Симметричная ситуация возникает при попытках сэкономить на оплате путем занижения ставки. Пусть в вышеприведенном примере мы сделали заявку bi = 700 тыс. руб., оказавшуюся ниже нашей честной оценки vi = 800. Если все конкуренты предложили цену ниже 700, мы в любом случае платим максимальную из них и выигрываем аукцион. Если кто-то из конкурентов указал цену выше 800, у нас нет шансов на победу, и снова две ситуации эквивалентны. Но если максимальная из цен конкурентов bmax находится в диапазоне между 700 и 800, например равна 730, то при заявке, равной нашей оценке, мы побеждаем в аукционе (и получаем объект ценностью 800 за 730, тем самым выигрывая 70 тысяч рублей), а при попытке указать заниженную сумму проигрываем аукцион и остаемся ни с чем.
Очевидно, что приведенные результаты будут получены не только на указанном численном примере, но и при любых других исходных данных. Таким образом, как в случае завышения, так и в случае занижения цены невозможна ситуация, когда мы выигрываем от такого отклонения. В то же время проигрыш вполне вероятен. А значит, для аукциона второй цены всегда есть очень простая доминирующая стратегия – указывать в качестве заявки истинную оценку лота, bi (vi) = vi. В связи с этим организатор аукциона Викри в качестве бонуса получит полную информацию о реальных оценках лота для каждого из участников, даже если они априори были склонны их скрывать. Тайное становится явным.
3.1.2. Обратная сторона аукциона Викри
В прошлом параграфе было показано, что аукцион второй цены имеет очевидные преимущества – простая доминирующая стратегия для участников, раскрытие информации о ценностях для аукциониста. Почему же он не столь часто используется на практике? Потому что с ним связано несколько проблем.
Во-первых, аукцион Викри неустойчив к сговору. Например, победитель может указать честную цену в 800 тысяч, одновременно сподвигнув (в том числе материальными стимулами) остальных указать резервную цену, а при ее отсутствии – просто ноль. Эта ситуация является устойчивой, никому в одностороннем порядке не выгодно от нее отклоняться: победитель получает лот даром, а остальным, для того чтобы что-то изменить, нужно указать цену выше 800 и заплатить за лот 800, что они делать не готовы. В аукционе первой цены самоподдерживающийся сговор невозможен. Единственный вариант получить лот почти даром – сделать минимальную положительную заявку, в то время как остальные заявят ноль. Однако такая ситуация не будет устойчивой, поскольку каждый из конкурентов может совсем немного повысить цену и выиграть аукцион, что он при случае с огромным удовольствием и осуществит.
Кстати, несмотря на то что на первый взгляд сговор множества участников в аукционе второй цены выглядит нереалистичным, в истории были примеры, когда один из участников убеждал остальных, что ценит объект очень-очень высоко, и большинство конкурентов просто отказывались от борьбы. Заключить соглашение с немногими оставшимися (чтобы аукцион состоялся) было делом техники. В результате победитель получал лот за символическую цену.
Второй проблемой аукциона Викри является возможное недоверие к аукционисту. Действительно, у проводящего аукцион есть очень серьезные стимулы к обману. Ведь если победитель указал в заявке сумму 800 тысяч рублей, а конкурент – 799, то победитель должен будет заплатить 799, что гораздо выгоднее для аукциониста, чем 700 или тем более ноль, как в приведенном выше варианте сговора. В то же время в закрытых аукционах обычно не разглашается информация о заявках, поэтому победитель будет знать только собственную сумму и не сможет проверить, какая заявка была второй и кто ее сделал. Аукционист, завысивший ее, остается неуязвим. Однако при отсутствии доверия участники начинают менять свое поведение, снижая ставки, тем самым уменьшая и доходы аукциониста.
Третья сложность состоит в том, что простая стратегия раскрытия собственной оценки даже при отсутствии сговора и честном аукционисте действует только при однократном проведении аукциона. При повторяющемся взаимодействии возможно гораздо более сложное стратегическое поведение участников, снова типично связанное со снижением ставок и с попытками получить объекты дешевле.
Тем не менее аукцион второй цены – не только красивая теоретическая конструкция. Есть примеры его применения как государством при продаже ценных бумаг, так и частными компаниями. И, несмотря на внешние атрибуты английского аукциона, продажи на «eBay» фактически реализованы в формате аукциона второй цены, о чем мы еще поговорим ниже, когда речь пойдет о практике аукционов.
3.1.3. Аукцион первой цены: интуиция
Вернемся к аукциону первой цены и попробуем ответить на вопрос, какую конкретную сумму должен указывать рационально действующий участник в зависимости от собственной оценки объекта. В отличие от аукциона второй цены, где доминирующей стратегией является честное поведение, здесь не все так очевидно, и ставка будет заведомо ниже оценки.
Вопрос насколько.
Начнем рассмотрение аукциона первой цены с простого случая двух одинаковых покупателей с равномерными на отрезке [0; 1] функциями распределения ценности. Пусть, например, в аукционе произведений современного искусства участвуют два покупателя, которым лот может как очень понравиться (и они будут готовы заплатить за него до одного миллиона рублей), так и не понравиться совсем (из чего следует полная неготовность платить).
Если участник с субъективной ценностью лота v запишет в конверт ставку b, его ожидаемый выигрыш составит V = (v – b) P (b), где P (b) – вероятность победы на аукционе. Заметим, что при низких ставках b в случае победы можно выиграть очень много, но вероятность победы будет крайне невелика. Напротив, если ставка b приближается к ценности v, вероятность выигрыша возрастает, однако сам выигрыш снижается. Для двух крайностей b = 0 и b = v ожидаемый выигрыш окажется нулевым. Нам же нужно найти то промежуточное значение, при котором он максимален.
Возникает догадка, что правильная стратегия – указать половину собственной оценки b = v / 2. Скажем, если ценность лота для нас составляет 600 тысяч рублей (далее будем рассматривать именно этот пример), мы должны указать в качестве ставки 300. Пока это не более чем предположение, подсказанное нашей интуицией, однако можно строго доказать, что это так, и данная стратегия является равновесной, то есть если один участник аукциона использует ее, то второму выгодно делать то же самое.
Пусть конкурент использует указанную стратегию. Тогда его ставки равномерно распределены на отрезке [0; 0,5] (именно на этом отрезке распределена половина ценности), а вероятность нашей победы равна P(b) = 2b. Например, если мы укажем сумму 0,3, то вероятность победы составит 60 %, а ожидаемый выигрыш будет равен (0,6 – 0,3) ×0,6 = 0,18, то есть в среднем мы сможем заработать 180 тысяч. Если же, например, указать сумму 0,5, то можно победить гарантированно, однако ожидаемый выигрыш окажется меньше и составит всего (0,6 – 0,5) ×1 = 0,1, то есть 100 тысяч рублей.
