Как показано на рис. 9, пары, в которых отцы ростом 72 дюйма, располагаются в вертикальном сегменте эллипса с центром в точке 72, а пары, в которых рост сыновей 71 дюйм, расположены в горизонтальном сегменте с центром в точке 71, что графически доказывает, что это две разные выборки. Сосредоточившись только на первой из них, парах с отцами ростом 72 дюйма, мы зададим вопрос, каков средний рост сыновей или, что то же самое, где находится центр этого вертикального сегмента (на глаз можно прикинуть, что центр приходится примерно на 71). Если мы рассмотрим только вторую выборку, в которой рост сыновей 71 дюйм, и спросим, каков средний рост их отцов, это будет равносильно нахождению центра горизонтального сегмента — легко увидеть, что он находится где-то на отметке 70,3.
Двигаясь дальше, выполняем такую же процедуру для всех вертикальных сегментов. Это равносильно вопросу «Каков наиболее вероятный рост сыновей (Y) для отцов ростом X?». И наоборот, рассматривая все горизонтальные сегменты, выясняем, где центр каждого из них: каким окажется (вернее, был, тут мы предсказываем прошлое) наиболее вероятный рост отцов для сыновей с ростом Y.
Размышляя над этими вопросами, Гальтон подошел к важному моменту: предсказания всегда располагаются на линии, названной им линией регрессии, которая расположена более полого, чем главная ось (или ось симметрии) данного эллипса. На самом деле таких линий две — в зависимости от того, данные каких из двух переменных известны и взяты в качестве основания для прогноза, а какие надо предсказать. Можно предугадать рост сыновей по росту отцов, а можно и наоборот. Ситуация совершенно симметрична. И это еще раз демонстрирует нам, что в случаях, где наблюдается регрессия к среднему, между причиной и следствием нет разницы.
Наклон линии регрессии позволяет нам предсказывать значение одной переменной, если нам известны значения второй. В терминах задачи Гальтона наклон в 0,5 означает, что каждому дюйму сверх среднего в росте отца соответствуют дополнительные полдюйма роста сына и наоборот. Наклон, равный единице, свидетельствовал бы о точной корреляции, т. е. каждый дополнительный дюйм роста у отца передавался бы по наследству сыну, который тоже был бы на этот дюйм выше. Наклон кривой не бывает больше единицы: в таком случае сыновья высоких отцов были бы в среднем выше, а сыновья отцов небольшого роста были бы ниже последних, а распределение роста в популяции становилось бы со временем все шире и шире. Через несколько поколений некоторые люди были бы трехметрового роста, а другие — ростом меньше метра, чего в природе не наблюдается. Таким образом, если распределение признака остается одинаковым от поколения к поколению, наклон линии регрессии не превышает единицы.
Закон регрессии применим даже тогда, когда мы рассматриваем корреляцию двух совсем разных признаков, например рост и ай-кью. Если расположить значения одного признака относительно значений другого на точечном графике и правильно подобрать масштаб обеих осей, наклон наиболее близко подходящей прямой всегда будет обладать теми же свойствами. Он равен единице только тогда, когда значения одного признака можно четко предсказать по значениям другого; он равен нулю, если связи между признаками нет и предсказание равносильно случайности. После масштабирования наклон прямой одинаков вне зависимости от того, рассматриваем ли мы признак Х относительно признака Y или наоборот. Другими словами, наклон прямой ничего не говорит нам о том, что в данном случае причина, а что следствие. Одна переменная обусловливает значения другой, или обе они обусловливаются третьей; для предсказания их значений это не важно.
Гальтонова идея корреляции впервые предоставила объективную меру связи двух переменных друг с другом, не зависящую от человеческих суждений и интерпретаций. Эти две переменные могут быть ростом, интеллектом или уровнем дохода; они могут находиться в каузальной, нейтральной или обратно-каузальной зависимости друг от друга — их корреляция всегда будет отражать степень взаимной предсказуемости значений двух признаков. Ученик Гальтона Карл Пирсон позже вывел формулу для наклона (правильно масштабированной) линии регрессии и назвал ее коэффициентом корреляции. До сих пор это первое число, которое вычисляют статистики по всему земному шару, когда хотят узнать, насколько взаимосвязаны любые два признака в массиве данных. Гальтон и Пирсон, должно быть, пришли в восторг, обнаружив такой универсальный способ описания взаимоотношений между случайными переменными. Старые, скользкие концепции причины и следствия по сравнению с математически прозрачной и четкой концепцией коэффициента корреляции казались устаревшими и ненаучными, в особенности Пирсону.
Гальтон и оставленные поиски
По иронии истории Гальтон начал с поисков причинности, а закончил открытием корреляции, отношения, лишенного причинности. Однако все равно признаки каузального мышления остаются в его публикациях. «Легко заметить, что корреляция [между размерами двух органов] должна быть следствием того, что изменчивость двух этих органов отчасти вызвана общими причинами», — пишет он в 1889 году. Первым жертвоприношением на алтарь корреляции стала сложная машина Гальтона для объяснения стабильности распределения генетических признаков в популяции. Доска Гальтона имитировала создание изменчивости по длине тела и ее передачу от поколения к поколению. Но ученому пришлось изобрести наклонные желоба в своей машине, ограничивающие постоянно возрастающее разнообразие в популяции. Не сумев обнаружить биологический механизм, удовлетворительно объясняющий эту силу, возвращающую к среднему, Гальтон просто прервал попытки после восьми лет бесплодных поисков и все внимание сосредоточил на корреляции, как моряк на песне сирены. Статистик Стивен Стиглер, много писавший о Гальтоне, заметил этот неожиданный сдвиг в целях и ожиданиях ученого: «Фигурой умолчания оказались Дарвин, желобки, все это „выживание наиболее приспособленных”. … По жестокой иронии, то, что начиналось как попытка подвести математическую основу под „Происхождение видов”, закончилось тем, что сама суть этой великой работы оказалась отброшена, как ненужная!»
Но для нас, живущих в современную эпоху причинного вывода, исходная проблема остается. Как мы объясним стабильность популяционного среднего, невзирая на дарвиновскую изменчивость, которой одно поколение наделяет последующее?
Возвращаясь к машине Гальтона в свете диаграмм причинности, первое, что я замечаю, — это то, что она была сконструирована неправильно. Постоянно растущей дисперсии, которая вынудила ученого создать ей противовес, вообще не должно было там быть. В самом деле, если мы проследим падение шарика в доске Гальтона с одного уровня на другой, мы увидим, что отклонение на следующем уровне наследует сумму всех отклонений, причиненных всеми булавками, с которыми он сталкивался на своем пути. Это откровенно противоречит уравнению Канемана:
Успех = Талант + Удача;
Большой успех = Чуть больше таланта + Намного больше удачи.
Согласно этим уравнениям, успех в поколении 2 не наследует удачу из поколения 1. Удача по определению преходяща и случайна; она не может влиять на будущие поколения. Но подобное поведение признака несовместимо с устройством машины Гальтона. Чтобы сравнить эти две концепции рядом, нарисуем их ассоциированные диаграммы причинности. На рис. 10а (концепция Гальтона) успех передается через поколения и удача накапливается неограниченно. Это легко себе представить, если под успехом понимать богатство или знатность. Однако для описания наследования физических характеристик, таких как рост, нам придется заменить модель Гальтона той, что на рис. 10б. В ней только генетическая компонента, показанная здесь как талант, передается от одного поколения к другому. Удача действует на каждое поколение независимо, таким образом, что случайные факторы в одном поколении не могут влиять на последующие поколения ни прямо, ни косвенно.
