Вокруг света
Учитывая, что первое кругосветное путешествие состоялось только в начале XVI века
[49], как Эратосфену еще в 240 году до нашей эры удалось так точно измерить длину окружности планеты? Он, понятное дело, не мог обернуть планету рулеткой. Вместо этого он измерил сравнительно небольшое расстояние на земной поверхности, а затем использовал один хитроумный математический шорткат, позволивший обмерить всю Землю.
Эратосфен был библиотекарем великой Александрийской библиотеки и внес поразительный вклад в несколько областей науки, от математики до астрономии, географии и музыки. Но несмотря на его революционные труды, современники не слишком ценили его таланты и наградили его прозвищем «Бета», намекавшим на его второстепенное положение среди мыслителей.
Одним из его замечательных изобретений был систематический метод составления списка простых чисел. Эратосфен предложил следующий алгоритм нахождения простых чисел в списке всех чисел от 1 до 100: возьмем число 2 и вычеркнем все следующие числа, делящиеся на 2. Для этого нужно просто перемещаться по таблице с шагом в две единицы, вычеркивая все числа, на которые попадаешь. Затем перейдем к следующему невычеркнутому числу. Это, разумеется, число 3. Теперь вычеркнем все числа, делящиеся на 3, проходя по таблице с шагом в три единицы и систематически вычеркивая все числа, на которые мы попадаем. Тут-то алгоритм и начинает работать в полную силу. Следующее число, еще не вычеркнутое из списка, – это 5. Повторим ту же операцию, которую мы производили с предыдущими числами: пройдем по таблице с шагом в пять единиц, вычеркивая все попадающиеся числа.
В этом и состоит принцип действия алгоритма: нужно каждый раз переходить к следующему еще остающемуся в списке числу и вычеркивать все числа, делящиеся на него, проходя по таблице с шагом, соответствующим этому числу. Если применять этот метод систематически, то после вычеркивания чисел, делящихся на 7, остается таблица простых чисел, меньших 100.
Это чрезвычайно удобный алгоритм. Он открывает шорткат, избавляющий от лишних размышлений. Он идеально подходит для реализации в компьютерной программе. Беда в том, что он очень быстро превращается в медленный метод поиска простых чисел. Этот шорткат избавляет от размышлений, потому что использующий его составляет список, действуя как машина. Но в этой книге я хочу воспеть не такие шорткаты. Мне нужна рациональная стратегия поиска простых чисел.
Однако Эратосфену я бы поставил высшую оценку за вычисление окружности Земли, потому что оно было поистине гениальным. Он слыхал, что в городе Сиене есть колодец, над которым один день в году Солнце бывает точно в зените. В полдень дня летнего солнцестояния Солнце светит прямо в этот колодец, не отбрасывая теней на его стенки. Сегодня город Сиене называется Асуан, а находится он неподалеку от тропика Рака – параллели, расположенной на широте 23,4 градуса, которая отмечает самые северные точки, в которых Солнце может быть прямо над головой.
Эратосфен понял, что может использовать эту информацию о положении Солнца и поставить именно в такой день опыт, позволяющий вычислить длину окружности Земли. Хотя ему не пришлось оборачивать всю планету мерной лентой, ходить при проведении опыта пришлось немало. В день летнего солнцестояния он установил в Александрии, находившейся, как он считал, строго на север от Сиене, столб. На самом деле долготы этих городов различаются на 2 градуса, но меня восхищает не точность результата, а сама идея опыта.
В тот день, когда в Сиене Солнце стояло прямо над головой и в тамошнем колодце не было тени, столб, установленный в Александрии, тень отбрасывал. Измерив длину тени и высоту столба, Эратосфен мог построить треугольник с таким же соотношением длин сторон и измерить его угол. Величина этого угла показывала, какая часть окружности Земли отделяет Александрию от Сиене. Измеренный им угол оказался равен 7,2 градуса, то есть 1/50 части полной окружности. Оставалось лишь узнать физическое расстояние между Александрией и Сиене.
Сам Эратосфен не пошел его измерять: он воспользовался услугами профессионального землемера, так называемого бематиста, который должен пройти от одного города до другого по прямой линии. Любое отклонение внесло бы искажения в расчеты. Результат был выражен в более крупных единицах – стадиях. Оказалось, что Александрия находится в 5000 стадиев к северу от Сиене. Если это расстояние составляло 1/50 полного пути вокруг света, значит, длина окружности Земли была равна 250 000 стадиев. Сегодня мы не знаем в точности, сколько шагов землемера, нанятого Эратосфеном, приходилось на один стадий, но, как я уже говорил, это измерение было поразительно качественным. С помощью простых геометрических построений Эратосфен создал шорткат, избавивший его от необходимости отправлять кого-нибудь в пешее путешествие вокруг всей планеты.
С этим опытом тесно связано и само слово «геометрия», потому что по-гречески оно означает «измерение Земли». Оно образовано от слов γῆ (ге) – земля и μέτρον (метрон) – измерение.
Тригонометрия – шорткат к небесам
Древние греки применяли свою математику не только для измерения Земли. Они поняли, что ее можно использовать и для измерения небес. И важнейшим инструментом в этом деле были не телескопы или хитроумные рулетки, а математические средства тригонометрии.
Следы применения этих средств можно найти уже в вычислениях Эратосфена. Тригонометрия – это наука о треугольниках, объясняющая связи между углами треугольников и длинами их сторон. Этот раздел математики открыл перед математиками Античности необычайный шорткат, позволявший измерять космос, не покидая уютной поверхности Земли.
Например, еще в III веке до нашей эры Аристарх Самосский применил тригонометрию для вычисления отношения расстояния от Земли до Солнца к расстоянию от Земли до Луны. Для этого ему нужно было всего лишь измерить угол, образованный Луной, Землей и Солнцем, – тремя вершинами треугольника, – в день, когда Луна освещена ровно наполовину
[50]. При этом угол, образованный Землей, Луной и Солнцем, составляет ровно 90 градусов (см. рис. 4.1). Затем, построив треугольник с измеренным углом, Аристарх мог рассчитать отношение расстояний от Земли до Луны и от Земли до Солнца, потому что оно равно отношению сторон меньшего треугольника, который он начертил. Хитрая идея состояла в том, что размеры треугольника значения не имеют: отношение всегда остается тем же самым. Это отношение называется косинусом угла, который измерял Аристарх.
Чтобы вычислить не отношение расстояний, а само расстояние, нужно измерить угол и длину одной из сторон треугольника. Хитроумный способ определения расстояний от Земли до Луны и Солнца открыл Гиппарх, которого традиционно называют первооснователем тригонометрии. Он воспользовался несколькими солнечными и лунными затмениями, в частности солнечным затмением, наблюдавшимся 14 марта 190 года до нашей эры.
