Онлайн книга
Примечания книги
1
Фейгенбаум, Каррутерс, Кэмпбелл, Фармер, Вишер, Керр, Хасслачер, Джен.
2
Фейгенбаум, Каррутерс.
3
Бачел, Шлезингер, Вишневски.
4
Йорк.
5
Browand F. К. «The Structure of Turbulent Mixing Layer» // Physica. Vol. 18D. P. 135.
6
К изучению поведения автомобилей в дорожной пробке особенно серьезно подошли японские ученые; см. Musha T., Higuchi H. «The 1/f Fluctuation of a Traffic Current on an Expressway» //Japanese Journal of Applied Physics. P. 1271–1275.
7
Mandelbrot R., Wisdom M., Alvin M. S. «Chaos – A Model for the Outbreak of War» // Nature. Vol. P. 303–305.
8
Шлезингер.
9
Шлезингер.
10
Форд.
11
Ford J. «What Is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», preprint. Georgia Institute of Technology. R 12.
12
Именная позиция в Кембридже (одна из самых престижных научных должностей в мире), названная по имени благотворителя Генри Лукаса, завещавшего в 1663 году средства для ее финансирования. Вторым лукасовским профессором был сэр Исаак Ньютон, с тех пор ее часто неформально называют «ньютоновской». – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.
13
Boslough J. Stephen Hawklng's Universe. Cambridge: Cambridge University Press, 1980; см. также: Shaw R. The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Santa Cruz: Aerial, P. 1.
14
Cray – название компании, производящей суперкомпьютеры. Macintosh – название персональных компьютеров, выпускавшихся компанией Apple.
15
Лоренц, Малкус, Шпигель, Фармер. По сути, Лоренц создал три ключевые работы, центральная из которых: «Deterministic Nonperiodic Flow» // Journal of the Atmospheric Sciences. Vol. P. 130-141. Она дополнена еще двумя: «The Mechanics of Vacillation» //Journal of the Atmospheric Sciences. Vol. 20 P. 448–464; «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations» // 7e//us. Vol. R 1-Вместе они составляют обманчивое в своей легковесности исследование, которое и двадцать лет спустя продолжало влиять на умы математиков и физиков. Некоторые погодные модели, построенные лично Лоренцем с помощью его первого компьютера, см.: «On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems» // Global Analysis / Ed. by M. Marsden and J. Marsden. New York: Springer-Verlag, R 53–75.
16
Примерно 24 градуса по Цельсию.
17
Современное описание проблемы использования уравнений в погодном моделировании, изложенное Лоренцем, см.: «Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation» //Advances In Earth Science / Ed. by R M. Hurley. Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, P. 95-Одно из самых ранних и вдохновляющих исследований этой проблемы: Richardson L F. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.
18
Лоренц. Как в его мышлении сочетались математические и метеорологические основания, см.: «Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere», Crafoord Prize Lecture presented at the Royal Swedish Academy of Sciences, Stockholm, Sept. 28, 1983 // Tellus. Vol. 36A. P. 98–110.
19
Уже восьми: в 2006 году Плутон переведен в статус «карликовых планет».
20
Laplace R S. de. A Philosophical Essay on Probabilities. New York: Dover, 1951.
21
Уинфри.
22
Лоренц.
23
«On the Prevalence». P. 55.
24
Из всех классических физиков и математиков, которые размышляли над динамическими системами, лучше всех возможности хаоса осознавал Жюль Анри Пуанкаре. В работе «Наука и метод» он писал: «Таким образом, совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то мы могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно. Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным…» (Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, – Прим. ред.) С переходом из XIX века в XX его предупреждение было забыто; единственным математиком в США, который продолжал следовать заветам Пуанкаре в 1920-1930-е годы, был Джордж Биркгоф. Так случилось, что он недолгое время был наставником Эдварда Лоренца в Массачусетском технологическом институте.
25
Лоренц; а также см.: «On the Prevalence». P. 56.
26
Лоренц.
27
Вудс, Шнейдер; см. также большой обзор экспертных мнений того времени: «Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near» // The New York Times. 9 September. P. 1.
28
Дайсон.
29
Боннер, Бенгтссон, Вудс, Лейт.
30
Medawar R В. «Expectation and Prediction» // Pluto's Republic. Oxford: Oxford University Press, R 301–304.
31
Изначально Лоренц использовал для описания эффекта образ чайки, а тот образ, который используется сейчас, по-видимому, позаимствован из его работы «Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?» и связан с выступлением на ежегодном собрании Американской ассоциации содействия развитию науки в Вашингтоне 29 декабря 1979 года.
32
Йорк.
33
Лоренц, Уайт.
34
«The Mechanics of Vacillation».
35
Перевод С. Я. Маршака.
36
Джордж Херберт; в этом контексте цит. по: Wiener N. «Nonlinear Prediction and Dynamics» // Collected Works with Commentaries / Ed. by R Masani. Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, R 3:Винер не был согласен с Лоренцем как минимум в признании наличия «самостоятельных колебаний незначительных деталей на погодной карте». Он отмечал: «Торнадо – в высшей степени локальный феномен, и его точный путь могут определять мелочи, не влияющие глобально больше ни на что».
37
Тут имеется в виду следующее. Пусть есть линейное уравнение типа ẍ+x= = a (t)+ b (t)+ c(t). Это уравнение описывает динамику колебательного процесса, и здесь a (t), b (t)и c (t) – слагаемые, отвечающие за различные внешние воздействия. например, можно представить себе ребенка, качающегося на качелях в ветреную погоду. тогда a (t)будет обозначать усилия самого ребенка, b (t) – усилия его родителей, помогающих раскачиваться, и c (t) – силу ветра. можно разобрать исходное уравнение на кусочки, а именно – решить три отдельных уравнения, каждое из которых учитывает только один из трех эффектов (то есть х + х = a(t), x + x = b(t)nx+x = c(t)). Если теперь сложить решения этих уравнений, результат будет решением исходного уравнения. Эта аддитивность и является как раз следствием линейности – нелинейные уравнения таким свойством не обладают.
38
Neumann J. von. «Recent Theories of Turbulence» (1949) // Collected Works / Ed. by A. H. Taub. Oxford: Pergamon Press, R 6:437.
39
«The predictability of hydrodynamic flow» // Transactions of the New York Academy of Sciences. Vol. 11:25:R 409–432.
40
Ibid. R 410.
41
Этот набор из семи уравнений для описания конвекции был разработан Барри Сольцменом из Йельского университета, с которым Лоренц был знаком. Обычно уравнения Сольцмена описывают периодическое поведение, но, как заметил Лоренц, имелось одно исключение, при котором жидкость «отказывалась приходить в состояние покоя». Тогда Лоренц понял, что значение четырех из уравнений в ситуации хаоса сводится к нулю, поэтому их можно не учитывать. Saltzman В. «Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem» // Journal of the Atmospheric Sciences. Vol. P. 329.
42
Появление конвективных валов в жидкости из уравнений Навье – Стокса, непрерывности и теплопроводности подробно описано в монографии Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М: Либроком, 2010.
43
Подобную модель можно найти в статье: Cook A. E., Roberts P. H. «The Rikitake twodisc dynamo system» // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. P. 547–569.
44
Малкус; хаотичность магнитного поля Земли до сих пор остается горячо обсуждаемой темой, и некоторые ученые продолжают искать объяснения этому явлению, в том числе не исключая возможности внешнего воздействия, например потоков воздуха, идущих от огромных метеоритов. Одно из первых предположений, что изменения обусловлены хаосом, встроенным в саму систему, см.: Robbins К. A. «A moment equation description of magnetic reversals in the earth» // Proceedings of the National Academy of Science. Vol. P. 4297–4301.
45
Малкус.
46
Подобное вращение можно наблюдать на видео: www.youtube.com/watch?v=Gu50alrmzNA.
47
Эта классическая модель, обычно называемая системой Лоренца, выглядит так:
dx/dt = 10 (у−х)
dy/dt = −xz + 28х − у
dz/dt = ху − (8/3) z
С момента ее появления в «Deterministic Nonperiodic Flow» система Лоренца много исследуется; см., например, авторитетную техническую работу: Sparrow C. The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer-Verlag, 27 См. русский перевод: Лоренц Э. «Детерминированное непериодическое течение» // Странные аттракторы. М.: Мир, С. 88. (Прим. науч. ред.)
48
Малкус, Лоренц.
49
«Deterministic Nonperiodic Flow» в середине 1960-х в научном сообществе цитировалась с периодичностью раз в год, а двумя десятилетиями позже – больше чем сто раз в год.
50
Предложенное Куном понимание научной революции широко критиковалось и обсуждалось спустя четверть века после того, как он его высказал, примерно в то время, когда Лоренц пытался построить с помощью компьютера первые погодные модели. В рассказе о взглядах Куна я полагался в первую очередь на его работу: The Structure of Scientific Revolutions, 2nd ed. enl. Chicago: University of Chicago Press, 1970; а также: The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change. Chicago: University of Chicago, 1977; «What Are Scientific Revolutions?» //Occasional Paper. No. Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology; и интервью с Куном. Еще один полезный и важный источник, который содержит размышления о предмете: Cohen I. В. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Belknap Press, 1985.
51
Structure. P. 62–65, со ссылкой на: Bruner J. S., Postman L «On the Perception of Incongruity: A Paradigm» // Journal of Personality. Vol. XVIII. R 206.
52
Structure. P. 24.
53
Tension. P. 229.
54
Structure. P. 13–15.
55
Tension. P. 234.
56
Свитанович.
57
Форд, интервью, а также: «Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable» // Chaotic Dynamics and Fractals / Ed. by M. F. Barnsley and S. G. Demko. New York: Academic Press, 1985.
58
Но Майкл Берри отмечает, что в Оксфордском словаре есть редко употребляемое слово «хаология», которое означает «историю или описание хаоса». Berry M. «The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine», preprint, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol.
59
Рихтер.
60
На сегодняшний день одной из крупных лабораторий в Северной Америке, занимающейся вопросами нелинейной динамики и вибрационных испытаний, является Dynamics, созданная профессором, исследователем в области машиностроения Альбертом Луо.
61
Crutchfield J., Nauenberg M., Rudnick J. «Scaling for External Noise at the Onset of Chaos» // Physical Review Letters. Vol. R 933.
62
В среде математиков – специалистов в области качественной теории дифференциальных уравнений – такое мнение действительно встречается, поскольку, например, то, что демонстрируют предельные решения системы Лоренца, в общем случае было изучено ранее в теоретических работах Джорджа Биркгофа и др.
63
Wolf A. «Simplicity and Universality in the Transition to Chaos» // Nature. Vol. R 182; Ford J. «What is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», preprint, Georgia Institute of Technology, Atlanta.
64
«What Are Scientific Revolutions?» P. 23.
65
Structure. P. 11.
66
Йорк и другие.
67
«What Are Scientific Revolutions?» P. 2–10.
68
Galileo Opere. Vol. VIII. R 277; Vol. VIII. R 129–130.
69
Tritton D. «Chaos in the Swing of a Pendulum» // New Scientist. 24 July. P. Это доступное эссе, не перегруженное техническими подробностями, о философских аспектах маятникового хаоса.
70
Здесь речь идет о математическом маятнике без трения, совершающем малые колебания около нижнего положения равновесия; при больших начальных углах отклонения период будет зависеть от угла и колебания будут совершаться по более сложному закону, чем синусоидальный.
71
Процессы, в которых энергия в конечном счете переходит в тепло.
72
Решения физических нелинейных систем существуют (иначе никакого процесса не было бы), но аналитически (то есть в классе известных функций, свойства которых хорошо изучены математиками) найти их очень часто невозможно, как, например, для системы Лоренца; поэтому сегодня используют методы вычислительной математики для построения приближенных решений.
73
Соединение сверхпроводников, разделенных диэлектриком. Протекание тока через слой диэлектрика в этом случае называется эффектом Джозефсона по имени британского физика Брайана Джозефсона, предсказавшего это явление в 1962 году (Нобелевская премия 1973 года). Эффект Джозефсона используется в построении высокоточных измерительных приборов и в других областях.
74
Например, реакции Белоусова – Жаботинского.
75
На практике тот, кто дает толчок, всегда может произвести более или менее регулярное движение, предположительно, используя неосознаваемый нелинейный механизм ответа.
76
Хорошо подводит итог многих попыток анализа возможных трудностей в понимании механизма работы простого колеблющегося маятника: D'Humieres D., Beasley M. R., Huberman Β. Α., Libchaber A. «Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum» // Physical Review A Vol. P. 3483–3496.
77
Майкл Берри исследовал физическую природу этой игрушки как в теории, так и экспериментально. В работе «The Unpredictable Bouncing Rotator» он описывает спектр ее возможного поведения на языке нелинейной динамики: «теория KAM», «бифуркация периодических орбит», «гамильтонов хаос», «устойчивые неподвижные точки» и «странные аттракторы».
78
Эно.
79
Уэда.
80
Фокс.
81
Смейл, Йорк, Гукенхеймер, Абрахам, Мэй, Фейгенбаум; краткая и до некоторой степени анекдотическая оценка образа мыслей Смейла в тот период: Smale S. «On How l Got Started in Dynamical Systems»//Smale S. The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics. New York: Springer-Verlag, P. 147–151.
82
Anderson R. H. «Moscow Silences a Critical American» / /The New York Times. 27 August. P. 1; Smale S. «On the Steps of Moscow University» // The Mathematical Intelligencer. Vol. №P. 21–27.
83
Смейл.
84
Коллегой был Н. Левинсон. Несколько направлений в математике, восходящих к Пуанкаре, могут сойтись вместе. Работа Биркгофа стала одним из подтверждений этого. В Англии Мэри Люси Картрайт и Дж. И. Литтлвуд последовали подсказкам, оставленным Балтазаром Ван дер Полем относительно хаотических осцилляторов. Эти математики осторожно восприняли идею о возможности хаоса в простых системах, а Смейл, как большинство хорошо образованных математиков, принимал во внимание только их работы, пока не получил письмо от Левинсона.
85
Смейл доказал одно из обобщений той самой гипотезы Пуанкаре для трехмерного пространства, которую позже доказал Григорий Перельман.
86
Слова «поверхность» и «многообразие» можно считать синонимами. Сфера и тор (поверхность бублика) – примеры многообразий. Размерность многообразия – это количество чисел, которые нужно задать, чтобы выделить на нем конкретную точку. Например, любая точка на обычной сфере однозначно определяется парой чисел – долготой и широтой, – поэтому говорят, что сфера двумерна (хотя и лежит в трехмерном пространстве); поверхность обычного бублика тоже двумерна. Представить себе многообразия с размерностями больше двух довольно трудно, но для понимания дальнейшего и не нужно.
87
В теории динамических систем слово «устойчивость» имеет разные значения, и в этом абзаце они немного перемешаны. Есть понятие устойчивости положения равновесия (так называемая устойчивость по Ляпунову). Пример с шариком в лунке и карандашом на острие – как раз про этот тип устойчивости. Причем, как справедливо отмечает автор, в одной и той же системе могут наблюдаться устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Рассмотрим, например, качели, способные по своей конструкции совершить полный оборот. Пусть качели пусты, их никто не толкает и они неподвижны. Тогда они могут находиться в устойчивом положении равновесия (сиденье максимально близко к земле) и – теоретически – в неустойчивом (сиденье максимально далеко от земли). В отличие от устойчивости по Ляпунову, устойчивость «по Смейлу», более известная как структурная устойчивость, – это характеристика не отдельного состояния системы, а всей системы целиком. Возвращаясь к примеру с качелями: если немного изменить их конструкцию – например, сделать сиденье чуть шире или чуть уже либо слегка изогнуть поручни, – они будут вести себя примерно так же, как и раньше. У них по-прежнему будет два возможных положения равновесия, они по-прежнему могут колебаться или проворачиваться – даже если какие-то количественные характеристики их возможного движения изменятся, качественно все останется по-прежнему. В этом смысле система, описывающая качели, структурно устойчива. Понятие структурной устойчивости появилось в работе A. A. Андронова и Л. С. Понтрягина в 1937 году (там оно названо «грубостью»). Гипотеза, выдвинутая Смейлом, состояла в том, что хаос не может наблюдаться в структурно устойчивых системах.
88
Smale S. «On How I Got Started».
89
Ван дер Поль описал свое исследование в публикации: Nature. Vol. P. 363–364.
90
Опять же имеется в виду структурная устойчивость, а не устойчивость конкретного положения равновесия.
91
Ibid.
92
Бескомпромиссно математическое объяснение Смейлом этой работы см.: «Differentiable Dynamical Systems» // Bulletin of the American Mathematical Society. P. 747–817 (а также: The Mathematics of Time. P. 1-82).
93
Рёсслер.
94
Йорк.
95
Важнее обратное: даже точки, которые исходно находились очень близко друг к другу, из-за постоянных растяжений со временем окажутся на заметном расстоянии.
96
Гукенхеймер, Абрахам.
97
Абрахам.
98
Маркус, Инджерсолл, Уильямc; Marcus P. S. «Coherent Vortical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter». Paper presented at the 110th Meeting of the Acoustical Society of America, Nashville, Tennessee, 5 November 1985.
99
Updike J. «The Moons of Jupiter» // Facing Nature. New York: Knopf, P. 74.
100
Инджерсолл; см. также: Ingersoll A. P. «Order from Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Saturn» // Planetary Report. Vol. № P. 8–11.
101
Маркус.
102
Маркус.
103
Мэй, Шаффер, Йорк, Гукенхеймер. Знаменитый обзор уроков Мэя по теории хаоса в биологии: «Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics» //Nature. Vol. R 459–467; а также: «Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos» // Science. Vol. R 645–647; May R., Oster G. F. «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models» // The American Naturalist. Vol. R 573-Прекрасный обзор развития математического моделирования популяций еще до возникновения теории хаоса: Kingsland S. E. Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology. Chicago: University of Chicago Press, 1985.
104
May R., Seger J. «Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorrow», preprint. Princeton University. P. 25.
105
May R., Oster G. F. «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models» // The American Naturalist. Vol. R 573.
106
Мэй.
107
Удобства ради в данной весьма абстрактной модели численность особей выражается дробным числом, которое больше нуля, но меньше единицы, причем нуль обозначает вымирание, а единица – максимально возможную численность популяции, скажем, рыб в пруду. Итак, начнем: произвольно выберем значение параметра r, например 2,7, и начальную численность популяции, к примеру 0,Отнимем от единицы 0,02, получив 0,98, и умножим 0,98 на 0,02, получив в итоге 0,Теперь умножим результат на 2,7 и получим 0,Крошечная начальная численность популяции выросла более чем в два раза. Повторим процедуру, используя только что полученную численность особей в качестве исходных данных, и получим 0,С простым, дешевым калькулятором, в который можно ввести определенную программу, для получения такого результата нужно лишь нажимать одну и ту же кнопку снова и снова. Популяция увеличивается до 0,3159, затем до 0,5835, потом до 0,6562 – рост численности замедляется. Далее, по мере того как смертность от нехватки пропитания «догоняет» воспроизводство, численность будет равняться 0,6092, 0,6428, 0,6199, 0,6362, 0,Значения в числовом ряду скачут: то возрастают, то уменьшаются. Впрочем, заканчивается он строго определенным значением: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,Это явный успех! Когда все расчеты выполнялись вручную и даже во времена механических счетных машинок с ручным приводом, дальше подобных вычислений дело особенно не шло. – Прим. автора.
108
Smith J. M. Mathematical Ideas in Biology. Cambridge: Cambridge University Press, R 18; Gold H. J. Mathematical Modeling of Biological Systems.
109
Мэй.
110
Hethcote H. W., Yorke J. A. Gonorrhea Transmission Dynamics and Control. Berlin: Springer-Verlag, 1984.
111
Благодаря компьютерному моделированию Йорк узнал, что система вынуждает водителей совершать больше поездок на заправочную станцию и постоянно наполнять бак; таким образом система в любой момент могла увеличить количество бензина, расточительно заправляемого в автомобили по всей стране.
112
Позднее записи из аэропорта подтвердили, что Йорк был прав.
113
Йорк.
114
Gell-Mann M. «The Concept of the Institute» // Emerging Syntheses in Science. Proceedings of the founding workshops of the Santa Fe Institute. Santa Fe: The Santa Fe Institute, P. 11.
115
Йорк, Смейл.
116
Имеется в виду следующее. Если взять число от О до 1 наугад (например, выбрать случайную точку на отрезке числовой прямой), оно почти наверняка окажется иррациональным, то есть будет представляться бесконечной непериодической десятичной дробью. Более того, последовательность цифр после запятой будет вести себя как результат случайного подбрасывания игральной кости с 10 гранями. Например, все возможные цифры будут встречаться с одинаковой частотой.
117
Йорк.
118
Доступный рассказ о линейности, нелинейности и ранних попытках использовать компьютер, для того чтобы понять разницу: Campbell D., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Jen E. «Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science» // Communications of the Association for Computing Machinery. Vol. P. 374–384.
119
Ферми; цит. по: Ulam S. M. Adventures of a Mathematician. New York: Scribners, Улам также описывает происхождение другой важной традиции в понимании нелинейности, проблемы Ферми – Паста – Улама. В поисках задач, которые можно было бы решить на новом компьютере MANIAC в Лос-Аламосе, ученые попробовали заняться динамической системой, которую представляет собой вибрирующая струна – простая модель, «имеющая к тому же корректный с точки зрения физики, небольшой нелинейный период колебаний». В результате они обнаружили паттерны, которые сливались в неожиданную периодичность. Как описал их находку Улам: «Результаты оказались абсолютно не такими, какими их ожидал увидеть в том числе Ферми со всем его глубоким знанием волновых движений… К нашему удивлению, струна начала играть в игру со стульями…» Ферми посчитал находку неважной, и она не приобрела широкую известность, но несколько математиков и физиков продолжили ее изучение, и она стала частью локального знания в Лос-Аламосе. Adventures. Р. 226–228.
120
Цит. по: «Experimental Mathematics». R 374.
121
Йорк.
122
Статья написана совместно с его студентом Тьен-Йеном Ли: «Period Three Implies Chaos» //American Mathematical Monthly. Vol. R 985–992.
123
Мэй.
124
Мэй; казалось бы, неразрешимый вопрос побудил его перейти от аналитических методов к числовым экспериментам и по крайней мере пробудил интуицию.
125
Постдок (англ. postdoc) – человек, недавно получивший степень Ph. D. (аналог кандидата наук) и работающий исследователем на временной позиции. Как правило, после защиты диссертации молодой исследователь последовательно меняет несколько постдок-позиций в разных университетах, работая на каждой один-два года, прежде чем сможет получить постоянную позицию профессора.
126
Йорк.
127
Скажем, при r= 3,5 и начальной численности популяции 0,4 Мэй увидел следующий числовой ряд:
0,4000; 0,8400; 0,4704; 0,8719;
0,3908; 0,8332; 0,4862; 0,8743;
0,3846; 0,8284; 0,4976; 0,8750;
0,3829; 0,8270; 0,4976; 0,8750;
0,3829; 0,8270; 0,5008; 0,8750;
0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750;
0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750 и т. д. – Прим. автора
128
Английское слово bifurcation как раз и означает «разветвление». В дальнейшем в теории динамических систем этим словом стал обозначаться более широкий класс явлений, при которых системы меняют свои качественные характеристики.
129
«Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself» // Ukrainian Mathematics Journal. Vol. R 61.
130
Александр Николаевич Шарковский (родился в 1936 году в Киеве) – советский и украинский математик, с 1978 года член-корреспондент АН УCCР с 2006-го – академик HAH Украины.
131
Синай, в личной беседе, состоявшейся 8 декабря 1986 года.
132
Это были Фейгенбаум и Свитанович.
133
Мэй.
134
Хоппенштедт.
135
Мэй.
136
Schaffer W. M., Kot M. «Nearly One-dimensional Dynamicsinan Epidemic» //Journal of Theoretical Biology. Vol. R 403–427; Schaffer W. M. «Stretching and Folding in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature» // The American Naturalist. Vol. R 798–820.
137
«Simple Mathematical Models». P. 467.
138
Ibid.
139
Мандельброт, Гилмор, Восс, Барнсли, Рихтер, Мамфорд, Хаббард, Шлезингер. Настольная книга Бенуа Мандельброта: The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, Интервью с Энтони Барселлосом в: Mathematical People/ Ed. by D. J. Albers and G. L. Alexanderson. Boston: Birkhauser, Два эссе Мандельброта, которые не широкоизвестны, но крайне интересны: «On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised» // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 16–14 August 1983, Warsaw. P. 1661–1675; «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», preprint. IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. Обзорных статей о приложении фракталов слишком много, чтобы приводить их список, но есть два полезных примера: Sandler L, Sandler M. «Fractal Growth Processes» // Nature. Vol. R 789–793; Voss R. «Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music» //Science and Uncertainty / Ed. by Sara Nash. London: IBM United Kingdom, 1985.
140
Хаутаккер, Мандельброт.
141
Цит. по: Fractal Geometry. P. 423.
142
Океанографический институт в Вудс-Хоуле, август 1985 года.
143
Мандельброт.
144
Мандельброт, Рихтер. Даже сейчас о Бурбаки написано немного; см. игривое введение в тему: Halmos R R. «Nicholas Bourbaki» // Scientific American. Vol. R 88–89.
145
Смейл.
146
Пайтген.
147
«Second Stage». R 5.
148
Мандельброт; Fractal Geometry. P. 74; Berger J. M., Mandelbrot B. «A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits» // IBM Journal of Research and Development. Vol. R 224–236.
149
Fractal Geometry. P. 248.
150
Например: Ibid. P. 1.
151
Ibid. R 27.
152
Ibid. R 17.
153
Ibid. R 18.
154
Мандельброт.
155
Fractal Geometry. P. 131; «On Fractal Geometry». R 1663.
156
Ф. Хаусдорф и А. С. Безикович.
157
Мандельброт.
158
Шольц; Scholz С. Н., Aviles CA. «The Fractal Geometry of Faults and Faulting», preprint. Lamont-Doherty Geophysical Observatory; Scholz С. Н. «Scaling Laws for Large Earthquakes» // Bulletin of the Seismological Society of America. Vol. R 1-14.
159
Перевод С. Я. Маршака.
160
Fractal Geometry. P. 24.
161
Шольц.
162
Шольц.
163
Bloom W., Fawcett D. W. A Textbook of Histology. Philadelphia: W. B. Saunders, 1975.
164
Один из обзоров этих идей см.: Goldberger A. L. «Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death» // Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems / Ed. by L. Rensing, U. An der Heiden, M. Mackey. New York: Springer-Verlag, 1987.
165
Голдбергер, Уэст.
166
Goldberger Α. L., Bhargava V, West B. J., Mandell A. J. «On a Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis» // Biophysics Journal. Vol. P. 525.
167
Feder В. J. «The Army May Have Matched the Goose» // The New York Times. 30 November. №P. 16.
168
Мандельброт.
169
Cohen B. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Belknap, P. 46.
170
Мамфорд.
171
Рихтер.
172
Точно так же как Мандельброт мог впоследствии не признавать приписываемых Митчеллу Фейгенбауму заслуг, не ссылаясь на числа Фейгенбаума и универсальность Фейгенбаума. Вместо этого Мандельброт обычно упоминал математика П. Ю. Мирберга, который изучал итерации квадратичных отображений предположительно в начале 1960-х.
173
В математике существуют разные подходы к определению понятия размерности. Например, помимо размерности Хаусдорфа – Безиковича есть размерность Минковского, топологическая размерность (в отличие от двух других, она бывает только целой) и другие.
174
Рихтер.
175
Мандельброт.
176
Клафтер.
177
Родственный Губерману.
178
«Freedom, Science, and Aesthetics» // Schönheit im Chaos. P. 35.
179
Fowles J. A Maggot Boston: Little, Brown, Ρ 11.
180
Helleman R. H. G. «Self-Generated Behavior in Nonlinear Mechanics» //Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5 / Ed. by Ε. G. D. Cohen. Amsterdam: North-Holland, R 165.
181
Лев Каданов, например, задался вопросом: «В чем заключаются физические основания фракталов?» в Physics Today (February R 6) и затем сам ответил на него, описав новый «мультифрактальный» подход в Physics Today (April R 17), чем спровоцировал Мандельброта на типично раздраженную ответную реплику в Physics Today (September P. 11). Мандельброт писал, что теория Каданова лично его «наполняет гордостью отца, который скоро станет дедушкой».
182
Рюэль, Эно, Рёсслер, Синай, Фейгенбаум, Мандельброт, Форд, Крайхнан. Существует много точек зрения на исторический контекст возникновения представления о турбулентности странного аттрактора. Для знакомства с темой см.: Miles J. «Strange Attractors in Fluid Dynamics» // Advances in Applied Mechanics. Vol. R 189-Самая доступная статья Рюэля: «Strange Attractors» // Mathematical Intelligencer. Vol. P. 126–137; его смелое предположение: Ruelle D., Takens F. «On the Nature of Turbulence» // Communications in Mathematical Physics. Vol. R 167–192; a также другие его важные работы: «Turbulent Dynamical Systems» // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 16–24 August 1983, Warsaw. R 271–286; «Five Turbulent Problems» // Physica. Vol. 7D. R 40–44; «The Lorenz Attractor and the Problem of Turbulence» // Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, No. R 146–158.
183
На этот счет существует много версий. Орзаг приводит четыре варианта авторства – Гейзенберга – фон Неймана, Лэмба, Зоммерфельда и фон Кармана – и добавляет: «Если бы Господь действительно дал ответ этим четырем людям, то в каждом случае он был бы разным».
184
Рюэль; см. также: «Turbulent Dynamical Systems». R 281.
185
Landau L. D., Lifshitz E. M. Fluid Mechanics. Oxford: Pergamon, 1959.
186
Малкус.
187
Суинни.
188
Суинни, Голлаб.
189
Дайсон.
190
Суинни.
191
Суинни, Голлаб.
192
Суинни.
193
Gollub J. R, Swinney H. L «Onset of Turbulence in a Rotating Fluid» // Physical Review Letters. Vol. R Эти эксперименты стали лишь первым шагом на пути изучения сложного пространственного поведения, которое можно наблюдать, изменяя некоторые параметры потока между вращающимися цилиндрами. В течение следующих нескольких лет были выявлены некоторые закономерности – от «спиралеобразной волны» до «волнообразного притока и оттока» и «взаимопроникающих спиралей». Итоги этим исканиям подведены в работе: Andereck С. D., Liu S. S., Swinney H. L. «Flow Regimes in a Circular Couette System with Independently Rotating Cylinders» // Journal of Fluid Mechanics. Vol. R 155–183.
194
Рюэль.
195
Рюэль.
196
«On the Nature of Turbulence».
197
Они быстро обнаружили, что некоторые из их идей уже обсуждались в русской научной литературе. «С другой стороны, математическое объяснение турбулентности, которое мы приводим, остается исключительно на нашей совести», – замечали они. «Note Concerning Our Paper „On the Nature of Turbulence“» // Communications in Mathematical Physics. Vol. R 343–344.
198
Рюэль.
199
«Strange Attractors». R 131.
200
Рюэль.
201
Abraham R. H., Shaw С D. Dynamics: The Geometry of Behavior. Santa Cruz: Aerial, 1984.
202
Feynman R. P. The Character of Physical Law. Cambridge, Mass.: The Μ. Ι. Τ Press, R 57.
203
Перевод Э. Наппельбаума и В. Голышева.
204
Рюэль.
205
«Turbulent Dynamical Systems». P. 275.
206
«Deterministic Nonperiodic Flow». P. 137.
207
Ibid. R 140.
208
Рюэль.
209
Уэда рассматривает свои ранние открытия с точки зрения электрических цепей в работе: «Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing's Equation» // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. R 481–491, рассказывает о том, что мотивировало его двигаться дальше, и приводит прохладный ответ своих коллег в постскриптуме. Также: Стюарт, в личном общении.
210
Рёсслер.
211
Эно; он рассказал о своем изобретении в работе: «A Two-Dimensional Mapping with a Strange Attractor» // Communications in Mathematical Physics. Vol. R 69–77; а также в: Henon M., Pomeau Y. «Two Strange Attractors with a Simple Structure» // Turbulence and the Navier-Stokes Equations / Ed. by R. Teman. New York: Springer-Verlag, 1977.
212
Уисдом.
213
Henon M., Heiles С. «The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments» // Astronomical Journal. Vol. R 73.
214
Эно.
215
Эно.
216
«The Applicability». P. 76.
217
Ibid. R 79.
218
Ив Помо.
219
Эно.
220
Рамси.
221
«Strange Attractors». R 137.
222
Фейгенбаум. Важнейшие работы Фейгенбаума об универсальности: «Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations» //Journal of Statistical Physics. Vol. P. 25–52 и «The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations» // Journal of Statistical Physics. Vol. R 669–706; несколько более доступное изложение, хотя по-прежнему требующее некоторого знания математики, можно найти в его обзорной статье: «Universal Behavior in Nonlinear Systems» // Los Alamos Science. Vol. 1 (Summer 1981). R 4-Я также опираюсь на его неопубликованные воспоминания: «The Discovery of Universality in Period Doubling».
223
Фейгенбаум, Каррутерс, Свитанович, Кэмпбелл, Фармер, Вишер, Керр, Хасслачер, Джен.
224
Каррутерс.
225
Фейгенбаум.
226
Каррутерс.
227
Каданов.
228
Густав Малер, письмо Максу Маршальку.
229
«К теории цвета» Гёте сейчас доступно в нескольких изданиях. Я использовал прекрасно иллюстрированную книгу: Goethe's Color Theory / Ed. by Rupprecht Matthaei, trans, by Herb Aach. New York: Van Nostrand Reinhold, 1970; более доступно издание: Theory of Colors. Cambridge, Mass.: The Μ. Ι. Τ Press, 1970, с превосходным предисловием Дина Б. Джадда.
230
В определенный момент Улам и Нейман использовали свойства хаоса для решения проблем генерирования случайных чисел с помощью конечного цифрового компьютера.
231
Эта работа прокладывает путь от идей Станислава Улама и Джона фон Неймана к идеям Джеймса Йорка и Митчелла Фейгенбаума: «On Finite Limit Sets for Transformations on the Unit Interval» // Journal of Combinatorial Theory. Vol.R 25–44.
232
«The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations» // Tellus. Vol.R 1-11.
233
Имеется в виду, что последовательность состоит из бесконечного числа букв П, то есть в ходе итераций точка всегда попадает на правую ветвь параболы.
234
Манабе.
235
Фейгенбаум.
236
Мэй.
237
«On Finite Limit Sets». P. 30-Самый важный момент в этой работе: «Тот факт, что такое поведение… есть общее свойство четырех явно не связанных преобразований… позволяет предположить, что оно является общим свойством широкого класса преобразований. По этой причине мы назвали эту последовательность U-последовательностью, где U (с небольшой натяжкой) означает „универсальный“». Но математики не могли и представить, то универсальность будет распространяться на реальные числа; они составили таблицу с различными значениями параметров, каждый из которых был приведен с точностью до семи знаков после запятой, не принимая во внимания геометрические взаимоотношения, которые могут быть скрыты за ними.
238
Фейгенбаум.
239
Свитанович.
240
Сама точка является нульмерной, одномерно все фазовое пространство системы – ее состояние в фиксированный момент времени характеризуется одним числом.
241
Форд.
242
Стипендия Макартура, а в 1986 году премия Вольфа в области физики.
243
Дайсон.
244
Гилмор.
245
Свитанович.
246
Но даже тогда доказательство было не вполне строгим в том смысле, что оно зависело от огромного количества вычислений, которые не могли быть сделаны или проверены без использования компьютера. Лэнфорд; Lanford О. Е. «A Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures» // Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. R 427; а также: Collet P., J.-P. Eckmann J.-R, Lanford E. «Universal Properties of Maps on an Interval» // Communications in Mathematical Physics. Vol. P. 211.
247
Фейгенбаум; «The Discovery of Universality». P. 17.
248
Форд, Фейгенбаум, Лебовиц.
249
Форд.
250
Фейгенбаум.
251
Либхабер, Каданов.
252
Либхабер.
253
Libchaber A. «Experimental Study of Hydrodynamic Instabilities. Rayleigh-Benard Experiment: Helium in a Small Box» // Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities / Ed. by T. Riste. New York: Plenum, P. 259.
254
Либхабер, Фейгенбаум.
255
Либхабер.
256
Либхабер.
257
Stevens W. «This Solitude of Cataracts» // The Palm at the End of the Mind/ Ed. by Holly Stevens. New York: Vintage, R 321.
258
Stevens W. «Reality Is an Activity of the Most August Imagination» // Ibid. R 396.
259
Schwenk T. Sensitive Chaos. New York: Schocken, P. 19.
260
Перевод Я. Пробштейна.
261
Ibid.
262
Ibid. R 16.
263
Ibid. R 39.
264
Thompson D. W. On Growth and Form / Ed. by J. T. Bonner. Cambridge: Cambridge University Press, R 8.
265
Ibid. P. viii.
266
Gould S. J. Hen's Teeth and Horse's Toes. New York: Norton, P. 369.
267
On Growth and Form. P. 267.
268
Ibid. P. 114.
269
Кэмпбелл.
270
Либхабер.
271
Либхабер и Море, 1980 и 1981 годы. Ясное краткое изложение дается также в предисловии Свитановича.
272
Хоэнберг.
273
Фейгенбаум, Либхабер.
274
Голлаб.
275
Литература на этот счет равно обширна. См. краткое изложение ранних попыток соединить теорию и опыт в различных системах: Swinney H. L. «Observations of Order and Chaos in Nonlinear Systems» // Physica. Vol. 7D. R 3-Cyинни приводит список источников, разделенный на категории от электронных и химических осцилляторов до менее очевидных экспериментов.
276
Franceschini V., Tebaldi С. «Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five-Mode Truncation of the Navier-Stokes Equations» //Journal of Statistical Physics. Vol. R 707–726.
277
Collet R, Eckmann J.-R, Koch H. «Period Doubling Bifurcations for Families of Maps on Rn» // Journal of Statistical Physics. Vol. R 1.
278
Либхабер.
279
Барнсли.
280
Барнсли.
281
По-английски действительные числа называются real(numbers), а мнимые – imaginary, что можно также перевести как «настоящие», или «реальные», и «воображаемые» соответственно.
282
На самом деле интегрируются функции комплексной переменной.
283
Хаббард; Douady A. «Julia Setsand the Mandelbrot Set». P. 161-В основном тексте «Красоты фракталов» также приводится краткий математический обзор метода Ньютона, равно как и других встречающихся теорий комплексных динамических систем, обсуждаемых в этой главе.
284
«Julia Sets and the Mandelbrot Set». R 170.
285
Хаббард.
286
Хаббард; The Beauty of Fractals; Richter P. H., Peitgen H.-O. «Morphology of Complex Boundaries» // Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie. Vol. R 575–588.
287
Например, Хаббард. Доступное введение в тему с рекомендациями, как самостоятельно написать программу для микрокомпьютера: Dewdney A. К. «Computer Recreations» // Scientific American. August P. 16-Пайтген и Рихтер в «Красоте фракталов» предложили детальный обзор как математических расчетов, так и некоторых наиболее зрелищных доступных изображений.
288
«Julia Sets and the Mandelbrot Set». R 161.
289
Мандельброт, Лафф, Хаббард. Работа Мандельброта, написанная им от первого лица: «Fractals and the Rebirth of Iteration Theory» // The Beauty of Fractals. P. 151–160.
290
Мандельброт; The Beauty of Fractals.
291
Мандельброт.
292
Хаббард.
293
Пайтген.
294
Хаббард.
295
Рихтер.
296
Пайтген.
297
Пайтген.
298
Йорк; хорошее введение в тему для тех, кто разбирается в технических деталях: MacDonald S. W., Grebogi С, Ott E., Yorke J. A. «Fractal Basin Boundaries» // Physica. Vol. 17D. R 125–183.
299
Компьютерная программа, воспроизводящая множество Мандельброта, состоит из нескольких существенных частей. Главный ее механизм заключается в цикле, в котором выбирается начальное комплексное число и к нему применяется арифметическое правило. Для множества Мандельброта правило таково: z → z2+ с, где начальное значение z равно нулю, а с представляет собой комплексное число, соответствующее тестируемой точке. Итак, возьмем нуль, умножим его сам на себя, прибавим начальное число; взяв результат (он совпадет с начальным числом), умножим его сам на себя и прибавим начальное число; возьмем новый результат, опять умножим его сам на себя и прибавим начальное число. Арифметика комплексных чисел довольно бесхитростная. Комплексное число состоит из двух частей: например, 2 + 3i (местоположение точки: 2 к востоку и 3 к северу на комплексной плоскости). Чтобы сложить два комплексных числа, надо лишь сложить действительные части для получения новой действительной части и мнимые – для получения новой мнимой части:
Чтобы перемножить два комплексных числа, нужно умножить каждую часть одного из них на каждую часть другого и сложить получившиеся четыре результата. Поскольку i, умноженное само на себя, в силу первоначального определения мнимых чисел дает −1, то один член результата переходит в другой:
Чтобы выйти из этого цикла, программа должна отслеживать текущий итог. Если результат стремится к бесконечности, все более и более удаляясь от центра плоскости, выбранная точка не принадлежит множеству. В том случае, когда итог превышает 2 или становится меньше −2 либо в действительной, либо в мнимой части, результат, бесспорно, стремится к бесконечности и работа программы может продолжаться. Если она выполняет одни и те же вычисления много раз, не превышая 2, точка принадлежит множеству. Число итераций зависит от степени увеличения. Для масштаба, доступного персональному компьютеру, ста или двухсот повторений часто бывает достаточно, а тысяча дает полную гарантию. Программа должна повторить данный процесс для каждой из тысяч точек решетки, масштаб которой можно «подкрутить» для большего увеличения. Затем программа должна показать полученный результат. Точки, входящие в множество, могут быть обозначены черным цветом, а не принадлежащие к нему – белым. Для получения более наглядного изображения белый цвет можно заменить оттенками других цветов. В частности, если итерирование прекращается после десяти повторений, программа должна выдать красную точку, после двадцати – оранжевую, после сорока – желтую и так далее. Цвета и момент остановки расчета точек программист может выбрать сам. Цвета надлежащим образом обозначают контуры «ландшафта», оставшегося за пределами множества. – Прим. автора.
300
Это не совсем точное описание. Верно, что точки, стартующие вне множества Мандельброта, обязательно стремятся к бесконечности. Собственно, в этом и состоит определение множества Мандельброта. Однако точки, стартующие внутри него, не обязаны стремиться к нулю или еще к какой-то неподвижной точке – например, они могут стремиться к периодической орбите.
301
При определенных значениях параметров это свойственно и системе Лоренца. Также в этой системе возможен и устойчивый предельный цикл. См., например: Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М: Либроком, 2009.
302
Йорк.
303
Йорк, заметки на конференции по перспективам биологической динамики и теоретической медицины в Бетесде, штат Мэриленд, 10 апреля 1986 года.
304
Йорк.
305
Сходным образом в тексте, который должен был рассказать о хаосе инженерам, X. Брюс Стюарт и Дж. М. Томпсон предупреждали: «Захваченный ложным чувством безопасности в силу знания уникального ответа линейной системы, загруженный делами аналитик или экспериментатор восклицает: „Эврика, вот решение!“, как только симуляция достигает равновесия в устойчивом цикле, и не дает себе труда исследовать тщательно зависимость результата от различных начальных условий. Чтобы избежать потенциально опасных ошибок и катастроф, промышленные дизайнеры должны быть готовы посвятить большую часть своих усилий изучению всего спектра динамических характеристик своих систем». Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester: Wiley, P. xiii.
306
The Beauty of Fractals. P. 136.
307
Например: «Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals» // Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A. Vol. R 243–275.
308
Барнсли.
309
Хаббард.
310
Барнсли.
311
Фармер, Шоу, Крачфилд, Паккард, Бёрк, Науенберг, Абрахам, Гукенхеймер. Основная работа Роберта Шоу о теории информации в применении к хаосу: The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Santa Cruz: Aerial, 1984; а также см.: «Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Theory» //Zeitschrift für Naturforschung. Vol. 36a. P. Рассказ о попытках некоторых студентов Санта-Круза выяснить закон рулетки с множеством красочных деталей из истории тех дней: Bass Т. The Eudemonic Pie. Boston: Houghton Mifflin, 1985.
312
Шоу.
313
Бёрк, Шпигель.
314
Spiegel Ε. A. «Cosmic Arrhythmias» // Chaos in Astrophysics / Ed. by J. R. Buchler et al. New York: D. Reidel, R 91-135.
315
Фармер, Крачфилд.
316
Шоу, Крачфилд, Бёрк.
317
Шоу.
318
Абрахам.
319
В истории с рулеткой, описанной одним из участников группы, Фармер представлен как главная фигура, а Паккард – второстепенная.
320
Бёрк, Фармер, Крачфилд.
321
Шоу.
322
Форд.
323
Здесь стоит отметить первый и второй методы Ляпунова, придуманные задолго до появления теории хаоса и широко используемые в современной литературе, когда исследуется устойчивость положений равновесия системы, а также локализуется область фазового пространства, содержащая аттрактор.
324
Шоу, Фармер.
325
Классическая работа на этот счет, до сих пор вполне читаемая: Shannon С. Е., Weaver W. The Mathematical Theory of Communication. Urbana: University of Illinois, 1963, с полезным предисловием Уивера.
326
Ibid. R 13.
327
В английском алфавите 26 букв.
328
Паккард.
329
Имеется в виду, что про каждую молекулу мы задаем вопрос, относится ли она к первому веществу, и записываем ответ: получается последовательность слов «да» и «нет».
330
Шоу.
331
Шоу, Фармер.
332
«Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Flow».
333
Синай, в личной беседе.
334
Паккард.
335
Шоу.
336
Шоу.
337
Фармер; подход с точки зрения динамических систем к изучению иммунной системы и моделированию способности человеческого тела запоминать и творчески распознавать паттерны описан в работе: Farmer J. D., Packard N. H., Perelson A. S. «The Immune System, Adaptation, and Machine Learning», preprint. Los Alamos National Laboratory, 1986.
338
The Dripping Faucet. P. 4.
339
Ibid.
340
Крачфилд.
341
Шоу.
342
Фармер.
343
Эти методы, ставшие основой экспериментальных техник в очень многих областях, были усовершенствованы и расширены исследователями Санта-Круза и другими экспериментаторами и теоретиками. Одна из ключевых заявок, сделанных в Санта-Крузе: Packard Ν. Η., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Shaw R. S. [канонический список авторов] «Geometry from a Time Series» // Physical Review Letters. Vol. P. Самая влиятельная работа по предмету: Takens F. «Detecting Strange Attractors in Turbulence» // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 898 / Ed. by D. A. Rand and L. S. Young. Berlin: Springer-Verlag, P. Самый ранний, но довольно широкий обзор методов воссоздания фазового пространства аттракторов: Froehling H., Crutchfield J. R, Farmer J. D., Packard N. H., Shaw R. S. «On Determining the Dimension of Chaotic Flows» // Physica. Vol. 3D. P. 605–617.
344
Крачфилд.
345
Например, Науенберг.
346
Шоу.
347
Это не значит, однако, что студенты вообще игнорировали одномерные модели. Вдохновленный работой Мэя, в 1978 году Крачфилд провел так много времени за изображениями бифуркационных диаграмм, что был отстранен от графопостроителя в компьютерном центре и к тому же израсходовал слишком много специальных карандашей в процессе нанесения тысяч точек.
348
Фармер.
349
Фармер.
350
Шоу.
351
Крачфилд, Губерман.
352
Губерман.
353
Huberman В., Crutchfield J. R «Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields» // Physical Review Letters. Vol. P. 1743.
354
Крачфилд.
355
Дебаты об этом продолжаются, например, в журнале Nature.
356
Рамси.
357
Farmer J. D., Ott E., Yorke J. A. «The Dimension of Chaotic Attractors» // Physica. Vol. 7D. R 153–180.
358
Ibid. R 154.
359
Губерман, Мэнделл (интервью и заметки на конференции по перспективам биологической динамики и теоретической медицины в Бетесде, штат Мэриленд, 11 апреля 1986 года). См. также: Huberman В. A. «A Model for Dysfunctions in Smooth Pursuit Eye Movement», preprint. Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California.
360
Абрахам. Базовое знакомство с гипотезой Геи – образный динамический взгляд на то, как сложные природные системы поддерживают саморегуляцию, разумно ограничивая свой рост в произвольный момент: Lovelock J. E. Ga/'a: A New Look at Life on Earth. Oxford: Oxford University Press, 1979.
361
Подборка нескольких произвольных ссылок на работы по физиологии (с цитатами из каждой из них): Goldberger A. L, Bhargava V, West B. J. «Nonlinear Dynamics of the Heartbeat» // Physica. Vol. 17D. P. 207–214; Mackay M., Glass L. «Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems» // Science. Vol. R 287; Lewis M., Rees D. C. «Fractal Surfaces of Proteins» // Science. Vol. P. 1163–1165; Goldberger A. L et al. «Nonlinear Dynamics in Heart Failure: Implications of Long-Wavelength Cardiopulmonary Oscillations» //American Heart Journal. Vol. R 612–615; Chay T. R., Rinzel J. «Bursting, Beating, and Chaos in an Excitable Membrane Model» // Biophysical Journal. Vol. R 357-Особенно полезная и обширная подборка других подобных работ: Chaos / Ed. by Arun V. Holden. Manchester: Manchester University Press, 1986.
362
Рюэль; «Strange Attractors». R 48.
363
Гласc.
364
Голдбергер.
365
Пескин; McQueen D. M., Peskin C. S. «Computer-Assisted Design of Pivoting Disc Prosthetic Mitral Valves» // Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery. Vol.R 126–135.
366
Коэн.
367
Уинфри.
368
Уинфри изложил свое видение геометрии времени в биологических системах в провокационной, но прекрасной книге: When Time Breaks Down: The Three-Dimensional Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias. Princeton: Princeton University Press, 1987; обзорная статья о применении к сердечным ритмам: Winfree A. T. «Sudden Cardiac Death: A Problem in Topology» // Scientific American. Vol. 248 (May 1983). R 144.
369
Уинфри.
370
Уинфри.
371
Строгац; Czeisler C. A. et al. «Bright Light Resets the Human Circadian Pacemaker Independent of the Timing of the Sleep-Wake Cycle» // Science. Vol. R 667–670; Strogatz S. «A Comparative Analysis of Models of the Human Sleep-Wake Cycle», preprint. Harvard University, Cambridge, Massachusetts.
372
Уинфри.
373
«Sudden Cardiac Death».
374
Айдекер.
375
Уинфри.
376
Айдекер.
377
Гласc.
378
Guevara M. R., Glass L, Schrier A. «Phase Locking, Period-Doubling Bifurcations, and Irregular Dynamics in Periodically Stimulated Cardiac Cells» // Science. Vol. R 1350.
379
Гласc.
380
Коэн.
381
Гласc.
382
Уинфри.
383
Glass L., Mackay M. С. «Pathological Conditions Resulting from Instabilities in Physiological Control Systems» //Annals of the New York Academy of Sciences. Vol. R 214.
384
Goldberger A. L., Bhargava V, West B. J., Mandell A. J. «Some Observations on the Question: Is Ventricular Fibrillation „Chaos“», preprint.
385
Мэнделл.
386
Мэнделл.
387
Mandell A. J. «From Molecular Biological Simplification to More Realistic Central Nervous System Dynamics: An Opinion» // Psychiatry: Psychobiological Foundations of Clinical Psychiatry. 3:2 / Ed. by J. Cavenar et al. New York: Lippincott, 1985.
388
Ibid.
389
Губерман.
390
Huberman Β. Α., Hogg T. «Phase Transitions in Artificial Intelligence Systems», preprint. Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California, 1986; а также: Huberman B. A., HoggT. «Understanding Biological Computation: Reliable Learning and Recognition» // Proceedings of the National Academy of Sciences. Vol. R 6871–6875.
391
Schrödinger Ε. What Is Life? Cambridge: Cambridge University Press, P. 82.
392
Ibid. R 82.
393
Форд.
394
Фокс.
395
(Холмс) SIAM Review. Vol. P. 107; (Хао) Chaos. Singapore: World Scientific, P. i; (Стюарт) «The Geometry of Chaos» //The Unity of Science. Brookhaven
396
Lecture Series. No P. 1; (Дженсен) «Classical Chaos» // American Scientist April 1987; (Крачфилд) личная беседа; (Форд) «Book Reviews» // International Journal of Theoretical Physics. Vol. № 1.
397
Хаббард.
398
Уинфри.
399
Губерман.
400
Gara. P. 125.
401
Atkins R W. The Second Law. New York: W. H. Freeman, R Эта превосходная книга представляет собой одно из немногих описаний второго закона термодинамики применительно к исследованиям творческой силы рассеивания в хаотических системах. Глубоко индивидуальный и философский взгляд на отношения между термодинамикой и динамическими системами: Prigogine I. Order of Chaos: Man's New Dialogue With Nature. New York: Bantam, 1984.
402
Лангер. Литература о динамике образования снежинки огромна. Наиболее полезны: Langer J. S. «Instabilities and Pattern Formation» // Review of Modern Physics. Vol. R 1-28; Nittmann J., Stanley H. E. «Trip Splitting without Interfacial Tension and Dendritic Growth PatternsArising from Molecular Anisotropy» // Nature. Vol. R 663–668; Kessler D. Α., Levine H. «Pattern Selection in Fingered Growth Phenomena», to appear in /Advances in Physics.
403
Поллаб, Лангер.
404
Интересный пример такого подхода к изучению формирования паттернов: Ноhenberg P. C, Cross M. С. «An Introduction to Pattern Formation in Nonequilibrium Systems», preprint. AT amp;T Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey.
405
Уисдом; Wisdom J. «Meteorites May Follow a Chaotic Route to Earth» // Nature. Vol. R 713–733; Wisdom J. «Chaotic Behavior and the Origin of the 3/1 Kirkwood Gap» // Icarus. Vol. R 51–74.
406
Как Фармер и Паккард сформулировали это: «Адаптивное поведение – неотъемлемое свойство, проявляющееся при взаимодействии простых компонентов. Неважно, чем являются эти компоненты – нейронами, аминокислотами, муравьями или битовыми строками, – адаптация наблюдается тогда, когда коллективное поведение целого качественно отличается от суммы его индивидуальных составляющих. Это самое точное определение нелинейности». «Evolution, Games, and Learning: Models for Adaptation in Machines and Nature», introduction to conference proceedings. Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory, May 1985.
407
«What is Chaos?» P. 14.
408
Форд.
409
Structure. P. 5.
410
Schaffer W. M. «Chaos in Ecological Systems: The Coals That Newcastle Forgot» // Trends in Ecological Systems. Vol. R 63.
411
Schaffer W. M., Kot M. «Do Strange Attractors Govern Ecological Systems?» // Bio-Science. Vol. P. 349.
412
Например: Schaffer W. M., Kot M. «Nearly One Dimensional Dynamics in an Epidemic» // Journal of Theoretical Biology. Vol. R 403–427.
413
Шаффер.
414
Шаффер; а также: Schaffer W. M. «A Personal Hejeira», unpublished.
415
Перевод О. Варшавер. – Прим. ред.
Автор книги - Джеймс Глик
Джеймс Глик (James Gleick /ɡliːk/, 1 августа 1954, Нью-Йорк, США) - американский автор, журналист и биограф, книги которого исследуют культурные разветвления науки и техники.