Чтобы увидеть, как правило Байеса действует в примере с чайной, предположим, что вы не потрудились вычислить P (T | S) и оставили таблицу с данными дома. Однако вы почему-то помните, что половина из заказавших чай также заказала пирожные. Тут ваш босс задает неожиданный вопрос: «Какая доля заказавших пирожные также заказала и чай?» Нет повода для паники — вы можете вычислить это на основании иных вероятностей. Правило Байеса говорит, что P (T | S) () = (½) (), поэтому ваш ответ — P (T | S) =, потому что — единственное значение для P (T | S), которое сделает уравнение верным.
Также мы можем посмотреть на правило Байеса как на способ по-новому оценить нашу веру в определенную гипотезу. Это чрезвычайно важно понимать, потому что человеческие представления о событиях в будущем во многом опираются на частоту похожих событий в прошлом. Например, когда клиентка заходит в кафе, мы, ориентируясь на поведение похожих клиенток в прошлом, думаем, что, вероятно, она закажет чай. Но, если она сначала попросит пирожное, наша уверенность даже возрастет. Более того, возможно, мы предложим: «И чаю к пирожным?» Правило Байеса просто позволяет нам подкрепить эти рассуждения цифрами. Из табл. 1 видно, что предыдущая вероятность заказа чая (когда клиентка только вошла и еще ничего не заказала) равна. Но если клиентка заказывает пирожные, у нас появляется дополнительная информация о ней, которой не было раньше. В этом случае вероятность заказа чая (когда уже заказаны пирожные) выглядит так: P (T | S) =.
С математической точки зрения в этом и состоит правило Байеса. Оно кажется почти банальным. Здесь нет ничего, кроме понятия условной вероятности и небольшой дозы древнегреческой логики. Вы можете задать оправданный вопрос: как такая небольшая «фишка» сделала Байеса известным и почему люди спорили о ней 250 лет. В конце концов, математические факты должны разрешать противоречия, а не создавать их.
Здесь я должен признаться, что в примере с чайной, выводя правило Байеса из полученных данных, я опустил два весьма существенных возражения — одно философское и одно практическое. Философское возражение происходит из интерпретации вероятностей как степени веры, которую мы подспудно использовали в случае с чайной. Кто вообще сказал, что убеждения действуют или должны действовать как пропорциональные отношения данных?
Загвоздка в этом философском споре состоит в том, можно ли полноценно перевести выражение «при том, что я знаю» на язык вероятностей. Даже если мы согласимся, что безусловные вероятности вроде P (S), P (T) и P (S and T) отражают мою степень убежденности в этих предложениях, кто может сказать, что если оценить степень моей веры в T, она будет равна отношению P (S and T) /P (T), как утверждает правило Байеса? Будет ли «при том, что известно T» одним и тем же во всех случаях, где встретилось T? Язык вероятностей, выраженный в таких символах как P (S), создавался, чтобы выразить понятие частоты в азартных играх. Но выражение «при том, что известно» — эпистемологическое и должно управляться логикой знания, а не логикой частоты и пропорций.
С философской точки зрения достижение Томаса Байеса состоит в том, что он предложил формальное определение условной вероятности как P (S | T) = P (S and T) /P (T). По общему признанию, его эссе имеет довольно размытые формулировки; у него нет термина для условной вероятности, и вместо него он использует громоздкий оборот «вероятность второго [события] в условиях предположения, что первое произойдет». Только в 1880-х годах было признано, что отношение «при условии, что» заслуживает собственный символ, и только в 1931 году Харолд Джефрис (более известный как геофизик, чем как теоретик вероятности) ввел стандартную сегодня вертикальную черту в P (S | T).
Как мы видели, правило Байеса с формальной точки зрения — элементарное следствие его определения условной вероятности. Но с эпистемологической точки зрения оно далеко не элементарно. Более того, оно действует как нормативное правило для регуляции убеждений в ответ на доказательства. Другими словами, байесовское правило стоит рассматривать не только как удобное определение для нового понятия условной вероятности, но как попытка на практике достоверно представить английское выражение «при условии, что я знаю». Помимо прочего, оно означает, что вера в S, которую приобретает человек, открыв T, всегда не менее сильна, чем вера, которую человек питает по отношению к S и T до того, как откроет T. Более того, оно подразумевает, что чем удивительнее факт T, т. е. чем меньше P (T), тем сильнее должна быть вера в его причину S. Не случайно Байес и его друг Прайс, будучи епископальными священниками, видели в этом удачную отповедь Юму. Если T — чудо («Христос воскрес из мертвых»), а S — тесно связанная с ним гипотеза («Христос — сын Бога»), наша степень веры в S радикально повышается, когда мы точно знаем, что T — правда. Чем чудеснее чудо, тем больше доверия заслуживает гипотеза, которая обосновывает его возникновение. Это объясняет, почему авторы Нового Завета были так сильно впечатлены свидетельствами очевидцев.
А теперь я хотел бы обсудить практическое возражение правилу Байеса, которое, возможно, становится важнее, когда мы выходим из рамок теологии и переходим на территорию науки. Если попытаться применить это правило к головоломке с бильярдным шаром, чтобы найти P (L | x), то понадобится величина физики бильярдных шаров, недоступная нам: нам нужна априорная вероятность длины L, которую так же сложно определить, как и желаемую P (L | x). Более того, эта вероятность будет значительно отличаться в зависимости от индивидуального опыта каждого со столами разной длины. Человек, который никогда в жизни не видел стола для снукера, будет сильно сомневаться в том, что L может оказаться больше 10 футов. Однако человек, который видел только столы для снукера и не видел классического бильярдного стола, счел бы L меньше 10 футов крайне маловероятной. Эту переменчивость, также известную как субъективность, иногда считают недостатком причинного вывода по Байесу. Между тем есть мнение, что она дает мощное преимущество, поскольку позволяет выразить личный опыт математически и объединить его с данными — последовательно и прозрачно. Правило Байеса направляет наши рассуждения в тех случаях, когда подводит обычная интуиция или вмешиваются эмоции. Мы продемонстрируем это преимущество на примере знакомой всем нам ситуации.
Предположим, вы прошли медицинское обследование, чтобы узнать, есть ли у вас заболевание, и результат оказался положительным. Насколько вероятно, что вы действительно больны? Ради конкретности предположим, что речь идет о раке груди, а метод обследования — маммография. Здесь прямая вероятность — это вероятность положительного результата в случае, если вы действительно больны: P (обследование | болезнь). Врач назвал бы это «чувствительностью» обследования, подразумевая его способность правильно выявлять болезнь. Как правило, это одинаковая величина для всех пациентов, потому что она зависит только от технических возможностей прибора, выявляющего связанные с заболеванием отклонения. Обратная вероятность, скорее всего, окажется для вас более важной: какова вероятность, что вы больны, если результат оказался положительным? Это P (болезнь | обследование), и здесь информация идет не в причинном направлении, а от результата обследования к вероятности болезни. Вероятность не одинакова для всех типов пациентов; безусловно, положительный результат будет более тревожным для пациентки с семейным анамнезом болезни, чем для пациентки без такого анамнеза.
