«К 2009 году я понял, что то, что я изобретаю, бесполезно. Это была, вероятно, величайшая научная неудача в моей жизни до этого момента. Огромное количество трудов было вложено в проект, закончившийся полным крахом».
После долгих раздумий он обратился ко второму из выявленных им кризисов – проблеме все возрастающей сложности передовой математики. Если люди уже не способны проверять доказательства друг друга, возможно, нам следует призвать на помощь машины. То, что специалист по чистой математике калибра Воеводского заговорил об использовании компьютеров, казалось многим неверным шагом. Большинство математиков по-прежнему верило в способность человеческого ума разбираться в уравнениях и геометрических построениях и выискивать решения интуитивно, руководствуясь чувством прекрасного. Но те, кто критиковал решение Воеводского, не верили в неизбежность кризиса или не придавали ему должного значения.
Поискав подходящие инструменты, Воеводский увидел, что единственная работоспособная компьютерная программа, способная разбираться в доказательствах, – это французская система Coq. Сначала он никак не мог понять, как она работает. Поэтому он вернулся к основам и предложил Институту перспективных исследований поручить ему преподавание курса по Coq. Я тоже часто использую этот прием: если не понимаешь какого-то предмета, попробуй его преподавать. Постепенно Воеводский начал осознавать, что язык, используемый в информатике, казавшийся ему поначалу таким чуждым, – это на самом деле всего лишь версия того же самого абстрактного мира, в котором он провел свои ранние годы, занимаясь математикой.
Дело выглядело так, будто ему удалось одновременно найти решения обоих кризисов. Во-первых, его заумные математические идеи идеально подходили для выражения чрезвычайно практического мира современной информатики, а во-вторых, он получил в свое распоряжение новый язык, при помощи которого можно было построить новое основание для математики, в которой центральную роль будет играть компьютер.
Сформулированное Воеводским видение будущего математики слишком революционно для большинства математиков, многие из которых считают, что он перешел на сторону темных сил. До сих пор существует глубокий разрыв между теми, кто работает с карандашом и бумагой (может быть, время от времени используя компьютер для проверки рутинных расчетов), и теми, кто хочет использовать компьютеры для доказательства новых теорем. Идея применения компьютеров в проверке теорем становится приемлемой: в этом процессе руководит по-прежнему человек, создавший доказательство.
Отторжение, в том числе и у меня, возникнет, когда дело дойдет до создания компьютерами собственных математических работ.
Но Воеводский считал, что с этими старыми представлениями придется расстаться: «Я не вижу другого варианта развития событий. Я думаю, что этот процесс сначала будет воспринят каким-нибудь небольшим подмножеством, а потом оно станет расти, и в конце концов это станет обычным делом. На следующем этапе это начнут преподавать в аспирантуре, а со временем – в университете. Это может занять, не знаю, десятки лет, но я не вижу, как может произойти что-нибудь другое».
Воеводский сравнивал взаимодействие с компьютером с компьютерной игрой: «Ты говоришь компьютеру: “Попробуй вот это”, и он выдает результат своих действий. Иногда из этого получается нечто неожиданное. Это увлекательно».
Воеводский так и не узнал, чем закончится начатая им революция. К несчастью, в 2017 году он умер от аневризмы в возрасте пятидесяти одного года.
Именно вдохновляясь видением Воеводского, я решил смириться с будущим и принять возможности развития математического творчества, которые предлагают компьютеры. Учитывая те тесные связи, которые всегда существовали между математикой и музыкой, я задумался, нельзя ли получить некоторое представление о той роли, которую компьютеры могут играть в занятиях математикой, рассмотрев, как искусственный интеллект предоставляет новые возможности для сочинения музыки. В конце концов, как сказал некогда ученик Баха Лоренц Мицлер фон Колоф: «Музыка есть не что иное, как звучащая математика… Математика – сердце и душа музыки».
11
Музыка как звучащая математика
Музыка чарует нас, хотя красота ее состоит только в соотношениях, числе и счете ударов и колебаний звучащих тел, повторяющихся через известные промежутки, счете, который мы не замечаем…
[75]
Готфрид Вильгельм Лейбниц
В 1964 году, когда Филип Гласс учился в Париже у Нади Буланже, каждый его урок начинался с Баха. Каждую неделю Гласс должен был выучивать новый хорал Баха, а «Искусство фуги» было ключевым элементом учебной программы. После того как он осваивал очередной хорал, гимн для четырех голосов, ему нужно было добавить к исходным четырем голосам еще четыре так, чтобы ни один из голосов не повторял других и тем не менее все они гармонично сочетались друг с другом. Буланже считала, что все великие композиторы должны начинать с погружения в Баха.
Мне кажется, что некая малая часть меня хотела бы, чтобы я стал не математиком, а композитором. Музыка неизменно сопровождает меня во всех моих математических приключениях. Когда я обдумываю неисследованные дали математического мира, мой мозг выискивает закономерности и структуры, и, может быть, именно поэтому музыка Баха или Бартока помогает мне думать. Обоих этих композиторов привлекали построения, похожие на те, что интересуют меня в математике. Бах любил симметрию. Бартока завораживали числа Фибоначчи. Иногда композиторов интуитивно привлекают математические построения, значения которых они даже не осознают; в других случаях они сознательно берут новые математические идеи и используют их в качестве основы своих сочинений.
Когда я разговаривал с композитором Эмили Ховард о геометрических конструкциях, которые, возможно, было бы интересно исследовать с музыкальной точки зрения, мне пришла в голову одна идея. Может быть, она согласилась бы давать мне уроки композиции в обмен на краткий курс гиперболической геометрии? Это предложение показалось ей разумным, и вскоре после этого мы встретились, чтобы выпить кофе и провести мой первый урок.
Чистый лист бумаги может приводить в оцепенение начинающего писателя; точно так же я впал в панику при виде нотного стана, на котором не было никаких нот. Эмили спокойно объяснила, что каждый композитор должен начинать с определения рамок или набора правил, которые помогут придать форму его сочинению. Она предложила начать с правил, которые регулировали средневековое многоголосье, в котором одной из форм полифонического произведения был так называемый мензуральный, или пропорциональный, канон на основе одной музыкальной темы. Идея заключается в следующем: нужно начать с простой мелодии, которая поется одним голосом. Второй голос поет ту же мелодию в два раза медленнее, а третий – в два раза быстрее. Таким образом, мы получаем три голоса, поющие в разных, но тесно связанных между собою ритмах. Когда мы слушаем полифоническое произведение, построенное таким образом, наш мозг замечает закономерность, связывающую все три голоса.
