Примечания книги Нереальная реальность. Путешествие по квантовой петле. Автор книги Карло Ровелли

1

Цит. по: Фрагменты ранних греческих философов. Ч. I. – М.: Наука, 1989. – С. 136. – Примеч. пер.

2

Панионий – святилище Посейдона, расположенное на мысе Микале между городами Милетом и Эфесом. – Примеч. пер.

3

Об Анаксимандре и милетцах см.: Carlo Rovelli. The First Scientist: Anaximander and His Legacy. – Yardley, Westholme, 2007. – Здесь и далее примеч. автора, если не указано иное.

4

О милетском происхождении Левкиппа сообщает, например, Симплиций (см.: M. Andolfo. Atomisti antichi. Frammenti e testimonianze (Древний атомизм. Фрагменты и свидетельства). – Milan, Rusconi, 1999. – P. 103.) Однако в этом нет уверенности. Связь с Милетом и Элеей важна в плане его культурных корней; чем Левкипп обязан Зенону Элейскому, обсуждается на следующих страницах.

5

В русскоязычной литературе встречается также название «Великий ми-рострой», а в англоязычной литературе, в частности у автора настоящей книги, упоминается как «The Great Cosmology». – Примеч. пер.

6

Seneca. Naturales questiones, VII, 3, 2d // Сенека. Философские трактаты / Пер. Т. Ю. Бородай. – СПб., 2001. – С. 346. (Здесь и далее: если издание выходило на русском языке, приводятся его выходные данные. – Примеч. пер.).

7

Cicero. Academica priora, II, 23, 73 // Цицерон. Учение академиков / Пер. Н. А. Федорова. – М., 2004. – C. 143.

8

Sextus Empiricus. Adversus mathematicos, VIII, 135. – Loeb Classical Library, 1989 // Демокрит в его фрагментах и свидетельствах древности / Под ред. Г. К. Баммеля. – М.: ОГИЗ, 1935. – С. 166.

9

Aristotle. On Generation and Corruption, A1, 315b 6, в кн.: The Complete Works of Aristotle, Vol. I. – Princeton, Princeton University Press, 1984 // Аристотель. О возникновении и уничтожении // Собр. соч.: В 4 т. Т. 3. – М., 1981. – С. 379.

10

Древнегреческие атомисты / Ред. А. О. Маковельский. – Баку, 1946. – С. 295. – Примеч. пер.

11

Книга была посвящена природе человека, но кратко пересказывала содержание «Великого диакосмоса». – Примеч. пер.

12

Коллекция древних фрагментов и свидетельств о высказываниях атомистов приводится в книге M. Andolfo “Ancient Atomists” (примеч. авт.). – Полная антология фрагментов и высказываний, касающихся Демокрита, была опубликована Соломоном Лурье (Лурье С. Я. Демокрит. – Л., 1970 (примеч. пер.)).

13

Краткая интересная работа об идеях Демокрита, помещающая их в контексте гуманизма: S. Martini. Democrito: filosofo della natura o filosofo dell’uomo? (Демокрит: философ природы или философ человека?) – Rome, Armando, 2002.

14

Платон. Соч.: В 4 т. Т. 2. – СПб., 2007. – С. 69. – Примеч. пер.

15

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике: В 9 т. Т. 1. Современная наука о природе. Законы механики. – М.: Наука, 1965. – С. 23. – Примеч. пер.

16

Аристотель. О возникновении и уничтожении // Собр. соч.: В 4 т. Т. 3. – М., 1981. – С. 379. – Примеч. пер.

17

Недавно вышедшее хорошее изложение парадоксов Зенона с разъяснением их философского и математического значения: Vincenzo Fano. I paradossi di Zenone (Апории Зенона). – Rome, Carocci, 2012.

18

Математики говорят о сходящихся бесконечных суммах, или рядах. Например, бесконечная сумма 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… сходится к 1. Во времена Зенона не было представления о бесконечных сходящихся рядах. Их открыл Архимед несколькими столетиями позже и использовал для вычисления площадей. Ими активно пользовался Ньютон, но полной ясности с этими математическими объектами не было вплоть до работ Больцано и Вейерштрасса, выполненных в XIX столетии. Аристотель, однако, уже понимал, что это возможный способ ответа Зенону; введенное Аристотелем различие между актуальной бесконечностью и потенциальной бесконечностью уже содержит в себе ключевую идею: различие между отсутствием предела делимости и возможностью иметь нечто уже разделенным на бесконечное число частей.

19

Amores, I, 15, 23–4 // Овидий. Элегии и малые поэмы / Пер. с лат. С. В. Шервинского. – М., 1973. – С. 48.

20

Вот список названий всех трудов Демокрита, как его приводит Диоген Лаэртский: «Великий диакосмос», «Малый диакосмос», «Космография», «О планетах», «О природе», «О природе человека», «Об уме», «Об ощущениях», «О вкусах», «О цветах», «О различии форм атомов», «О взаимных истечениях», «Причины небесных явлений»*, «Причины воздушных явлений»*, «Причины огня и огненных явлений»*, «Причины звуков»*, «О камне (магните)»*, «Причины семян, растений и плодов»*, «О животных»*, «Описание неба», «Описание земли», «Описание полюсов», «О геометрии», «Геометрические исследования», «О касании круга и шара», «Числа», «Об иррациональных линиях и телах», «Проекции сферы на плоскость», «Мировой год, или Астрономия», «Актинография» (учение о лучах и перспективе), «Об образах, или О провидении», «О ритмах и гармонии», «О поэзии», «О красоте стихов», «О благозвучных и неблагозвучных буквах», «О Гомере, или О правильном произношении и непонятных словах», «Врачебная наука», «О земледелии», «О глаголах», «Исследование об именах», «О качествах хорошего человека, или О добродетели», «О душевном состоянии мудреца», «О живописи», «Военная тактика», «Плавание по Океану», «Об истории», «Халдейское учение»**, «Фригийское учение»*, «О священных письменах в Вавилоне»**, «О священных письменах в Мерое»**, «О лихорадке и кашле»*, «Спорные вопросы»*, «Исследование законов»*, «Пифагор», «О логике, или Канон», «Подтверждения», «Этические записки». Все они утрачены… (Перевод названий дается по: Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты. – Баку, 1946 (примеч. пер.)). * – труд приписывается Демокриту некоторыми древними библиографами. ** – труд приписывается Демокриту, но принадлежит Болу Мендесийскому.

21

Лукреций. О природе вещей. – М.: Изд-во АН СССР, 1946. – С. 307. Здесь в следующих цитатах фрагменты Лукреция продублированы также в стихотворном переводе Ф. Петровского. – Примеч. пер.

22

Лукреций. Указ. соч. – С. 131. – Примеч. пер.

23

Там же. – С. 7. – Примеч. пер.

24

Там же. – С. 73–75. – Примеч. пер.

25

Guido Cavalcanti, Rime. (Гвидо Кавальканти, ~1250–1300).

26

Подробнее о переоткрытии текста Лукреция и его влиянии на европейскую культуру см.: Stephen Greenblatt. The Swerve: How the World Became Modern (Поворот: Как мир стал современным). New York, Norton, 2011.

27

M. Camarota. Galileo, Lucretius and Atomism («Галилей, Лукреций и атомизм»), in F. Citti and M. Beretta (eds.), Lucrezio, la natura e la scienza (Лукреций, природа и наука). – Florence, Leo S. Olshki, 2008. – Pp. 141–175.

28

R. Kargon. Atomism in England from Hariot to Newton (Атомизм в Англии от Хэрриота до Ньютона). – Oxford, Oxford University Press, 1966.

29

Вильям Шекспир. Ромео и Джульетта, действие I, сцена IV / Пер. Д. Л. Михаловского. – Примеч. пер.

30

Лукреций. О природе вещей. – М.: Изд-во АН СССР, 1946. – С. 79–81. – Примеч. пер.

31

Пеьрджорджио Одифредди опубликовал мастерски выполненный перевод комментариев к тексту Лукреция, предназначенный для использования в школах. (Piergiorgio Odifreddi. Come stanno le cose. Il mio Lucrezio, la mia Venere (О природе вещей. Мой Лукреций, моя Венера). – Milan, Rizzoli, 2013). Было бы замечательно, если бы школы использовали эту книгу и этот выдающийся текст стал более широко известен. Диаметрально противоположные Одифредди прочтение текста и взгляд на его автора предлагает Альфьери (V. E. Alfieri) в Lucrezio (Лукреций). – Florence, Le Monnier, 1929), который подчеркивает остроту и поэтическое качество работы, делая из этого вывод о благородном, но язвительным характере Лукреция.

32

H. Diels and W. Kranz, eds. Die Fragmente der Vorsokratiker (Досократики: фрагменты). – Berlin, 1903, 68 b 247 // Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты. – Баку, 1946. – С. 131.

33

Дурная репутация аристотелевской физики сформировалась в период, когда с ней полемизировал Галилей. Галилей сделал шаг вперед и по необходимости должен был относиться к ней критически. Его нападки на Аристотеля были презрительными и саркастическими. Но тем не менее он воспринимал физику Аристотеля очень серьезно. – Примеч. пер.

34

О значении физики Аристотеля см.: C. Rovelli. Aristotle’s Physics: A Physicist’s Look (Аристотелевская физика: Взгляд физика), Journal of the American Philosophical Association, 1 (2015). – Pp. 23–40.

35

Iamblichus of Chalchis. Summa pitagorica. – Milan, Bompiani, 2006 // Ямвлих. Жизнь Пифагора. – М., 1998.

36

В Праге. – Примеч. пер.

37

x = ¹/₂at². Строго говоря, это первый математический закон для движения земных тел. Количественные законы для земных тел, не связанные с движением, были известны ранее, например закон Архимеда. – Примеч. пер.

38

Квадрат периода обращения пропорционален кубу радиуса орбиты. Было показано, что этот закон верен не только для орбит планет вокруг Солнца (Кеплер), но также и для спутников Юпитера (Гюйгенс). Ньютон по индукции предполагает, что он должен также работать и для гипотетической маленькой луны, обращающейся вокруг Земли. Коэффициент пропорциональности зависит от тела, вокруг которого происходит обращение: вот почему данные о лунной орбите позволяют нам вычислить период маленькой луны.

39

a = v²/r, где v – скорость, а r – радиус орбиты.

40

F = GM₁M₂/r².

41

Isaac Newton, Opticks (1704) // Ньютон И. Оптика. – М.: 1954. – С. 303.

42

Джакомо Леопарди (1798–1837) – итальянский романтический поэт. Цит. по: Леопарди Дж. Бесконечность / Пер. Т. Стамовой. – М., 2014. – Примеч. пер.

43

Речь идет о книге Ньютона “A Treatise of the System of the World” («Трактат о системе мира»), которая представляет собой предварительную версию третьей книги «Математических начал натуральной философии». Этот текст был написан в более популярной манере, чем первые книги «Начал», однако в таком виде при жизни Ньютона не издавался, а был переписан в более сухой и научной манере. В русском переводе «Начал» третья книга сохранила название «О системе мира», хотя в оригинале его нет. Ранний вариант, написанный более доступно, был издан на английском языке лишь через несколько лет после смерти Ньютона и на русский язык не переводился. – Примеч. пер.

44

Энергия, высвобождаемая двигателем внутреннего сгорания, является химической и, таким образом, в конечном счете электромагнитной.

45

Isaac Newton. Letters to Bentley. – Montana, Kessinger, 2010 // Ньютон И. Четыре письма сэра Исаака Ньютона доктору Бентли… / Пер. Ю. А. Данилова // Вопросы истории естествознания и техники. 1993. № 1. – С. 33–45.

46

Там же.

47

Michael Faraday. Experimental Researches in Electricity (Экспериментальные исследования по электричеству). – London, Bernard Quaritch, 1839–1855. 3 vols. – Pp. 436–437.

48

В оригинальном трактате Максвелла уравнения занимают целую страницу. Сегодня те же самые уравнения укладываются в полстроки: dF = 0, d^*F = J. Скоро мы поймем почему.

49

Если графически изобразить поле вектором (стрелкой) в каждой точке пространства, то конец стрелки указывает направление фарадеевой линии, точнее сказать, касательной к ней, а длина стрелки пропорциональна плотности фарадеевых линий.

50

То есть множества событий, отделенных пространственноподобным интервалом от опорного события.

51

Вдумчивый читатель отметил бы, что средний момент моей четверти часа можно рассматривать как одновременный с вашим ответом. Читатель, изучавший физику, вспомнит, что это «эйнштейновское соглашение» для определения одновременности. Так, определенная одновременность зависит от того, как двигаюсь я, и, следовательно, определяет не одновременность двух событий, но лишь их одновременность относительно заданного состояния движений конкретных тел. На рис. 3.3 одна точка стоит на полпути между a и b – в том месте, где я покидаю прошлое наблюдателя и попадаю в его будущее. Другая точка стоит на полпути между e и d и отмечает место, где я покидаю прошлое наблюдателя и вхожу в его будущее, если двигаюсь по другой траектории. Обе эти точки одновременны по отношению к читателю согласно рассматриваемому определению одновременности, однако находятся в двух следующих друг за другом моментах времени. Эти две точки одновременны с читателем, но относятся к двум различным вариантам моего движения. Отсюда и термин «относительность».

52

Simplicius. Aristotelis Physica (Аристотелева физика), 28, 15 // Лурье С. Я. Демокрит. – Л., 1970. – Фр. 147. С. 247.

53

Самолет и мяч движутся по геодезическим линиям в искривленном пространстве. В случае мяча геометрия описывается примерно такой метрикой: ds² = (1–2Φ(x)) dt² – dx², где Φ(x) – ньютоновский потенциал. Влияние гравитационного поля уменьшает растяжение времени с высотой. (Читатель, знакомый с теорией, заметит интересную инверсию знака: физическая траектория максимизирует собственное время.)

54

Наблюдения двойной системы PSR B193+16 показывают, что две звезды, которые обращаются одна вокруг другой, испускают гравитационные волны. Это открытие принесло Нобелевскую премию Расселу Халсу и Джозефу Тейлору в 1993 году.

55

Plutarch. Adversus colotem («Против Колота»), 4, 1108 // Лурье С. Я. Демокрит. – Л., 1970. – Фр. 7, с. 209. Слово ϕύσιν означает «природа» и включает смысл «природа чего-либо».

56

См.: «Мы созданы из вещества того же, что наши сны». В. Шекспир, «Буря». – Примеч. ред.

57

Этот член называют космологическим, поскольку его влияние проявляется только на чрезвычайно больших, «космологических» расстояниях. Константа Λ называется космологической постоянной. Ее значение было измерено в конце 1990-х годов, что принесло Нобелевскую премию за 2011 год астрономам Солу Перлмуттеру, Брайану Шмидту и Адаму Рису.

58

A. Calaprice (ed.). Dear Professor Einstein. Albert Einstein’s Letters to and from Children (Уважаемый профессор Эйнштейн. Переписка Альберта Эйнштейна с детьми). – New York, Prometheus Books, 2002, p. 140.

59

В Гёттингене, где работал Гильберт, была в то время самая сильная геометрическая школа.

60

Письмо воспроизводится в: A. Fölsing. Einstein: A Biography (Эйнштейн: Биография) – London, Penguin, 1998 // Визгин В. П. Об истории открытия уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы) // УФН, т. 171, № 12 (2001), 1347–1363, с. 1354.

61

F. P. De Ceglia (ed.). Scienziati di Puglia: secoli V aC.-XXI, dC, Parte 3 (Ученые Апулии: с V в. до н. э. по XII в., часть 3). – Bari, Adda, 2007. – P. 18.

62

Сфера – это набор точек в R³, заданный уравнением x² + y² + z² = 1. 3-сфера – это набор точек в R⁴, заданный уравнением x² + y² + z² + u² = 1.

63

У Данте: “Luce e amor d’un cerchio lui comprende, sì come questo li altri” – «Свет и любовь объемлют этот свод, // Как всякий низший кружит, им объятый», – пер. М. Лозинского. – Примеч. пер.

64

«вмещаемым как будто вмещена…» – пер. М. Лозинского. – Примеч. пер.

65

Выдвигалось возражение, что Данте говорит о кругах, а не о сферах. Но это возражение некорректно. Брунетто Латини пишет о «круге, подобном скорлупе яйца». Слово «круг» для Данте, как и для его учителя и наставника, означает всё, имеющее округлую форму, включая сферы.

66

На поверхности Земли, например, Северный полюс и две точки на экваторе можно соединить в треугольник с тремя равными по длине сторонами и тремя прямыми углами – нечто совершенно невозможное на плоскости.

67

Это современная оценка (13,8 миллиарда лет по данным спутника «Планк»). В первой четверти XX века оценить возраст Вселенной в рамках теории относительности было еще невозможно, а потом измерения Хаббла приводили к сильно заниженным значениям, которые вступали в противоречие с другими оценками. – Примеч. пер.

68

A. Calaprice. Dear Professor Einstein. Albert Einstein’s Letters to and from Children (Уважаемый профессор Эйнштейн. Переписка Альберта Эйнштейна с детьми). – New York, Prometheus Books, 2002, p. 208.

69

Albert Einstein. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden Gesichtspunkt, Annalen der Physik, 17, pp. 132–148 // Эйнштейн А. «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» / Собрание научных трудов: В 4 т. – М.: Наука, 1966. Т. 3. – С. 92.

70

Модель Бора позволяла предвычислять спектральные линии только одноэлектронных атомов (водорода, иона гелия и т. п.). – Примеч. пер.

71

С биографией Дирака, описывающей странные свойства его характера, можно ознакомиться в книге Graham Farmelo. The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius (Самый странный человек: тайная жизнь Поля Дирака, квантового гения). – London, Faber, 2009.

72

Гильбертовым пространством.

73

Это собственные значения оператора, связанного с обсуждаемой физической переменной. Основное уравнение – это уравнение для собственных значений.

74

Это облако описывается математическим объектом, называемым волновой функцией. Австрийский физик Эрвин Шрёдингер вывел уравнение, описывающее ее эволюцию во времени. Квантовая механика часто ошибочно отождествляется с этим уравнением. Шрёдингер надеялся, что эта «волна» может использоваться для объяснения странностей квантовой теории: мы хорошо понимаем волны – от морских до электромагнитных. Даже сегодня некоторые физики пытаются понять квантовую механику, представляя, что реальность – это шрёдингеровская волна. Однако Гейзенберг и Дирак сразу поняли, что это не так. Считать шрёдингеровскую волну чем-то реальным – значит придавать ей слишком большое значение, что не помогает в понимании теории, а, напротив, ведет к большим недоразумениям. За исключением некоторых специальных случаев, шрёдингеровская волна находится не в физическом пространстве, и это лишает ее всякой интуитивности. Но главная причина, почему шрёдингеровская волна – плохой образ реальности, связана с тем фактом, что когда частица сталкивается с чем-то другим, это всегда происходит в какой-то точке, а не распределено по пространству как волна. Если мы воспринимаем электрон как волну, то сталкиваемся с трудностями при объяснении того, как эта волна мгновенно коллапсирует в точку при каждом столкновении. Шрёдингеровская волна – это не полезный образ реальности, а вспомогательный прием для вычислений, который позволяет нам с некоторой степенью точности предсказывать, где вновь появится электрон. Реальность электрона – это не волна, а то, как он проявляет себя во взаимодействиях, подобно тому человеку, который появлялся на освещенных фонарями пятачках, пока молодой Гейзенберг задумчиво бродил в копенгагенской ночи.

75

Уравнение Дирака.

76

Существует явление, которое, по-видимому, не сводится к Стандартной модели, – темная материя. Астрофизики и космологи наблюдают во Вселенной влияние особого типа материи, которая, похоже, не описывается Стандартной моделью. Там вообще еще немало вещей, о которых мы не знаем.

77

Я считаю, что утверждение, будто бозон Хиггса «объясняет массу», несколько преувеличено. Бозон Хиггса ничего не «объясняет» относительно происхождения массы. Что же он все-таки говорит о массе? Это чисто технический момент: Стандартная модель предполагает некоторые симметрии, и эти симметрии, по-видимому, позволяют существовать лишь безмассовым частицам. Хиггс с коллегами поняли, что можно получить одновременно и симметрии, и массы, если вводить последние косвенным образом, через взаимодействие с определенным полем, известным сегодня как поле Хиггса.

78

Конечная область фазового пространства – пространства возможных состояний системы – содержит бесконечное число различимых классических состояний, но всегда только конечное число ортогональных квантовых состояний. Это число находится путем деления объема области на постоянную Планка в степени, равной числу степеней свободы. Этот результат носит общий характер.

79

Соответствующий фрагмент в переводе Ф. А. Петровского:

Цит. по: Лукреций. О природе вещей. – М.: Изд-во АН СССР, 1946. – С. 84–85. – Примеч. пер.

80

Или фейнмановским интегралом. Вероятность перемещения из точки A в точку B равна квадрату модуля интеграла по всем путям от экспоненты классического действия вдоль траектории, умноженного на мнимую единицу и деленного на постоянную Планка.

81

Обсуждение реляционной интерпретации квантовой механики см. в статье “Relational Quantum Mechanics” («Реляционная квантовая механика»), опубликованной на сайте Stanford Encyclopedia of Philosophy (http://plato.stanford.edu/archives/win2003/entries/rovelli), и в статье Карло Ровелли (Carlo Rovelli), “Relational Quantum Mechanics” в International Journal of Theoretical Physics, 35, 1637, 1996, http://arxiv.org/abs/quantph/9609002.

82

Специальный механизм на мгновение открывает маленькое окошко в правой части ящика, позволяя фотону вылететь в строго определенный момент времени. Взвесив ящик, можно узнать энергию вылетевшего фотона. Эйнштейн надеялся, что это создаст трудности для квантовой механики, которая утверждает, что время и энергию нельзя точно измерить совместно. Бор ошибочно ответил, что для преодоления этой трудности требуется эйнштейновская общая теория относительности, а Эйнштейн ошибочно согласился с ответом Бора. Правильный ответ Эйнштейну, который Бор не смог найти, но который сегодня ясен, состоит в том, что положение вылетающего фотона и вес ящика остаются связанными друг с другом («коррелированными»), даже когда фотон уже улетел далеко.

83

Фейнман Р. Характер физических законов. М.: 1987. – С. 117. – Примеч. пер.

84

Bas van Frassen. Rovelli’s World, in Foundations of Physics, 40, 2010, 390–417; Michel Bitbol. Physical Relations or Functional Relations? A Non-metaphysical Construal of Rovelli’s Relational (Физические отношения или функциональные отношения? Неметафизическая интерпретация реляционной квантовой механики Ровелли) Quantum Mechanics, Philosophy of Science Archives, 2007, http://philsci-archive.pitt.edu/3506/; Mauro Dorato. Rovelli’s Relational Quantum Mechanics, Monism and Quantum Becoming (Реляционная квантовая механика Ровелли, монизм и квантовое становление), Philosophy of Science Archives, 2013, http://philsci-archive.pitt.edu/9964/, and Che cos’è il tempo? Einstein, Gödel e l’esperienza commune (Что есть время? Эйнштейн, Гёдель и общий опыт). – Rome, Carocci, 2013.

85

Работа по измеримости полей Нильса Бора и Леона Розенфельда: Det Kongelike Danske Videnskabernes Selskabs, in Mathematiksfysike Meddelelser, 12, 1933.

86

Черточка на h в постоянной Планка служит лишь для указания, что в этом уравнении постоянную Планка надо разделить на 2π, – довольно бесполезное специфическое добавление, придуманное физиками-теоретиками, которые считают, что эта маленькая черточка на букве h «делает ее элегантной».

87

Matvei Bronštejn. Quantentheorie schwacher Gravitationsfelder, in Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion, 9, 1936, 140–157; и «Квантование гравитационных волн» // Письма в ЖЭТФ. 1936. T. 6. С. 195–236.

88

См.: F. Gorelik and V. Frenkel. Matvei Petrovich Bronstein and Soviet Theoretical Physics (Boston, Birkhauser Verlag, 1994). Кстати, настоящая фамилия Троцкого был Бронштейн. (См.: Горелик Г. Е., Френкель В. Я. Матвей Петрович Бронштейн. 1906–1938. М., 1990. – Примеч. пер.)

89

Франческо Петрарка. На жизнь Мадонны Лауры. XC (пер. Е. Солоновича). – Примеч. пер.

90

Чтобы услышать эту метафору в изложении самого Уилера, зайдите на сайт http://www.webofstories.com/play/9542?o=MS.

91

Об этом эпизоде вспоминает Брайс Девитт, http://www.aip.org/history/ ohilist/23199.html.

92

Девитт заменил производные дифференциальными операторами в уравнении Гамильтона – Якоби для общей теории относительности (выведенном незадолго до того Пересом). Тем самым он сделал то же, что и Шрёдингер для вывода своего уравнения в своей первой работе: заменил производные дифференциальными операторами в уравнение Гамильтона – Якоби для частицы.

93

Или уравнением Эйнштейна – Шрёдингера.

94

Самая известная альтернатива петлевой квантовой гравитации – это теория струн, основное назначение которой не столько в изучении квантовых свойств пространства и времени, сколько в поиске объединенной теории всех известных полей, цель, быть может, несколько преждевременная при современном уровне знаний.

95

Собственное значение уравнения для оператора объема.

96

Поскольку квантовые состояния гравитации выражаются как, где n относится к узлам, а l – к ребрам графа.

97

Результат расчета прост. Я продемонстрирую его здесь, чтобы вы увидели, как работает дираковский спектр. Возможные значения площади A даются следующей формулой, где j принимает полуцелые значения, то есть 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3…

Здесь A – площадь, которую может иметь поверхность, разделяющая два «зерна» пространства; 8 – это обычное число восемь, ничего особенного; π – греческая буква пи, которая, как мы учили в школе, означает отношение длины любой окружности к ее диаметру; эта величина почему-то постоянно появляется в разных разделах физики. L_p – это планковская длина, то есть предельно малый размер, на котором проявляются эффекты квантовой гравитации. L²_p – это квадрат величины L_p, который соответствует (чрезвычайно малой) площади крошечного квадрата со сторонами, равными планковской длине. Таким образом, 8πL²_p – это просто «маленькая» площадь, площадь микроскопического квадрата со стороной примерно в одну миллионную миллиардной миллиардной миллиардной доли сантиметра (10^–66 см²). Интересная особенность этой формулы – квадратный корень в ней. Ключевой момент здесь – то, что j принимает полуцелые значения, то есть кратные 1/2. Например, для каждого из них данный корень приобретает определенные значения, которые в приближенном виде даны в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Спин (полуцелый) и соответствующие значения площади в единицах минимальной площади

Умножая числа из правой колонки на площадь 8πL²_p, мы получаем возможные значения площади поверхности. Эти особые значения подобны тем, что появляются при изучении орбит электронов в атомах, где квантовая механика допускает лишь определенные орбиты. Ключевой момент состоит в том, что не существует никаких других площадей, кроме тех, значения которых выводятся из этого уравнения. Никакая поверхность не может иметь площадь в одну десятую 8πL²_p.

98

Только представьте себе, какой бессмысленной мешаниной показались бы нам идеи Аристотеля и Платона, если бы мы знали их только по комментариям, написанным к ним другими авторами, и не имели бы доступа к оригинальным текстам со всеми их ясными и запутанными местами!

99

От англ. spin – вращаться. – Примеч. пер.

100

Квантовое число состояний фотонов в пространстве Фока – это импульс, результат фурье-преобразования положения.

101

Оператор, связанный с геометрией зернистого пространства, – это голономия гравитационных связей, или, в более близких к физике терминах, петля Уилсона в общей теории относительности.

102

Лукреций. О природе вещей. – М.: Изд-во АН СССР, 1946. – С. 33. – Примеч. пер.

103

Гравитационный потенциал.

104

x (t) = ¹/₂at².

105

Особенно когда он стал волноваться…

106

Реальная структура вершин спиновой пены немного сложнее, чем на рис. 7.2, и больше напоминает изображенную на рис. 7.4.

107

Это фейнмановская диаграмма, поскольку это история квантов, как и на фейнмановских диаграммах. За исключением того, что теперь кванты – это не кванты, движущиеся в пространстве, а кванты самого пространства. Схема, которую они рисуют в своих взаимодействиях, – это не представление движений частиц в пространстве, но схема самого пространства. Однако результирующая картина также в полном смысле является решеткой, подобной тем, что используются в решетчатом приближении, отражающем дискретизированное представление пространства-времени. С той разницей, что это больше не аппроксимация, а реальная дискретная структура пространства в малых масштабах.

108

Первое уравнение определяет гильбертово пространство теории. Второе описывает алгебру операторов. Третье задает амплитуду (характеризующую вероятность переходов – примеч. пер.) для каждой вершины, подобной той, что представлена на рис. 7.4.

109

«…все многообразие элементарных частиц объясняется некоторой универсальной первоматерией, которую можно назвать энергией или материей. В этом случае ни одна из элементарных частиц принципиально не выделяется среди других в качестве фундаментальной частицы. Последняя точка зрения соответствует доктрине Анаксимандра, и я убежден, что такой взгляд правилен и в современной физике». Вернер Гейзенберг // Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. – М., 1989. – С. 23.

110

Шекспир В. Сон в летнюю ночь. (Действие 1. Явление 5). Перевод М. Лозинского.

111

Его обращение можно найти на сайте Ватикана: http://www.vatican.va/ holy_father/pius_xii/speeches/1951/documents/hf_p-xii_spe_19511122_di-serena_it.html.

112

Singh S. Big Bang. – London, Harper Collins, 2010. – P. 362.

113

Это интерферометр: он использует интерференцию между лазерными лучами, которые прошли по двум плечам установки, чтобы обнаружить незначительные вариации длины этих плеч.

114

По современным оценкам, масса центральной черной дыры в нашей Галактике немного превышает 4 миллиона масс Солнца. При этом ее поперечник составляет около 25 миллионов километров, то есть она примерно в 20 раз больше Солнца по размерам. – Примеч. пер.

115

Сирах считается частью Библии католиками, большинством восточных православных церквей (в Русской православной церкви считается неканонической. – Примеч. пер.) и признается некоторыми иудеями. Лютеранские церкви включают ее в свои лекционарии и в качестве книги, рекомендуемой для чтения, служения и молитвы, но не рассматривают ее как часть Библии. Сходное отношение у большинства иудеев и в англиканской церкви.

116

Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит). – М.; Л., 1932. – С. 76. – Примеч. пер.

117

Меньшее – восемнадцать или менее на рулеточном жаргоне. – Примеч. пер.

118

Тонкий момент: информация измеряет не то, что я знаю, а число возможных различных альтернатив. Когда на рулетке выпадает число 3, я получаю информацию N = 37, поскольку на рулетке имеется 37 чисел; однако информация, которую я получаю, когда при выпадении красного выигрывает число 3, – N = 18, поскольку на рулетке имеется 18 красных чисел. Сколько информации мы получим, если разберемся, кто из братьев Карамазовых убил своего отца? Ответ зависит от того, сколько всего братьев Карамазовых.

119

Эта мысль Демокрита известна по пересказу Аристотеля: «Ведь трагедия и комедия составляются из одних и тех же букв» // Лурье С. Я. – Демокрит. Л., 1970. – Фр. 241, с. 468.

120

Больцман не использовал понятия информации, но его работы можно интерпретировать таким образом.

121

Энтропия пропорциональна логарифму объема фазового пространства. Коэффициент пропорциональности k – это постоянная Больцмана, которая переводит единицы измерения информации в единицы измерения энтропии (Дж/К).

122

В конечной области ее фазового пространства.

123

Подробное обсуждение этих двух постулатов можно найти в статье Carlo Rovelli, Relational Quantum Mechanics // in International Journal of Theoretical Physics, 35, 1637, 1996, http://arxiv.org/abs/quant-ph/9609002.

124

Это как раз то, что (неудачно) называют коллапсом волновой функции.

125

Вот как это происходит формально: больцмановское статистическое состояние описывается функцией на фазовом пространстве, заданной экспонентой гамильтониана. Гамильтониан – это генератор эволюции во времени. В системе, в которой время не определено, не существует и гамильтониана. Но если есть статистическое состояние, мы просто берем его логарифм, и это определяет гамильтониан, а значит, и понятие времени.

126

Лурье С. Я. Демокрит. – Л., 1970. – Фр. 65. С. 223. – Примеч. пер.

127

Diogenes Laertius. Lives of Eminent Philosophers. 2 vols. (New York, Loeb, 1989) // Лурье С. Я. Демокрит. – Л., 1970. – Фр. 58. С. 221.

128

В тексте «Федона» именно такого выражения нет. По-видимому, автор имеет в виду следующий пассаж, которым заканчивается космологический фрагмент диалога: «Правда, человеку здравомыслящему не годится утверждать с упорством, будто все обстоит именно так, как я рассказал». (Федон (пер. С. П. Маркиша) в кн.: Платон. Соч.: В 4 т. Т. 2. – СПб., 2007. – С. 91) – Примеч. пер.

129

Блаженный Августин. Исповедь (пер. М. Е. Сергеенко). – СПб., 2013. – С. 181. – Примеч. пер.

130

Данте А. Божественная комедия. Ад. Песнь XXVI (119–120) (пер. М. Лозинского).

131

Mario Luzi, Dalla torre, в кн.: Dal fondo delle campagne (Turin, Einaudi). P. 214.