Начнем с аукциона Викри. Ценность предмета торгов составляет для вас 60 долларов, поэтому вы предлагаете цену 60 долларов. Если бы мы сказали вам, что вы выиграли аукцион, вы были бы довольны, но не знали, сколько вам придется заплатить. Вам известно только, что эта сумма немного ниже 60 долларов. Все возможные варианты цены ниже 60 долларов в равной степени вероятны, поэтому вы платите в среднем 30 долларов. Если бы мы предложили вам выбор: заплатить 30 долларов или заплатить сумму, соответствующую второй самой высокой цене, эти варианты были бы для вас равнозначны – по вашим оценкам, вы в любом случае должны будете заплатить 30 долларов. Точно так же, если бы ценность предмета торгов составляла для вас 80 долларов, вы были бы рады предложить 40 долларов, если бы узнали, что ваша ставка выиграла аукцион Викри. В более общем случае, если ценность предмета для вас составляет Х долларов, вы рассчитываете заплатить Х∕2 доллара (вторая самая высокая ставка), если выиграете аукцион Викри. Вас вполне устроило бы, если бы вам пришлось сразу же заплатить Х∕2 доллара, когда ваша ставка Х выиграет аукцион.
Давайте так и сделаем. Вместо того чтобы платить вторую самую высокую цену, изменим правила таким образом: когда вы предложите Х долларов, вы должны будете заплатить сумму Х∕2 доллара, если ваша ставка Х выиграет аукцион. Поскольку в среднем это тот же результат, что и в аукционе Викри, вам не следует менять оптимальную ставку. А теперь представим себе, что все остальные участники аукциона придерживаются того же правила. Они тоже не должны менять свои ставки.
На данном этапе мы получили нечто весьма похожее на закрытый аукцион. Каждый участник аукциона записывает свою цену на бумаге, а выигрывает предложение с самой высокой ценой. Единственное отличие состоит в следующем: вместо того чтобы платить предложенную цену, вы должны будете заплатить только половину. Это все равно, что заплатить в долларах США вместо британских фунтов.
Но эта игра не обманет участников аукциона. Если предложение цены 80 долларов означает, что вы должны заплатить 40 долларов, то ставка 80 долларов означает на самом деле 40 долларов. Если бы мы еще раз изменили правила, чтобы вы платили предложенную цену, а не половину, тогда все остальные участники аукциона просто сократили бы свои ставки в два раза. В таком случае, если вы готовы заплатить 40 долларов, вы предлагаете цену 40 вместо 80. В итоге мы получили закрытый аукцион. Вероятно, вы обратили внимание на следующий факт: равновесная стратегия обоих игроков сводится к тому, чтобы предлагать цену, эквивалентную половине ценности, которую представляет для них предмет торгов.
Если вы хотите убедиться в том, что это действительно равновесная стратегия, то можете предположить, что другой игрок предлагает цену, равную половине его ценности предмета торгов, и представить себе, как отреагировали бы на это вы. Если вы предлагаете цену Х, то выиграете, если ценность предмета торгов для другого аукционера меньше 2Х (а значит, он предлагает цену меньше Х). Вероятность такого развития событий равна 2Х∕100. Таким образом, выигрыш от ставки Х при условии, что V – истинная ценность предмета торгов, составляет:
(Вероятность того, что выиграет Х) × (V – Х) = (2Х / 100) (V – Х).
Это уравнение дает максимальное значение при X = V∕2. Если другой игрок предлагает цену, равную половине ценности предмета торгов для него, то вам необходимо предложить цену, равную половине своей ценности. Если вы предлагаете цену, равную половине ценности предмета торгов для вас, то другому игроку необходимо поступить так же. Следовательно, мы имеем равновесие Нэша. Как видите, легче проверить, что при определенных условиях достигается равновесие, чем найти это равновесие.
Задача для тренировки мышления № 8
Предположим, вы знали, что ваш соперник будет действовать при t = 10. В таком случае вы могли бы сделать свой ход на счет 9,99 или подождать и позволить сопернику использовать свой шанс. Если вы выстрелите при t = 9,99, ваша вероятность выиграть составляет около p(10). В случае ожидания вы выиграете, если ваш соперник промахнется. Вероятность такого развития событий равна 1 – q(10). Следовательно, вы должны сделать свой ход раньше соперника, если p(10) > 1 – q(10).
Разумеется, ваш соперник делает такие же расчеты. Если он считает, что вы намерены сделать свой ход первым при t = 9,99, он сделает первый ход при t = 9,98, если q(9,98) > > 1 – p(9,98).
Следовательно, ни один из игроков не захочет делать свой ход раньше соперника при таком условии:
p(t) ≤ 1 – q(t) и q(t) ≤ 1 – p(t).
Это условие тождественно следующему условию:
p(t) + q(t) ≤ 1.
Таким образом, оба игрока готовы ждать до момента p(t) + q(t) = 1, а затем выстрелить.
Задача для тренировки мышления № 9
Если ваш дом будет продан за 250 тысяч долларов, комиссионные в размере 15 тысяч долларов разделят между собой поровну ваш агент и агент покупателя. Проблема в том, что такая система оплаты создает слабые стимулы. Если ваш агент работает усердно и продает дом на 20 тысяч долларов дороже, после раздела комиссионных он получит дополнительно всего 600 долларов. Более того, ему придется разделить эту сумму еще и с агентством, на которое он работает, после чего у него останется всего 300 долларов. Вряд ли эта сумма стоит дополнительных усилий, поэтому агенты по продаже недвижимости заинтересованы в том, чтобы продать дом побыстрее, а не получить за него самую высокую цену.
Почему бы не предложить агенту нелинейную систему оплаты: 2,5 процента за базовую стоимость дома – 200 тысяч долларов, а затем 20 процентов от любого превышения этой суммы? Если цена продажи составит 250 тысяч долларов, комиссионные останутся такими же, как и прежде: 15 тысяч долларов. Однако если вашему агенту удастся продать дом за 270 тысяч долларов, это увеличит размер его комиссионных на 2000 долларов даже после раздела.
Разумеется, здесь возникает вопрос о том, каким должен быть предельный размер комиссионных. Если вы считаете, что ваш дом можно продать за 300 тысяч долларов, то вы заинтересованы в том, чтобы размер комиссионных соответствовал цене продажи 250 тысяч долларов. Напротив, агент попытается занизить стоимость вашего дома и будет утверждать, что 250 тысяч долларов – это его рыночная цена, что потребует выплаты более высоких комиссионных, исходя из базовой цены 200 тысяч долларов. Это создает серьезный конфликт между вами и агентом в самом начале вашего сотрудничества.
Задача для тренировки мышления № 10
Для того чтобы понять, насколько большим может быть такое несовпадение интересов, необходимо глубже проанализировать некоторые экономические показатели. Как правило, издатель получает 50 процентов от прейскурантной цены книги. Затраты на издание и доставку книги в твердом переплете составляют в среднем три доллара на книгу. В таком случае при цене p, которая обеспечивает объем продаж q(p), издатель заработает
