Поскольку каждый день, когда что-то вообще происходит, хотя бы один из мужчин должен пойти стучаться к следующей девушке в его списке, то через конечный промежуток времени весь процесс поиска избранниц завершится. Часть мужчин, пройдя свои списки (точнее, их положительную область) целиком и, возможно, испытав множество временных знакомств и последующих размолвок, в итоге остаются одни. Другая часть вечер за вечером проводит с постоянными партнершами. Заметим, что эти партнерши являются для каждого из мужчин лучшими девушками среди тех, с которыми у них еще сохранились шансы. Все невесты, стоявшие выше по списку, не удостоили этих кавалеров вниманием, поэтому главная задача парней этой группы – удержаться хотя бы здесь, иначе придется опускаться дальше. Кстати, у девушек динамика противоположна – день ото дня они обнадеживают все более желанных партнеров. В тот день, когда впервые никаких изменений не произойдет, алгоритм говорит «стоп», и аксакал объявляет одновременное празднование свадеб во всех сложившихся к данному моменту парах.
Несложно доказать, что данная система браков окажется устойчивой. Никто не захочет развестись, равно как и никто из оставшихся в одиночестве не сможет вступить в брак с кем-то, кто у него находится в положительной области, ибо наткнется на отказ. Гейл и Шепли дают гарантию.
7.2. Задача о марьяжах: дополнительные аспекты
7.2.1. Множественность равновесий
Итак, в 1962 году было доказано, что каковы бы ни были взаимоотношения парней и девушек и каковы бы ни были их предпочтения относительно друг друга, стабильная система браков всегда будет существовать, причем в любом масштабе: в закрытой от внешнего мира компании друзей, в деревне, в регионе и даже во всем мире, если предположить, что жители Земли в состоянии реализовать такой алгоритм в действии и настолько хорошо знакомы друг с другом.
Возникает традиционный в теории игр вопрос: да, равновесие всегда существует, а единственно ли оно? К сожалению или к счастью, но равновесий может быть много. Еще одно из них, как правило, не совпадающее с исходным, можно легко получить, запустив вместо представленного выше «патриархального» симметричный ему «матриархальный» алгоритм. В нем брутальные мужики сидят дома и попивают пивко, а к ним в окошко стучатся девушки и спрашивают: «Милый, ты не возьмешь меня замуж?» Кого-то из них отшивают, кого-то временно ангажируют, приглашая совместно попить пиво и посмотреть футбол. И на следующий день именно девушки, которым не предложили остаться, продолжают поиски принца.
Как показало представление этого материала на лекциях, на удивление многие мужчины (вероятно, задавленные ленью и сибаритством) предпочли бы, чтобы в обществе был принят именно подобный расклад. Человек, немного искушенный в данной проблематике, заметит, что второй алгоритм может привести к совершенно иным парам, а значит, кому-то от этого может стать лучше, а кому-то хуже – кто-то найдет пассию, находящуюся гораздо выше в индивидуальном списке, а кто-то может вообще остаться холостяком, при том что в старом алгоритме он жил бы долго и счастливо с любимым человеком. Другое дело, что никогда не знаешь, где тебе повезет…
Однако была доказана ошарашивающая на первый взгляд теорема. Можно рассмотреть не только эти два равновесия, возникающие в результате запуска патриархального и матриархального алгоритма, но и вообще множество всех устойчивых систем бракосочетаний. Это множество может быть очень большим. При этом первоначально предложенный механизм приводит к системе браков, нестрого лучшей среди всех возможных устойчивых систем для всех мужчин и нестрого худшей среди всех возможных для всех женщин. Это означает, что ни один мужчина ни при какой устойчивой системе бракосочетаний не может оказаться в ситуации лучшей, чем когда он (как и все остальные) действует согласно предписаниям Гейла и Шепли. Симметрично, любая девушка должна быть готова пойти на любое изменение правил, зная, что ни в каком устойчивом мэтчинге ей не будет хуже, чем в равновесии Гейла-Шепли.
Кто ищет, тот находит! Кто лежит на диване с пивом и телевизором, тот упускает свои шансы! И очень странно, что феминистки всего мира, претворяя в жизнь совершенно безумные идеи, не сделали принцип «девушки ищут мужиков» основополагающим в своей борьбе за улучшение жизни прекрасной половины человечества. Думается, что им было просто некогда познакомиться с этой красивой математической теорией.
Если же кто-то из читателей книги все еще не верит, что сложившиеся в обществе стереотипы, что мужчины предлагают руку и сердце, а девушки соглашаются или отказывают, приводят к ситуации, самой лучшей из всех возможных для всех мужчин и самой худшей из всех возможных для всех девушек, то вот вам короткий пример.
Пусть в деревне есть всего два парня, Андрей и Борис, и две девушки, Анна и Белла. Андрею больше нравится Анна, а Борису – Белла. Казалось бы, все прекрасно – даже драться из-за девушек не придется. Но вот незадача: у девушек мнения тоже разделились, но перекрестным образом. Анне больше нравится Борис, а Белле – Андрей. Правда, и парни, и девушки видные, поэтому любой выбор лучше одиночества. Попробуем запустить патриархальный механизм. В первый же вечер Андрей идет к Анне, а Борис к Белле. Поскольку альтернатив нет, девушки вынуждены заангажировать женихов, и уже на второй день будут сыграны две свадьбы – парни женятся на своих любимых девушках. Если же первый ход у девушек, то Анна идет к Борису, а Белла к Андрею. И уже парням ничего не остается, как жениться на своих вице-фаворитках, завидуя напарнику, в то время как каждая из девушек отхватила своего принца.
Кстати, обобщением данного простого демонстрационного примера является утверждение о том, что алгоритм Гейла-Шепли прекращает свою работу в первый же вечер всегда, когда мужчинам нравятся разные женщины и ни у кого в списке нет «нулевой черты». Заметим, что мнением невест (феминисткам к сведению) в этом случае вообще никто не интересуется.
7.2.2. Стратегическое поведение на двухсторонних рынках
Во многих практических приложениях теории игр, особенно в тех, где игроки принимают решения последовательно, более дальновидные стратегии, учитывающие возможную реакцию других участников взаимодействия, приводят к улучшению результатов по сравнению с близоруким поведением. Особенно много таких примеров в экономике. Приведем несколько из них. Начнем с положительных.
Существенное расширение поставок продукции на рынок, агрессивная реклама или закупка компанией избыточных производственных мощностей вынуждает ее конкурента в таких неблагоприятных условиях сокращать свою долю на рынке. И это может привести, несмотря на все дополнительные издержки, к росту прибыли первой, более дальновидной фирмы.
Переход к плоской шкале подоходного налогообложения в 2001 году в России привел к существенному выходу богатых людей из тени и росту поступлений в бюджет. Действительно, заплатить 13 % и спать спокойно можно, а отдавать 35–60 % заработанного, как было прежде, уже жалко, особенно при отсутствии эффективных карающих механизмов.
