Математически решение для второго случая немного проще. Поэтому рассмотрим именно его. Итак, идя на восток, человек проходит полную окружность радиуса х (ее длина равна 2πх), а затем еще немного по дуге длиной αх, всего – 100 км. То есть 2πх + αх = 100, откуда α = (100–2πх)/х. Далее, пройдя 100 км на юг, человек окажется на расстоянии 100 + х км от полюса и на расстоянии 100 км от исходной точки. Последнее расстояние (по дуге большой окружности) равно α(100 + х).
Итак, получаем уравнение α(100 + х) = 100. Подставляя в него полученное ранее значение α и решая простое квадратное (относительно х) уравнение: πх2 + 100πх – 5000 = 0, получаем: х = 14. Итак, исходная точка находится в 114 км от Северного полюса. В первом случае решение аналогично (немного сложнее квадратное уравнение), а х = 71,6 км, т. е. исходная точка находится в 171,6 км от полюса.
Понятно, что таких точек не две. Ведь можно пройти вокруг полюса не один круг (неполный или «с избытком»), а два, три… Это теоретически. Ну а практически – мы уже пришли к выводу, что любым число кругов быть не может.
Эту задачу можно усложнить, если вместо земного шара взять планету меньших размеров или увеличить на Земле расстояние со 100 до нескольких тысяч километров. Тогда уже надо рассматривать движение не на плоскости, а по поверхности шара, и в этом случае задача из чисто «интеллектуальной» превращается скорее в олимпиадную и потому здесь не рассматривается. Ее можно предлагать интересующимся старшеклассникам как интересную задачу по стереометрии.
г) Задача аналогична предыдущей; правильный ответ – в 50 км севернее экватора и в Антарктиде. И ответ на дополнительный вопрос: путешественник будет приближаться к Северному полюсу по спирали.
Перлы:))
Вообще-то Земля круглая, но это только если идти с компасом.
Если идти на северо-запад, то придешь в Британию или Голландию – в любом случае в Европу.
Если идти на северо-запад, то придешь на юго-восток, а если обогнуть Землю, то опять придешь на северо-запад, но если обогнуть только половину Земли, то все же придешь на юго-восток.
Сначала придешь на Северный полюс, а если от него идти на северо-запад…
Это смотря откуда идти…
«На Красной площади всего круглей земля…»
Начнем с широты. Она отсчитывается от экватора. Известно, что 1° широты равен 111 км (расстояние от экватора до полюса равно приблизительно 10 000 км, что соответствует 90°, таким образом получаем 10 000/90 ≈ 111). Следовательно, 1’’ меридиана соответствует 10 000/(90 ∙ 60 ∙ 60) ≈ 0,03 км = 30 м. Долгота отсчитывается от нулевого (Гринвичского) меридиана. Длина дуги параллели, соответствующая 1° долготы, конечно, зависит от широты: на полюсе она равна нулю, а на экваторе – тем же 111 км. Поскольку широта Москвы близка к 60°, из простых геометрических соображений (нужно рассмотреть прямоугольный треугольник с углами 30 и 60°) получаем, что длина окружности московской параллели в два раза меньше длины экватора. Следовательно, и 1’’ широты будет равна примерно 30/2 = 15 м. Таким образом, максимальное расстояние между отметками не превосходит
Сейчас бронзовый знак нулевого километра автодорог Российской Федерации находится перед Воскресенскими воротами, между Историческим музеем и Музеем Отечественной войны 1812 года.
Как пройти к Парижской обсерватории?
Для здания обсерватории координаты указаны слишком точно. Задача похожа на предыдущую: 1’’ меридиана соответствует 30 м, а 0,1’’ – 3 м. Долгота отсчитывается от нулевого (Гринвичского) меридиана в градусах или в часах, минутах и т. д. Поскольку Земля совершает один оборот (360°) за 24 часа, то один час соответствует 15°, одна минута – 15’ и одна секунда – 15’’. Легко подсчитать, что на экваторе 0,1 секунды соответствует примерно 15 ∙ 3 = 45 м, а в средних широтах – примерно вдвое меньше. Итак, точность указания координат значительно выше, чем размеры обсерватории. В условии приведены координаты одного из приборов Парижской обсерватории, который предназначен для измерения координат светил.
Когда в Лондоне только светает…
В большинстве стран Европы, в том числе Испании и Норвегии, для удобства введено единое центральноевропейское (или среднеевропейское) время, которое на один час отличается от времени в Великобритании. Теоретически, в соответствии с географическим расположением, время в Испании должно было бы отличаться от времени на востоке Норвегии на два часа.
Как сын плотника сделал Британию «владычицей морей»
1. Название часов – «хронометр», дословно «измеритель времени» (др.-греч. χρόνος – «время», μετρέω – «измеряю»).
Русские слова с первым корнем: «хроника», «хроникер», «хронический», «хроник» (больной хроническим заболеванием), «хронология», «хронометраж», «хронограф», «синхронность», фантасты описывают «хронобус» (машину времени) и т. д.
Русских слов со вторым корнем много десятков: «нанометр», «микрометр», «миллиметр», «сантиметр», «дециметр», «километр» и т. д. (единицы длины), «диаметр», «периметр» (геометрические понятия), «гекзаметр» (стихотворный размер), «метраж» (длина или площадь чего-либо), «геометрия», «планиметрия», «стереометрия», «тригонометрия» (разделы математики), «барометр», «манометр», «тонометр» и т. д. (измерительные приборы), «арифмометр» (счетная машина), «метроном» (прибор для задания музыкального темпа) и т. д.
2. Определение широты не представляло больших затруднений. Широту можно определить достаточно точно по Солнцу; для этого надо определить угол, на который Солнце поднялось в тот момент, когда оно находится на максимальной высоте над горизонтом (т. е. в полдень). По специальным таблицам затем легко вычислить широту этого места. Ночью широту можно определить по высоте Полярной звезды (в Южном полушарии надо выбрать другую звезду). Это измерение можно проделать с помощью простейших приборов. При этом не требуется особо точного знания времени.
3. В начале XVIII века английское адмиралтейство объявило, что выплатит 20 000 фунтов стерлингов тому, кто найдет способ определять долготу местонахождения корабля в открытом море. Чтобы определить долготу, надо точно знать разницу во времени между моментом полудня на меридиане Гринвича (или любом другом, принятом за нулевой) и моментом полудня в месте нахождения корабля. Таким образом, необходимо иметь на корабле точные часы, «хранящие» время с момента выходя корабля в море. Это стало очевидным еще в 1510 году испанцу Санта-Крусу, однако в те времена не было еще даже маятниковых часов.
