Когда я впервые услышал зачин этой истории, я отнесся к ней с недоверием. Но, когда Ферма повел меня по пути своего доказательства, я ощутил огромное удовольствие при виде того, как эти радикально разные концепции, простых и квадратных чисел, сплетаются друг с другом и в конце концов сливаются в единое целое. Это похоже на музыкальную пьесу, в которой две вступающие в противоречие друг с другом темы изменяются и развиваются так, что в конце концов сливаются воедино.
Более простой пример этой идеи можно найти в следующей несложной игре, о которой я говорил в главе 9. Что получается при сложении последовательных простых чисел?
1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Сумма N последовательных простых чисел дает N-е квадратное число. Почему это так? Доказательство можно увидеть на следующей схеме.
Удовлетворение дает неожиданный переход от чисел простых к числам квадратным. Я стремлюсь именно к этому озарению, возникающему, когда я внезапно вижу, почему между этими, казалось бы, не имеющими между собой ничего общего персонажами существует связь.
Аспект поиска таких неожиданных связей – одна из причин, по которым я люблю рассказывать о своем собственном вкладе в математический канон – открытии нового симметричного объекта, в контурах которого скрывается возможное решение уравнений эллиптических кривых, одной из еще нераскрытых великих тайн математики. Доказательство, которое я сплетаю на семинарах перед коллегами-математиками и излагаю в своей журнальной статье, показывает, как связать эти далекие друг от друга области математического мира.
Наслаждение от изложения этой истории приходит в тот момент, когда я вижу по лицам своих коллег, что они внезапно поняли, как можно соединить эти, по-видимому, несвязанные идеи. Искусство математика – не только в производстве нового, но и в способности рассказать удивительную историю. Как сказал Пуанкаре, дело в умении выбирать.
Дочитав до конца хороший роман, мы иногда ощущаем грусть; точно так же может опечалить и окончание математического путешествия. Мы получали такое удовольствие от странствий, в которые уводили нас уравнения Ферма, что решение этой 350-летней загадки, которое нашел Эндрю Уайлс, было встречено хоть и с восторгом, но не без некоторой примеси разочарования. Поэтому так высоко ценятся доказательства, создающие почву для новых историй.
Повествовательное искусство математики
Та неизвестность, которая так радует нас в математическом доказательстве, – классический повествовательный прием. Писатели вводят элементы сюжета, задающие вопросы, которые заставляют читателя продолжать чтение в надежде найти ответ на загадку, появившуюся в начале истории. Этот повествовательный прием, который называют герменевтическим кодом, Ролан Барт называет в числе пяти основных кодов смысла, присутствующих в повествовании. Он соответствует неразрешенным вопросам или загадкам, требующим объяснения, и является главным приемом создания и исполнения удовлетворительного математического доказательства. Именно это стремление к разрешению загадки и приносит нам такое удовольствие, когда мы читаем математический текст. В этом отношении у математического доказательства много общего с хорошим детективом.
Любое математическое доказательство начинается с финальной сцены. Вопрос в том, как мы к ней приходим. То же можно встретить и в детективах или в серии «Причина и следствие» сериала «Звездный путь: Новое поколение»
[95]:она начинается с кадров охваченного пламенем звездолета «Энтерпрайз». Пикар приказывает покинуть судно, а затем мы видим, как оно взрывается. История начинается с конца, хотя литературные повествования в большинстве своем не начинаются со столь драматических сцен и в них повсюду встречаются примеры такого рода восстановления причин по следствиям.
Помимо напряжения, создаваемого вопросом, на который не было дано ответа, повествовательный импульс возникает в математике из действия, происходящего в доказательстве по мере его развития. В евклидовом доказательстве существования бесконечного количества простых чисел мы читаем о перемножении этих простых чисел. Это тут же возбуждает в нас интерес: ладно, и куда это ведет? Что мы будем делать с этим новым числом? Действие развивается. Ага, мы прибавили единицу. Чем дальше, тем интереснее. А затем приходит удовлетворение от понимания, как эта последовательность действий, достигнув своей развязки, приводит повествование к решениям и откровениям. Это хороший пример второго из пяти кодов повествования по Барту, проайретического
[96] кода. Напряжение создается накапливанием действий, которые по самой своей природе предполагают дальнейшее повествовательное действие.
Барт говорит еще о трех кодах – семантическом, символическом и культурном. Все три вращаются вокруг той идеи, что некоторые концепции внутри повествования оказываются созвучны чему-то, существующему за его пределами, и придают ему дополнительный смысл. И все три полезны для построения математических доказательств, в которых уже имеющиеся у читателя знания используются для того, чтобы доказательство понималось должным образом. Г.Г. Харди предлагал добавлять немного болтовни; точно так же доказательству требуется иногда некий сигнал, включающий в развитие этого доказательства обширную историю идей. Неспособность распознать такие сигналы или ссылки может существенно повредить действенности доказательства, так же как вредит она восприятию литературного повествования.
Мы часто говорим об основных сюжетах, общих для многих произведений. Иногда их называют еще шаблонными сюжетами или повествовательными архетипами. Теоретики литературы пытаются классифицировать эти архетипы; некоторые считают, что существует всего семь разных типов сюжета. Мы говорим об «историях про Золушку», о «повествованиях о приключениях», о «военных сагах». Есть ли свои шаблонные сюжеты в математике? Математики, несомненно, различают несколько архетипов доказательства и используют их, чтобы помочь читателю. Есть, например, доказательство от противного, вероятностное доказательство или доказательство по индукции. Доказательство Великой теоремы Ферма основывается на создании мира, в котором истинно утверждение, обратное тому, которое мы хотим доказать. Доказательство Уайлса начинается с предположения, что уравнение Ферма имеет решение, а затем рассматривает, к чему приводят следствия из этого предположения. Получающийся в результате абсурдный вывод позволяет нам увидеть, что такого решения быть не может.
В лучших образцах математических работ есть противонаправленные тенденции. Доказательства не должны быть ни слишком сложными, ни слишком простыми. В наиболее удачных доказательствах чувствуется логическая неизбежность, и все же каждый следующий шаг нельзя предсказать заранее. Джон Кавелти описывает в книге «Приключение, тайна и любовная история: формульные повествования как искусство и популярная культура»
[97] (Adventure, Mystery, and Romance) значение этих противоречий в художественной литературе, но его слова применимы и к математике: «Если мы стремимся к порядку и безопасности, то в итоге обязательно получим скуку и однообразие. Отказавшись от порядка во имя перемен и новизны, столкнемся с опасностью и неизвестностью… многие важнейшие аспекты истории культуры могут быть интерпретированы как динамичный конфликт между этими базовыми импульсами… между стремлением к порядку и желанием избежать скуки»
[98].
