непременно в точке.
Поскольку v было взято совершенно произвольно, с одним условием v ≠ 0, v ≠ T, мы получаем следующее дифференциальное тождество:
при всех v > 0.
Вспоминая о том, что M (0) = 0 (человек с заявкой ноль платит ноль!) и интегрируя наше тождество в пределах от нуля до произвольной возможной оценки y, мы получаем окончательную формулу для функции ожидаемого платежа участника аукциона, которому выпало значение оценки v = y.
Заметим, что независимо от формата в среднем аукционист в симметричном равновесии получит с участника, которому выпало v = y, величину M (y), зависящую только от распределения оценок. Ясно, что ожидаемый доход аукциониста равен n-кратному значению интеграла от M (y) по пространству возможных y, то есть этот суммарный ожидаемый доход также не зависит ни от чего, кроме априорного распределения ценностей лота для участников аукциона.
3.2.3. Значение теоремы Майерсона
Почему теорема Майерсона настолько важна? Во-первых, потому, что мы можем больше не задумываться, сколько денег принесет тот или иной аукцион, – все они в среднем будут одинаковыми: английский и голландский, первой цены или второй, третьей или all-pay. Для аукциона третьей цены, кстати, выполняется необычное свойство – ставка в равновесии должна превосходить оценку лота. Можно задуматься даже о разработке эксклюзивного дизайна для того, чтобы аукцион лучше работал в условиях дополнительных ограничений или удовлетворял определенным желаемым свойствам. Если этот дизайн не нарушает указанных предположений, аукцион по-прежнему останется оптимальным.
Во-вторых, теорема об эквивалентности форматов является прекрасным инструментом анализа аукционов, в том числе весьма сложных. Например, нетривиальной задачей было бы без нее оценить ставки в упоминавшемся ранее аукционе all-pay, где платят все игроки. Но мы знаем, что он эквивалентен аукциону первой цены, для которого оптимальная ставка в случае с равномерным распределением ценностей на отрезке [0; 1] имеет вид v (n – 1) / n. При этом вероятность победить на аукционе равна v n–1. А значит, оптимальная ставка в all-pay равна средней выплате в аукционе первой цены – вероятности выигрыша v n–1, умноженной на ожидаемую плату при условии выигрыша v (n – 1) / n. То есть
При этом в конкретном аукционе результаты для аукциониста, конечно, могут оказаться разными. Приведем пример. Пусть за лот борются три участника, чьи оценки оказываются равными 900, 750 и 300 тысяч рублей соответственно. При этом все они понимают, что априорные ценности конкурентов равномерно распределены в диапазоне от нуля до 1 млн руб. Какие будут итоги проведения трех упомянутых форматов аукционов – аукциона Викри, закрытого аукциона первой цены и аукциона со всеобщей оплатой?
В аукционе Викри оптимальной ставкой будет собственная оценка. Поэтому участники честно укажут суммы 900, 750 и 300 тысяч рублей. Победит, очевидно, первый. При этом он заплатит цену второго, которая равна 750 тысячам.
В аукционе первой цены с тремя участниками каждый подает в качестве ставки 2/3 от собственной оценки. Соответственно, будут указаны суммы 600, 500 и 200 тысяч рублей. Как и во всех остальных аукционах побеждает первый, но в данном случае он заплатит именно собственную ставку – 600 тысяч. Заметим, что это меньше, чем в аукционе Викри.
В аукционе со всеобщей оплатой с тремя участниками, априорные ценности которых равномерно распределены на интервале [0; 1] (а это именно наш случай, если денежные суммы измерять в миллионах) оптимальные ставки вычисляются по формуле b = 2/3v 3. Таким образом, выплаты игроков составят 2/3 × 0,93 = 0,486, 2/3 × 0,753 = 0,28125 и 2/3 ×0,33 = 0,018, то есть 486 тысяч рублей, 281,25 тысяч рублей и 18 тысяч рублей соответственно. В итоге аукционист получит более 785 тысяч рублей, в том числе значительную сумму от второго участника, который заплатит, но при этом лота не получит.
При этом нужно понимать, что это лишь конкретная реализация аукциона. Если бы участники оценили лот иначе, результаты могли бы быть совершенно другими. В среднем же все эти и многие другие аукционы являются оптимальными, то есть с их помощью можно собрать максимально возможную ожидаемую сумму денег.
Теорема Майерсона имеет огромное значение не только в теории аукционов, но и во всей современной микроэкономике. Ее результаты можно с минимальными корректировками перенести на задачи определения оптимальных схем налогообложения, формирования оптимальных контрактов или механизмы приватизации.
Конечно, есть и определенные ограничения. Например, мы всюду максимизировали ожидаемый доход, неявно предполагая нейтральность всех участников к риску. В реальной жизни это может быть не так. Существуют как рискофобы, предпочитающие надежность, так и рискофилы, готовые к неопределенности ради шанса на больший выигрыш. Аналогично сделанные выводы могут разрушиться, если предположить взаимозависимость оценок, сговоры, асимметрию участников, бюджетные ограничения и внешние эффекты (например, желание проигравшего заставить победителя выложить бóльшую сумму).
Некоторые из этих соображений мы озвучим в следующей главе, которая полностью посвящена практике аукционов. А пока коснемся еще одного направления развития теории – многообъектных аукционов.
3.3. Теория многообъектных аукционов
3.3.1. Аукцион единой цены
Многообъектные аукционы (multiunit auctions) представляют собой торги, на которых предлагается множество идентичных объектов. Участники при желании могут получить сразу несколько из них, в том числе достаточно большое количество. На таких аукционах могут продаваться пакеты государственных ценных бумаг или акций компании при первичном публичном размещении, разрешения на обслуживание клиентов (например, на доступ в заповедники), электроэнергия на рынке «на сутки вперед», контекстная реклама и многое-многое другое. Как и для аукционов, на которых продается единственный уникальный лот, для многообъектных аукционов существует множество форматов, и простейшим из них является аукцион единой цены (uniform price auction).
