— Поднимите руки желающие получить «три».
— И тут к его ужасу… вся группа подняла руки. В сильном смятении Н. побежал в учебную часть.
— У меня проблема с экзаменом, — взволнованно обратился он к заведующей. — Я не знаю, что делать.
И он пересказал ей ситуацию с экзаменом в своей группе.
— Ну что я могу сказать, — развела руками заведующая, — вы — не Ландау…
История умалчивает о том, поставил ли экзаменатор всем «тройки» или вернулся к обычной системе приема (и опять-таки выставил всем по «три балла»).
(История дана по оригинальному тексту из кн. «Математики тоже шутят»: [Федин, 2010. С. 22])
Математическая игра Ландау
Друзья Льва Давидовича вспоминают, что, путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам поиграть в номера автомашин. Игру он сам и придумал. В то время в номера автомашин входили две пары цифр. Нужно было так подобрать математические символы, действующие порознь в каждой паре данных цифр, чтобы после их применения левая часть становилась равна правой. Разрешалось вставлять в каждую пару цифр символы только элементарных функций: +, -,, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, а также факториал (!). (Напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1 х 2 х 3……n = n!.
Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: 7√ = 15. Это очень легкий пример. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: — (5–3!) = √4–1. Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log√33.
Дифференцировать числа, т. е. константы, стоящие в номере, запрещалось. Это было в те годы действием из высшей математики. К тому же такой способ тривиализовать решение тут же подписал бы смертный приговор самой игре.
Навык находить равенство между парами приходит довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно «решить»? Такой вопрос задал харьковский профессор М. И. Каганов академику Ландау
[6]
. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему не существования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75–65». Вот еще несколько пар номеров, на которые указывал как на наиболее трудные, если вообще «разрешимые», сам Ландау: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37.
Далее М. И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой Ландау своих харьковских коллег. И, наконец, математик Юрий Палант вывел формулу универсального решения задачи. Вот она: √N +1 = sec arctg √N. Суть формулы такова: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства. Идея понравилась Ландау, и он даже обсуждал возможность опубликовать ее в научно-популярном журнале. Но вряд ли сам Ландау серьезно занимался теорией и практикой своей игры. Прошло 40 лет, и после первой же широкой публикации с условиями этой игры в журнал «Наука и жизнь» стали приходить письма, предлагавшие самые разнообразные, часто изощренные варианты решений для любых пар номеров.
Учитывая, что секанс это функция «устаревшая», уже лет тридцать, как вышедшая из употребления в средней школе, математик С. Н. Федин так модернизировал указанную формулу Ю. Паланта:
tg arcctg cos arctg √N = √1 + N.
(Для ее вывода необходимо знать, что: 1) tg arctg x = x; 2) 1 / cos2x = = lg2x+ 1).
Поиск других общих решений игры Ландау стал самостоятельной математической задачей более высокого уровня сложности, чем решения для определенных частных случаев. Так, автор-составитель нашел следующее общее решение:
sin [(a,b)!]° = sin [(c,d)!]°= 0.
Здесь a, b, с, d — любые натуральные числа от 0 до 9 включительно. Любую пару цифр следует рассматривать как число п из двух разрядов, после которого ставится знак факториала. Далее sin (n!)° = 0, если n > 6, так как sin (6!)°= sin 720°= sin 2-360 0 =0. Дальше любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6!х7, 8! = 6! х 7 х 8 и т. д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (как, впрочем, и тангенс) равным нулю. В случае, если n ≤ 5 синус не дает нуля слева или справа. Но это ситуация совсем простая. Заинтересовавшиеся читатели легко решат эту задачу самостоятельно (или в крайнем случае посмотрят в журнале «Наука и Жизнь» (2001. № 6) или в книге «Горобец» (2009, С. 105).
Следует отметить, что игра Ландау не только любопытная но и развивающая. Она неизменно встречает повышенный интерес у студентов и абитуриентов. В огромном наборе двух пар цифр можно найти варианты любого уровня сложности, позволяющие преподавателю математики давать примеры, начиная с очень легких и кончая олимпиадным уровнем. Большой набор номеров с решениями повышенной сложности опубликован в журнале «НиЖ» (2001. № 6.), а также в указанной книге, в последней ссылке. И еще одна подсказка. Если у вас нет под рукой случайных чисел, берите две любые пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Не исключено, что кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.
(Цит. по кн: [Горобец, 2009а])
Григорий Самуилович Ландсберг
Об отношении к лекциям
«В день лекции я ничем другим не занимаюсь. Прихожу за час-два до начала, чтобы проверить демонстрационные эксперименты».
Об отношении к лабораторным экспериментам и персоналу
Неоднократно, входя в лабораторию, он делал строгое замечание по поводу беспорядка. Считалось великим преступлением вытирать оптические детали носовым платком или полой халата. Не допускалось грязи в лаборатории при этом говорилось: «Грязь — это все то, что не лежит на своем месте».
(Из воспоминаний Л. Г. Ландсберга, журнал «Преподавание физики в высшей школе» (№ 17, 1999))
Михаил Александрович Леонтович
[7]
Настоящий физик должен быть в стоптанных ботинках и мятых брюках. Солидность — это удел дураков.
[С. 290]
Вас надо не только на горшок сажать, но и штаны вам застегивать.
[С. 276]
Стоит мне только выйти в коридор, как ко мне присоединится какой-нибудь молодой человек и начнет уверять, что ему совершенно необходимо задать какой-то вопрос о науке. И вот он задает какой-нибудь самый дурацкий вопрос, но я-то по его глазам вижу, что ему нужно совсем не то, и спрашиваю: сколько? Тут он, конечно, краснеет, начинает бормотать: «Я отдам, в следующем месяце непременно отдам», а я вынимаю деньги, приятно улыбаюсь и говорю: «Помогать проезжающим — наша первейшая обязанность!»
