.

92

Robert S. Gottfried, стр. 53.

93

Описание средневекового университета и университетской жизни см.: Bishop, стр. 240–244, и Mildred Prica Bjerken, Medieval Paris (Metuchen, NJ: Scarecrow Press, 1973), стр. 59–73.

94

«Зверинец» (Animal House) — американская комедия (1978) реж. Джона Лэндиса. — Прим. пер.

95

Bishop, стр. 145–146.

96

Bishop, стр. 70–71.

97

Gimpel, стр. 147–170; Bishop, стр. 133–134.

98

Wilford, стр. 41–48; Thrower, стр. 40–45.

99

Russell, стр. 463–475. Об Абеляре см. также: Jacques LeGoff, Intellectuals in the Middle Ages, trans. Teresa Lavender Fagan (Oxford: Blackwell, 1993), стр. 35–41. (На рус. яз.: Жак Ле Гофф, «Интеллектуалы в Средние века», СПб.: Издательский дом Санкт-Петербургского государственного университета, 2003, пер. А. Руткевича . — Прим. пер.)

100

Jeannine Quillet, Autour de Nicole Oresme (Paris: Librarie Philosophique J. Vrin, 1990), стр. 10–15.

101

Ныне городок Флёри-сюр-Орн, Кальвадос, область Нижняя Нормандия. — Прим. пер.

102

Reay Tannahill, Food in History (New York: Stein & Day, 1973), стр. 281.

103

Теория распределений. Для интересующихся математикой — отличное классическое описание на студенческом уровне см.: M. J. Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions (Cambridge, UK: University Press, 1958).

104

Работы Орема по графикам см.: Lindberg, стр. 237–241; Marshall Clagett, Studies in Medieval Physics and Mathematics (London: Variorum Reprints, 1979), стр. 286–295; Stephano Caroti, ed., Studies in Medieval Philosophy (Leo S. Olschki, 1989), стр. 230–234.

105

David C. Lindberg, The Beginnings of Western Science (Chicago: University of Chicago Press, 1992), стр. 290–301.

106

Clagett, стр. 291–293.

107

Lindberg, The Beginnings, стр. 258–261.

108

Lindberg, The Beginnings, стр. 260–261.

109

и

110

В русской традиции — Псалтирь, 92: 1. Сходная мысль выражена в Пс. 96: 10: «Господь царствует! потому тверда вселенная, не поколеблется» (рус. трад. Пс. 95:10). — Прим. пер.

111

Charles Gillespie, ed., The Dictionary of Scientific Biography (New York: Charles Scribner’s Sons, 1970–1990).

112

Лучшая современная биография Декарта: Jack Vrooman, Rene 2 Descartes (New York: G. P. Putnam’s Sons, 1970). Описание сплетения его жизни с математикой см.: Muir, стр. 47–76; Stuart Hollingdale, Makers of Mathematics (New York: Penguin Books, 1989), стр. 124–136; Kramer, стр. 134–166; Bryan Morgan, Men and Discoveries in Mathematics (London: John Murray, 1972), стр. 91–104.

113

В разных источниках приводится разный возраст. Распределение этих данных выглядит равномерным.

114

Muir, стр. 50.

115

Muir, стр. 50.

116

Kline, Mathematical Thought, стр. 308.

117

Molland, стр. 40.

118

которая называется окружностью

119

на окружность круга

120

Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. — Прим. пер.

121

«Вестсайдская история» (West Side Story) — американский мюзикл 1957 года (музыка Леонарда Бернстайна, слова Стивена Сондхайма), адаптация классической пьесы Уильяма Шекспира «Ромео и Джульетта». «Истсайдская история» — вероятно, одна из серий американского телесериала «Беверли-Хиллз, 90210» (1990–2000). — Прим. пер.

122

Описание работ Птолемея см.: Wilford, стр. 25–34. В 1569 г., за несколько десятков лет до рождения Декарта, у картографии случилась своя революция: Герхард Кремер, более известный под своим латинизированным именем Герард Меркатор, издал карту мира новой разновидности. Этой картой Меркатор решил задачу проекции сферы Земли на плоскую поверхность — способом, особенно удобным для навигаторов. И хотя карта Меркатора растягивала и сжимала реальные расстояния, углы между кривыми сохранялись правильные, т. е. на карте они были такими же, как и на земной поверхности. Это важно, поскольку самый простой курс для кормчего — двигаться под фиксированным углом к северу, по указанию стрелки компаса. Математически говоря, важность этой карты в том, что она трансформировала координаты. Сам Меркатор никакой математикой не занимался — он составил карту эмпирически. Картезианская геометрия позволяет производить математический анализ, и в результате понимание картографии получается гораздо глубже. Декарт знал о карте Меркатора, но нам неведомо, насколько успехи картографии повлияли на Декарта — и повлияли ли вообще, поскольку он не утруждался указывать ссылки на чужие работы в своих. О математике, стоящей за трудами Меркатора, см.: Resnikoff and Wells, стр. 155–168.

123

Декарт не просто унаследовал всю алгебру, потребную для его работы. Он сам изобрел значительную ее часть. Во-первых, он предложил современный вид записи с применением последних букв алфавита для обозначения неизвестных переменных и первых — для обозначения постоянных. До Декарта язык алгебры не блистал изяществом. К примеру, Декарт записал бы 2x² + x³, а до него то же выражалось так: «2 Q плюс C», где через Q обозначали квадрат (carre 2), а через С — куб. Запись Декарта совершеннее, потому что она исчерпывающе фиксирует и неизвестное число, возводимое в квадрат и в куб (х ), и характер степеней х (2 и 3). Применив это более изящное написание, Декарт смог складывать и вычитать уравнения и производить с ними другие арифметические операции. Он смог классифицировать алгебраические выражения согласно типу кривой, которую они представляли. Например, он опознал уравнения 3х + 6y — 4 = 0 и 4х + 7у + 1 = 0 как представляющие прямые, которые он изучил в общем случае ax + by + c = 0. Таким образом, он преобразовал алгебру из науки, изучающей мешанину отдельных уравнений, в дисциплину оформленных классов уравнений, см.: Vrooman, стр. 117–118. Более общую историю алгебраических символов см.: Kline, Mathematical Thought, стр. 259–263, и Resnikoff and Wells, стр. 203–206.

124

По таблице, приведенной в «Нью-Йорк Таймс» 11 января 1981 г. и процитированной у Тафта.

125

Теперь нам становится понятнее декартово определение окружности. Если окружность имеет центр в точке начала координат, и координаты точки на окружности — х и у, тогда требование, чтобы х и у отвечали уравнению х² + у² = r², попросту означает, что все точки на окружности должны находиться на расстоянии r от центра; это простое интуитивное определение, знакомое нам со школы.

126

Хоть мы и объяснили это для плоскости, двухмерного пространства, декартовы координаты просто будет распространить на три и более измерения. К примеру, уравнение сферы х² + у² + z² = r², изменение состоит лишь в дополнительной координате z. Таким образом, физические теории могут быть описаны с помощью произвольного числа пространственных измерений. Выясняется, что обычная квантовая механика принимает чрезвычайно простой вид при бесконечном числе пространственных измерений, и это свойство применяется для нахождения приблизительных ответов для уравнений, решение которых иначе затруднительно. Интересующимся математикой рекомендуем: L. D. Mlodinow and N. Papanicolaou, «SO(2,1) Algebra and Large N Expansions in Quantum Mechanics», Annals of Physics, том 28, № 2 (сентябрь, 1980), стр. 314–334.

127

Vrooman, стр. 120.

128

На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва — Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. — Прим. пер.

129

На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва — Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. — Прим. пер.

130

Vrooman, стр. 84–85.

131

Vrooman, стр. 89.

132

Vrooman, стр.152–155, 157–162.

133

Vrooman, стр.152–155, 157–162.

134

Об отношениях Декарта и Кристины см.: Vrooman, стр. 212–255.

135

О странствиях разных частей тела Декарта после смерти см. там же, стр. 252–254.

136

Heath, стр. 364–365.

137

О споре Прокла с Птолемеем см.: Kline, Mathematical Thought, стр. 863–865.

138

Джон Плейфэр (1748–1819) — шотландский математик и географ, профессор математики в Эдинбургском университете. — Прим. пер.

139

Средневековая исламская цивилизация внесла огромный вклад в развитие всей математики, не только сохранив работы греков, но и развив алгебру. Подробности см.: J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (New York: Springer-Verlag, 1986); коротко о жизни Сабита ибн Курра см. там же, стр. 2–4. Его попытка доказать постулат параллельности описана у Грея, стр. 43–44. Попытки других исламских математиков также приводятся у Грея.

140

Уоллис

141

Сэр Генри Сэвил (1549–1622, в русскоязычной традиции — Савиль) — английский математик, учредил в Оксфорде в 1619 г. на собственные деньги две профессорские ставки — по геометрии и астрономии; эти две кафедры под именем «савилианских» получили большую известность. — Прим. пер.

142

Имеется в виду торговая марка автомобилей класса «люкс» «ниссан-инфинити», принадлежащая японской компании «Ниссан Моторз». — Прим. пер.

143

Подробнее см. у Грея, стр. 57–58.

144

Подробное жизнеописание Гаусса см. в: G. Waldo Dunnigton, Carl Friedrich Gauss: Titan of Science (New York: Hafner Publishing Co., 1955).

145

Muir, стр. 179.

146

Muir, стр. 181.

147

Muir, стр. 182.

148

Muir, стр. 179.

149

Muir, стр. 179.

150

Hollingdale, стр. 317.

151

Hollingdale, стр. 65.

152

Muir, стр. 179.

153

Dunnington, стр. 24.

154

Dunnington, стр. 181.

155

в треугольнике

156

т. е. евклидовой

157

Хоббз

158

Russell, стр. 548.

159

Kline, Mathematical Thought, стр. 871.

160

Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (New York: Dover Publications, 1993), стр. 144–145.

161

Dunnington, стр. 215.

162

См. Greenberg, стр. 146. Анализ представлений Канта о пространстве и времени см.: Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, стр. 712–718, и Max Jammer, Concepts of Space (New York: Dover Publications, 1993), стр. 131–139.

163

Традиционный греческий салат.

164

«Критика чистого разума», т. IV. Пер. с нем. Н. Лосского. — Прим. пер.

165

Файнмен

166

Я сам неоднократно беседовал об этом с Фейнманом в Калифорнийском технологическом институте, Пасадина, в 1980–1982 гг.

167

Dunnington, стр. 183. Подробнее о жизни Бойяи см.: Gillespie, Dictionary of Scientific Biography, стр. 268–271; о жизни Лобачевского см.: Muir, стр. 184–201; E. T. Bell, Men of Mathematics (New York: Simon & Schuster, 1965), стр. 294–306; Heinz Junge, ed., Biographien bedeutender Mathematiker (Berlin: Volk und Wissen Volkseigener Verlag, 1975), стр. 353–366.

168

«Nicolai Ivanovich Lobachevski» авторства Тома Лерера (р. 1928) — американского автора-исполнителя, сатирика и математика. — Прим. пер.

169

Как ни странно, бумаги, найденные после смерти Бойяи, показали, что он был тайным евклидовцем: даже после открытия неевклидова пространства продолжал попытки доказать евклидову формулировку постулата параллельности, несмотря на то, что она развенчала бы его собственную работу.

170

Dunnington, стр. 228.

171

Подробности о модели Пуанкаре см. у Гринберга, стр. 190–214.

172

Для пущей математической точности необходимо заметить, что есть и другой вид кривых, называемых в модели Пуанкаре прямыми. Это диаметр, т. е. любой отрезок линии, проходящий через центр блина и упирающийся концами в его границы. Эти кривые ничем принципиально не отличаются от других линий Пуанкаре: диаметр перпендикулярен границе блина и может быть рассмотрен как дуга бесконечно большей окружности.

173

«It’s a Small World (After All)» — песня Роберта и Ричарда Шерманов, написанная в начале 1960-х гг. для одноименного аттракциона в Диснейленде. — Прим. пер.

174

В начале XVIII века Джероламо Саккери, священник-иезуит и профессор Университета Павии, изучал работы Валлиса и последователя Сабита — Насира ад-Дина. Вдохновленный их трудами, он тоже увлекся освобождением Евклида от всех обвинений. Мы знаем доподлинно, что таково было его намерение, поскольку в год своей смерти, в 1733-м, Саккери опубликовал книгу под названием «Евклид, освобожденный от всех обвинений» («Euclides ab Omni Maevo Vindicatus»). Как и его предшественники, Саккери заблуждался. Но одно ему удалось доказать верно: формулировка постулата параллельности, приводящая к эллиптическому пространству, также приводит к логическому противоречию с другими аксиомами Евклида.

175

Фраза из американского киномюзикла «Роки Хоррор, кинофильм» (The Rocky Horror Picture Show, 1975, реж. Джим Шэрмен, в российском прокате известен как «Шоу ужасов Роки Хоррора»). — Прим. пер.

176

Подробнее о работах Гаусса в геодезии см.: Dunnington, стр. 118–138.

177

Пер. С. Степанова. — Прим. пер.

178

Из интервью со Стивеном Млодиновым 9 октября 1999 г.

179

Отличный обзор работ и интеллектуального наследия Римана с некоторыми биографическими сведениями, см.: Michael Monastyrsky, Riemann, Topology, and Physics, trans. Roger Cooke, James King, and Victoria King (Boston: Birkhauser, 1999). Обзорное жизнеописание Римана см. также: Bell, стр. 484–509. (Оригинальное издание первой работы: Монастырский М. И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. — Прим. пер.)

180

В двух томах, 1830 (Paris: A. Blanchard, 1955). О стремительном прочтении Риманом этой работы см.: Bell, стр. 487.

181

Bell, стр. 495.

182

Во время автобусной поездки 1 декабря 1955 г. в городе Монтгомери, Алабама, Паркс отказалась по требованию водителя Джеймса Блейка освободить свое место для белых пассажиров. Общественная реакция на поступок Паркс привела к бойкоту автобусных линий города. Действия участников бойкота превратили Розу Паркс в международный символ сопротивления расовой сегрегации и принесли национальную известность лидеру бойкота, Мартину Лютеру Кингу-мл., сделав его важнейшей фигурой в движении за гражданские права. — Прим. пер.

183

Цит. по: Kline, Mathematical Thought, стр. 1006.

184

Вид оружия из американского фантастического сериала «Звездный путь». При запуске очень ярко вспыхивают. — Прим. пер.

185

Хилберт

186

David Hilbert, Grundlanden der Geometrie (Berlin: B. G. Teubner, 1930). Эта цитата приведена и в: Kline, Mathematical Thought, стр. 1010–1015, а также: Greenberg, стр. 58–59. Гринберг тоже предлагает интересное обсуждение неопределенных переменных, стр. 9–12.

187

Кляйн

188

Gray, стр. 155.

189

Kline, Mathematical Thought, стр. 1010.

190

Более глубокое представление об аксиомах Гильберта можно получить у Гринберга, стр. 58–84.

191

Kline, Mathematical Thought, стр. 1010–1015.

192

Понятие из области математики, называемой теорией игр. — Прим. пер.

193

Отличное объяснение см.: Ernest Nagel and James R. Newman, Godel’s Proof (New York: New York University Press, 1958), а также в классике широкого диапазона, которую вдохновила эта книга, напр.: Douglas Hofstadter, Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (New York: Vintage Books, 1979).

194

Monastyrsky, стр. 34.

195

Monastyrsky, стр. 36.

196

Жизнеописание Майкельсона см.: Dorothy Michelson Livingston, The Master of Light: A Biography of Albert A. Michelson (New York: Scribner, 1973).

197

См. Harvey B. Lemon, «Albert Abraham Michelson: The Man and the Man of Science», American Physics Teacher (ныне American Journal of Physics ), том 4, № 2 (февраль, 1936).

198

Brooks D. Simpson, Ulysses S. Grant: Triumph Over Adversity 1822–1865 (New York: Houghton Mifflin, 2000), стр. 9.

199

«Нью-Йорк Таймс», 10 мая 1931 года, стр. 3, цит. по: Daniel Kelves, The Physicists (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1995), стр. 28.

200

Adolphe Ganot, Elements de Physique, ок. 1860, цит. по: Loyd S. Swenson, Jr., The Etheral Aether (Austin, TX: University of Texas Press, 1972), стр. 37.

201

Хёхенс

202

G. L. De Haas-Lorentz, ed., H. A. Lorentz (Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1957), стр. 48–49.

203

Об эфире Аристотеля см.: Henning Genz, Nothingness: The Science of Empty Space (Reading, MA: Perseus Books, 1999), стр. 72–80.

204

Pais, стр. 127.

205

Аллюзия на итальянский вестерн Il buono, il brutto, il cattivo (1966) режиссера Серджо Леоне. — Прим. пер.

206

Вот что он пишет: «Нам неизвестно, чем является эта среда, и, похоже, наша судьба — оставаться в неведенье, коль скоро мы не можем наблюдать ее саму, а лишь объекты, что делаются зримыми под ее влиянием… И все же она не влияет на нас… если допустить, что нам известны законы этих явлений. Эти законы были выведены почти столь же безупречно, как и гравитационные». E. G. Fischer, Elements of Natural Philosophy (Boston, 1827), стр. 226. Английское издание возникло путем перевода с немецкого на французский знаменитым термодинамиком М. Био, и лишь затем — на английский.

207

На самом деле Френель отреагировал на открытие поляризации света, которое сделал в 1808 году французский физик Этьенн Луи Малюс. Согласно Френелю, поляризация возможна оттого, что свет способен колебаться в одном из двух направлений перпендикулярно своей траектории. Отсечение одной или другой составляющей приводит к поляризации. Волны, колеблющиеся только вдоль направления своего движения, не имеют этого свойства.

208

Две биографии Максвелла, написанные с разрывом в 100 лет: Louis Campbell and William Garnet, The Life of James Clerk Maxwell (London, 1882; New York: Johnson Reprint Co., 1969) и Martin Goldman, The Demon in the Aether (Edinburgh: Paul Harris Publishing, 1983).

209

далее следуют четыре уравнения

210

Интересующиеся математикой, вот вам математические уравнения Максвелла для свободного пространства: ∇ × E = 4πρ; ∇ × B = 0; ∇ × B — δE/δt = 4πj; ∇ × E + δB/δt = 0, где p и j — источники, а Е и В — поля.

211

Метод Ламаза («роды по Ламазу») — техника подготовки к родам, разработанная в 1950-х годах французским акушером Фернаном Ламазом в качестве альтернативы медицинскому вмешательству во время родов. — Прим. пер.

212

Haas-Lorentz, ed., стр. 55.

213

Haas-Lorentz, ed., стр. 55.

214

Джеймс Клерк Максвелл, «Эфир», Британская Энциклопедия, 9-е изд., том VIII (1893), стр. 572, цит. по: Swenson, стр. 57.

215

Swenson, стр. 60.

216

Swenson, стр. 60–62.

217

В лекции, прочитанной в Филадельфии в Академии музыки 24 сентября 1884 года. Запись лекции: Sir William Thomson (Lord Kelvin), «The Wave Theory of Light», — в: Charles W. Elliot, ed., The Harvard Classics, том 30, Scientific Papers, стр. 268. Цит. по: Swenson, стр. 77.

218

Swenson, стр. 88.

219

Swenson, стр. 73.

220

Майкельсон еще не раз в своей научной карьере повторит эксперимент — так же, как и многие другие; отдельно стоит отметить его последователя в Кейсе — Дэйтона Клэренса Миллера. Майкельсон никогда бы не смог принять несуществование эфира. И даже в 1919 году Эйнштейн все еще надеялся получить поддержку Майкельсона для своей теории, однако от Майкельсона удалось добиться лишь двусмысленной статьи в его книге 1927 года, за несколько лет до смерти ученого. См. Denis Brian, Einstein, A Life (New York: John Wiley & Sons, 1996), стр. 104, 126–127, 211–213; и Pais, стр. 111–115.

221

G. F. FitzGerald, Science, том 13 (1889), стр. 390, цит. по: Pais, стр. 122.

222

Kenneth F. Schaffner, Nineteenth-Century Aether Theories (Oxford: Pergamon Press, 1972), стр. 99–117.

223

Эпицикл — понятие, используемое в древних и средневековых теориях движения планет, включая геоцентрическую модель Птолемея. Согласно этой модели, планета равномерно движется по малому кругу, называемому эпициклом, центр которого, в свою очередь, движется по большому кругу — деференту. — Прим. пер.

224

Замечания Пуанкаре были изданы в книге La Science et l’Hypotese, и их пристально изучали Эйнштейн и некоторые его бернские друзья. Книгу затем переиздали: Henri Poincare, Science and Hypothesis (New York: Dover Publications, 1952).

225

Биографий Эйнштейна существует множество. Две мне показались особенно полезными: Brian и Ronald Clark, Einstein: The Life and Times (London: Hodder & Stoughton, 1973; New York: Avon Books, 1984). Кроме того, у Пайса тоже получилась великолепная научная биография, у которой есть преимущество: личный взгляд на предмет.

226

Цит. по: Hollingdale, стр. 373.

227

«Eine neue Bestimmung der Molek ldimensionen», Annalen der Physik, том 17 (1905), стр. 289. (Здесь и далее: работы Эйнштейна в пер. на рус. — Собрание научных трудов в четырех томах. М.: Наука, 1965–1967. Под ред. И. Е. Тамма, Я. А. Смородинского, В. Г. Кузнецова. — Прим. пер.)

228

Pais, стр. 89–90.

229

Браун

230

Annalen der Physik, том 17 (1905), стр. 891.

231

Hollingdale, стр. 370.

232

Albert Einstein, Relativity, trans. Robert Lawson (New York: Crown Publishers, 1961).

233

В теории относительности время считается измерением, однако в плоском или близком к плоскому пространстве-времени разнесенность, т. е. релятивистская версия расстояния, определяется в терминах временно́й разницы минус пространственная разница. Это означает, к примеру, что кратчайший путь между двумя событиями с нулевой временно́й разницей есть путь (линия в пространстве) с наибольшей (т. е. наименее отрицательной) разнесенностью.

234

Brian, стр. 69.

235

Brian, стр. 69–70.

236

Цит. по: Pais, стр. 152. К сожалению, через несколько месяцев Минковский скоропостижно скончался от аппендицита.

237

Pais, стр. 151.

238

Pais, стр. 166–167.

239

Pais, стр. 167–171.

240

Pais, стр. 179.

241

Pais, стр. 178.

242

Церера (1 Ceres ) — самая близкая к Земле карликовая планета в поясе астероидов Солнечной системы. — Прим. пер.

243

В русскоязычной литературе часто встречается полное название — принцип эквивалентности сил гравитации и инерции. — Прим. пер.

244

Эта формулировка принципа эквивалентности приведена в: Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, Gravitation (San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1973), стр. 189.

245

Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, стр. 131.

246

Этот эффект наблюдали в 1960 г.: R. V. Pound, G. A. Rebka, Jr., Physical Review Letters, том 4 (1960), стр. 337.

247

http://stripe.colorado.edu/~judy/einstein/science.html (июнь 1999).

248

Pais, стр. 213.

249

Pais, стр. 212.

250

Pais, стр. 213.

251

Pais, стр. 216.

252

Pais, стр. 239.

253

Пятью днями ранее, 20 ноября, Гильберт представил вывод того же уравнения Королевской академии наук в Гёттингене. Этот вывод он произвел независимо от Эйнштейна и в некотором смысле качественнее, но этот вывод явился лишь последним шагом в построении теории, которая, по признанию Гильберта, была творением Эйнштейна. Эйнштейн и Гильберт восхищались друг другом и никакое первенство никогда не оспаривали. Гильберт говорил: «Не математики, а Эйнштейн проделал всю работу». См. Jagdish Mehra, Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation (Boston: D. Reidel Publishing Co., 1974), стр. 25.

254

Pais, стр. 239.

255

На самом деле, за исключением случаев с применением прямоугольных координат в плоском пространстве-времени, это определение приложимо исключительно к бесконечно малым областям, и тогда расстояния обязательно складывать с применением методов математического анализа. Математически пишем так: ds² = g₁₁dx₁² + g₁₂dx₁dx₂ + … + g₃₄dx₃dx₄ + g₄₄dx₄².

256

Десять компонентов: g₁₁, g₁₂, g₁₃, g₁₄, g₂₂, g₂₃, g₂₄, g₃₃, g₃₄ и g₄₄ (избыточность устраняем применением равенства g_ij = g_ji).

257

См. Richard Feynman, Robert Leighton, and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, том II (Reading, MA: Addison-Wesley, 1964), гл. 42, стр. 6–7.

258

Marcia Bartusiak, «Catch a Gravity Wave», Astronomy, October, 2000.

259

Некоторые современные ученые считают, что Эддингтон мог сжульничать по части кое-каких своих результатов. См., напр.: James Glanz, «New Tactics in Physics: Hiding the Answer», «Нью-Йорк Таймс», 8 августа 2000 г., стр. F1.

260

т. е. его притяжение полем тяготения — «ньютонов» анализ

261

Pais, стр. 304.

262

Описание экспедиции Эддингтона и реакции на нее см. у Кларка, стр. 99–102.

263

Brian, стр. 102–103.

264

Brian, стр. 246.

265

См. «The Reaction on Relativity Theory in Germany III: “A Hundred Authors Against Einstein”» в: John Earman, Michel Janssen, and John Norton, eds., The Attraction of Gravitation (Boston: Center for Einstein Studies, 1993), стр. 248–273.

266

Эйнштейна

267

Brian, стр. 284.

268

Хайзенберг

269

30 января 1933 г. — Прим. пер.

270

Brian, стр. 233.

271

Brian, стр. 433.

272

Pais, стр. 462.

273

Pais, стр. 462.

274

http://stripe.colorado.edu/~judy/einstein/himself.html (апрель, 1999).

275

Ivars Peerson, «Knot Physics», Science News, том 135, № 11, 18 марта 1989 г., стр. 174.

276

10 Things I Hate About You — американская молодежная комедия 1999 года, реж. Джил Джангер. — Прим. пер.

277

Engelbert L. Schucking, «Jordan, Pauli, Politics, Brecht, and a Variable Gravitational Constant», Physics Today (октябрь, 1999), стр. 26–31.

278

Из интервью с Мёрри Гелл-Манном, 23 мая 2000 г.

279

из экспериментальных данных

280

Walter Moore, A Life of Erwin Schroedinger (Cambridge, UK: University Press, 1994), стр. 195.

281

Walter Moore, A Life of Erwin Schroedinger (Cambridge, UK: University Press, 1994), стр. 138.

282

Из письма Эйнштейна Максу Борну 4 декабря 1926 г., архивы Эйнштейна 8–180. Цит. по: Alice Calaprice, ed., The Quotable Einstein (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1996).

283

Белл опубликовал свое предложение в недолго просуществовавшем журнале «Physics». Обычное экспериментальное подтверждение физиков: A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, Physical Review Letters, том 49 (1982). Позднейшие усовершенствования можно найти в: Gregor Weihs et al., Physical Review Letters, том 81 (1998).

284

Toichiro Kinoshita, «The Fine Structure Constant», Reports on Progress in Physics, том 59 (1996), стр. 1459.

285

объединенной теории

286

Pais, стр. 330.

287

Pais, стр. 330.

288

Dictionary of Scientific Biography, стр. 211–212.

289

Из интервью с Габриэле Венециано, 10 апреля 2000 г.

290

George Johnson, Strange Beauty (New York: Alfred A. Knopf, 1999), стр. 195–196.

291

Из интервью с Эдом Виттеном, 15 мая 2000 г.

292

Из интервью с Мёрри Гелл-Манном, 23 мая 2000 г.

293

Оппенхаймер

294

Цит. по: Michio Kaku, Introduction to Superstrings and M-Theory (New York: Springer-Verlag, 1999), стр. 8.

295

Цит. по: Nigel Calder, The Key to the Universe (New York: Penguin Books, 1977), стр. 69.

296

Константы приводятся по: P. J. Mohr and B. N. Taylor, «CODATA Recommended Values of the Fundamental Constants: 1998», Review of Modern Physics, том 72 (2000).

297

Быт. 1: 3. — Прим. пер.

298

Неплохое объяснение музыки струн см.: Kline, Mathematics and the Physical World, стр. 308–312; глубже см.: Juan Roederer, Introduction to the Physics and Psychophysics of Music, 2-е изд. (New York: Springer-Verlag, 1979), стр. 98–119.

299

P. Candelas et al., Nuclear Physics, B258 (1985), стр. 46.

300

Технически говоря, под дырками физики подразумевают определенное значение некоторой математической количественной характеристики, именуемой эйлеровым числом, и его можно рассчитать для каждого пространства Калаби-Яу. Эйлерова характеристика есть топологическое понятие, которое легко визуализировать для двух или трех измерений, но оно применимо и к более высоким измерениям. В трехмерности твердый объект имеет число Эйлера, равное двум, будь то куб, сфера или суповая плошка, тогда как у объектов с дырками (или ручками), вроде пончика, кофейной чашки или пивной кружки, число Эйлера равно нулю.

301

Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire (CERN , фр. ). — Прим. пер.

302

Цитаты в этом абзаце взяты из интервью с Мёрри Гелл-Манном, 23 мая 2000 г.

303

Из интервью с Джоном Шварцем, 30 марта 2000 г.

304

Из интервью с Джоном Шварцем, 30 марта 2000 г.

305

Из интервью с Мёрри Гелл-Манном.

306

Из интервью с Джоном Шварцем, 13 июля 2000 г.

307

Шварц и Шерк

308

Из интервью с Мёрри Гелл-Манном.

309

Из интервью с Мёрри Гелл-Манном.

310

Из интервью с Эдом Виттеном, 15 мая 2000 г.

311

Цит. по: K. C. Cole, «How Faith in the Fringe Paid Off for One Scientist», «Лос-Анджелес Таймс», 17 ноября 1999 г., стр. А1.

312

Faye Flam, «The Quest for a Theory of Everything Hits Some Snags», Science, 6 июня 1992 г., стр. 1518.

313

Строминджер цит. по: Madhursee Mukerjee, «Explaining Everything», Scientific American (январь, 1996).

314

Из интервью с Брайеном Грином, 22 августа 2000 г.

315

Джордж Макговерн (1922–2012) — американский политик, сенатор от Южной Дакоты и кандидат на президентских выборах 1972 г. от Демократической партии. — Прим. пер.

316

Alice Steinbach, «Physicist Edward Witten, on the Trail of Universal Truth», «Балтимор Сан», 2 февраля 1995 г., стр. 1К.

317

Jack Klaff, «Portrait: Is This the Cleverest Man in the World?», «Гардиан» (Лондон), 19 марта 1997 г., стр. Т6.

318

Judy Siegel-Itzkovitch, «The Martian», «Джерузалем Пост», 23 марта 1990 г.

319

Mukerjee, «Explaining Everything».

320

Отсюда и название этой главы: так назывался цикл лекций, прочитанных одним из пионеров М-теории Майклом Даффом из Сельскохозяйственного и политехнического университета Техаса.

321

Douglas M. Birch, «Universe’s Blueprint Doesn’t Come Easily», «Балтимор Сан», 9 января 1998 г., стр. 2А.

322

J. Madeline Nash, «Unfinished Symphony», «Тайм», 31 декабря 1999 г., стр. 83.

323

Вдумчивое обсуждение черных дыр и М-теории см.: Brian Greene, The Elegant Universe (New York: W. W. Norton & Co., 1999), гл. 13.

324

«Discovering New Dimensions at LHC», CERN Courier (март, 2000). См. http://www.cerncourier.com.

325

P. Weiss, «Hunting for Higher Dimensions», Science News, том 157, № 8, 19 февраля 2000 г. См. http://www.sciencenews.org.

326

John Schwarz, «Beyond Gauge Theories», неопубликованный препринт (hep-th/9807195), 1 сентября 1998 г., стр. 2. Из лекции, представленной на конференции WIEN-98 в Санта Фе, Нью-Мексико, в июне 1998 г.

327

Хук