«Гордый холм»
1. Автор – А. С. Пушкин, приведен монолог барона из пьесы «Скупой рыцарь».
2. Наибольшая неопределенность – в оценке объема «горсти»; однако высота холма пропорциональна корню кубическому из его объема, ошибка в определении «горсти» даже в 5 раз приведет к ошибке в высоте всего в 1,7 раза. Будем считать, что, захватив не очень сыпучую землю двумя руками, можно унести примерно 1 л. Тогда объем холма равен 1 млн л, или 1000 м3. Объем конуса v = 1/3(sh), где s – площадь ее основания, h высота. По условию s = πh2 (радиус равен высоте), и объем равен приблизительно h3 = 1000 м3. Отсюда высота холма – 10 м. Так что холм получился не такой уж «гордый».
3. Примем, что рост царя (до уровня его глаз) был как у среднего человека – 1 м 70 см. Тогда от подножия холма до глаз было 11,7 м; поскольку у нас лишь примерные оценки, примем высоту обозрения равной 12 м. Ответ легко получить с помощью чертежа и простых расчетов. Прямая от глаз царя до линии горизонта образует прямой угол с радиусом Земли, проведенным к этой линии. Принимая приближенно радиус Земли равным 6000 км, получаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна (6000 + 0,012) км, один из катетов равен 6000 км, а другой нам надо найти, обозначим его через х. Получаем уравнение x2 + 60002 = (6000 + 0,012)2 = 60002 + 2 ∙ 6000 ∙ 0,012 + 0,0122, или x2 = 144 (малой величиной 0,0122 = 0,000144 можно пренебречь), откуда х = 12 км. То есть царь мог видеть всего на 12 км; так далеко видно, например, из окна пятого этажа; намного проще было влезть царю на высокое дерево (конечно, с помощью мастеров, которые бы построили для этой цели лестницу).
Стройнеет не по дням, а по минутам
14 месяцев (1 год и 2 месяца) составляют 365 + 60 = 425 суток = 10 200 часов. За это время разница в весе составила 17,8 · 10 200 = 181 560 г, или 553 – 152 = 401 фунт. Следовательно, в 1 фунте 453 г.
Небесный свод в разрезе
508,8 млн миль (819,2 млн км) окружности соответствуют радиусу около 130 млн км, что довольно хорошо соответствует современным данным (ошибка равна 20/150 = 0,133, или около 13 % – для начала XVII века точность неплохая!). Ошибка же автора в том, что он приводит длину окружности «небесного свода» с девятью значащими цифрами, что лишено какого-либо смысла, особенно в те времена, когда астрономические расстояния определялись весьма приблизительно (как мы видели, ошибка составляла 13 %, что соответствует примерно 66 000 000 млн миль, тогда как автор дает длину окружности с точностью до 1 мили!). Значит, следовало написать «примерно 500 000 000 миль» – все остальные цифры, кроме первой пятерки, не имеют никакого смысла. Тем более бессмысленны довольно трудоемкие вычисления площади и объема; особенно забавно выглядит слово «примерно» в огромном числе, выражающем объем и содержащем 34 цифры!
(Автор этой задачи – не садист и потому вовсе не предполагал, что вы будете проверять бессмысленные с физической точки зрения арифметические вычисления: тут даже калькулятор не поможет; сам автор тоже не стал проверять правильность арифметических выкладок, считая, что это вряд ли ему по силам.)
Три диска
Диаметр монеты должен составлять 0,5о окружности, на которой должна находиться монета (с центром у глаза). Как известно, в окружности 360о, значит, ее длина должна быть в 360/0,5 = 720 раз больше диаметра монеты и равна 720 ∙ 2 = 1400 см. Длина окружности равна 2πR, а радиус этой окружности R = 1400/2π = 720/3,14 ≈ 230 см. Значит, монету нужно отодвинуть примерно на 2,5 м, тогда ее видимый размер станет таким же, как у полной луны на ночном небе.
Земной поясок
Как это ни парадоксально на первый взгляд, образовавшийся зазор не зависит от диаметра шара! Пусть радиус исходной окружности равен r, тогда длина окружности равна 2πr. После удлинения ремешка радиус новой окружности будет r + x (где х – ширина зазора). Длина новой окружности (удлиненного ремешка) равна 2π(r + х). Учитывая, что новая длина на 50 см больше старой, получаем равенство 2π(r + х) = 2πr + 50. Раскрывая скобки, получаем: 2πх = 50 см. Таким образом, вне зависимости от радиуса шара, зазор х равен 50: 2π = 50: 6,28 ≈ 8 см.
В такую щель не очень крупная кошка вполне пролезет!
Перлы:))
Под ремешком пролезет и очень худая кошка, и даже очень раскормленный муравей.
Кошка не пролезет, а муравьи – они способные, они пролезут!
Катавасия с ванилином
1. Определим объем ангара в литрах. 1 фут = 3 дм, 1 куб. фут = 27 дм3 = 27 л. Объем ангара 55 ∙ 106 ∙ 27 = 1,48∙109 л, в этом объеме находится 1,48 ∙ 109 ∙ 2 ∙ 10–11 = 2,96 ∙ 10–2 г, или около 0,03 г ванилина (поскольку чувствительность к запаху ванилина – величина очень приблизительная и, вероятно, разная у разных людей, по-видимому, достаточна точность до одной-двух значащих цифр). Этот ванилин в 1995 году стоил (37/500) ∙ 0,03 = 2,2 ∙ 10–3 доллара, или примерно 0,2 цента.
2. При еле ощутимом запахе в 1 см3 воздуха содержится 2,0 ∙ 10–14 г ванилина. Формула бензальдегида: С6Н5СНО; в ванилине у бензальдегида один атом водорода в бензольном кольце замещен на гидроксигруппу ОН и один атом водорода – на метоксигруппу ОСН3, поэтому формулу ванилина можно записать так: (ОН)(ОСН3) С6Н3СНО или С8Н8О3; его молярная масса 152 г/моль, следовательно, в 1 см3 содержится 2,0 ∙ 10–14/152 = 1,3 ∙ 10–16 моль, т. е. 1,3 ∙ 10–16 ∙ 6 ∙ 1023 = 7,8 ∙ 107, т. е. около 80 млн молекул ванилина.
3. За 20 лет цена ванилина выросла с 17 до 37 долларов, т. е на 20 долларов, или в среднем на 1 доллар в год. Но это не значит, что инфляция в США была 1/20 (5 %) в год. Действительно, при 5 %-ной инфляции цена в первый год повысится с 17 до 17 + 17 ∙ 0,05 = 17 ∙ (1 + 0,05) = 17,85 доллара; во второй год – с 17,85 до 17,85 + 17,85 ∙ 0,05 = 17,85 ∙ (1 + 0,05) = 17 ∙ (1 + 0,05)2 = 18,74 доллара и т. д., и за 20 лет цена при 5 %-ной инфляции вырастет с 17 до 17 ∙ (1 + 0,05)20 = 45,1 доллара, тогда как на самом деле она увеличилась только до 37 долларов. Неверен и такой ответ: за 20 лет цена увеличилась на (20/17) ∙ 100 = 117,65 %, поэтому за год инфляция составляет 117,65/20 = 5,9 %.
Правильное решение таково.
Пусть инфляция составляет х % в год, тогда за 20 лет цена увеличится в (1 + 0,01х)20 = 37/17 = 2,176 раза. Чтобы решить это уравнение, прологарифмируем его:
