Задача, которую предстоит решить кандидату, занимающему выборную должность, во многом напоминает известную задачу о дележке пирога. В ней двум детям предлагают разделить между собой пирог. Им необходимо найти такой принцип разрезания пирога, который гарантировал бы, что каждый из них получит минимум его половину.
Решение этой задачи выглядит так: «Я режу, ты выбираешь». Один ребенок разрезает пирог, а другой выбирает свой кусок. Это дает первому стимул разрезать пирог на как можно более равные части. Поскольку второй ребенок может выбирать одну из частей пирога, он не будет чувствовать себя обманутым.
Задача, которую предстоит решить кандидатам, немного отличается. Претенденту предстоит и резать пирог, и выбирать его часть. Однако именно кандидат, занимающий выборную должность, определяет границы той позиции, которую предстоит «разрезать» претенденту. Например, если распределить всех избирателей равномерно по кругу, тогда действующий кандидат мог бы выбрать для себя позицию в центре этого круга. Хотя претендент и пытается занять позицию поближе к действующему кандидату, второй все равно может привлечь на свою сторону половину избирателей. На представленном рисунке пунктирная линия отображает ситуацию, когда претендент приближается к кандидату, занимающему выборную должность, с левого верхнего угла. Но круг все равно разделен пополам. Центр круга всегда находится ближе всего минимум к половине точек, расположенных на плоскости круга.
Ситуация усложняется, если избиратели равномерно распределены в треугольнике. (Для простоты опускаем оси, соответствующие вопросу налогов.) Какую позицию должен выбрать действующий кандидат теперь и какое максимальное число голосов он может гарантированно получить?
На представленном ниже рисунке кандидат, занимающий выборную должность, выбрал плохую позицию. Если претендент приблизится к нему либо справа, либо слева, действующий кандидат по-прежнему сможет заручиться поддержкой половины избирателей. Но если претендент приблизится к действующему кандидату снизу, он сможет получить гораздо больше половины голосов избирателей. Действующий кандидат оказался бы в более выгодном положении, если бы выбрал позицию гораздо ниже, для того чтобы предотвратить эту атаку претендента.
Оказывается, если действующий кандидат выберет среднюю точку множества, известную как центр тяжести, это гарантирует ему минимум 4∕9 общего числа голосов. Он привлечет на свою сторону по ⅔ голосов по каждому из двух измерений, что даст в итоге ⅔ × ⅔ = 4∕9.
На представленном ниже рисунке мы разделили этот треугольник на девять треугольников меньшего размера, каждый из которых точная уменьшенная копия большого треугольника. Центр тяжести этого треугольника расположен в точке пересечения трех линий. (Эта точка представляет собой и предпочтительную позицию медианного избирателя.) Заняв позицию в центре тяжести, действующий кандидат может заручиться поддержкой избирателей, находящихся минимум в четырех из девяти треугольников. Например, претендент может атаковать снизу и привлечь на свою сторону всех избирателей в пяти нижних треугольниках; действующий кандидат может рассчитывать в таком случае на поддержку избирателей из четырех оставшихся треугольников.
Если мы построим такой треугольник в трех измерениях, кандидат, занимающий выборную должность в текущий момент, все равно добьется большего, заняв позицию в центре тяжести, но на этот раз он обеспечит себе только ¾ × ¾ × ¾ = 27∕64 голосов избирателей.
Довольно неожиданным стал вывод о том, что для действующего кандидата треугольник (и его трехмерные аналоги) – худший вариант из всех возможных вариантов выпуклых множеств с любым числом измерений. (Множество считается выпуклым, если содержит две точки и соединяющий их отрезок. Следовательно, круг и треугольник – это выпуклые множества, тогда как буква Т – нет.)
А теперь поговорим о настоящей неожиданности. Заняв позицию в центре тяжести любого выпуклого множества, действующий кандидат может гарантированно получить минимум 1∕e = 1∕2,71828 голосов, то есть приблизительно 36 процентов. Этот результат сохраняется даже тогда, когда позиции избирателей распределены не равномерно, а по нормальному закону (иными словами, кривая распределения имеет колоколообразную форму). Это означает, что если для нарушения статус-кво требуется подавляющее большинство избирателей – 64 процента, то можно найти позицию, обеспечивающую стабильный результат, выбрав точку, которая представляет собой среднюю величину предпочтений всех избирателей. Следовательно, какой бы ни была позиция претендента на выборную должность, кандидат, занимающий эту должность, может получить минимум 36 процентов голосов и сохранить должность за собой
[149]
. Все, что ему для этого требуется, – это чтобы распределение предпочтений избирателей не было слишком широким. Нет ничего плохого в том, что отдельные избиратели занимают ту или иную крайнюю позицию, если только большинство из них придерживаются центристских взглядов, что и происходит в случае нормального распределения предпочтений.
Действующим может быть не только политик, но и политика или судебная практика. Сделанные выводы объясняют даже стабильность Конституции США. Если бы для внесения поправок в Конституцию необходимо было всего лишь простое большинство (50 процентов) голосов, этот процесс приобрел бы циклический характер. Однако поскольку для этого требуется квалифицированное большинство (64 процента, или ⅔ голосов), существует позиция, пошатнуть которую очень трудно. Это не означает, что статус-кво не могут нарушить какие-то альтернативы. Это означает только, что существует некий статус-кво, а именно средняя позиция в общей совокупности избирателей, которую соотношение голосов 67 против 33 не сможет нарушить.
