Теория и реальность
Насколько близки показатели реальных игроков, выполняющих штрафной удар, и вратарей нашим теоретическим расчетам соответствующих оптимальных смешанных стратегий? Обратите внимание на таблицу, составленную по данным, которые получил Игнасио Паласиос Уэрта, а также по данным наших расчетов
[65]
.
Неплохо, не правда ли? Во всех случаях фактический процент стратегии «слева» в смешанной стратегии достаточно близок к оптимальному. Фактические смешанные стратегии обеспечивают почти одинаковый процент положительных результатов при любом выборе другого игрока, а значит, делают первого игрока неуязвимым к попыткам эксплуатации, предпринимаемым другим игроком.
Аналогичные доказательства совпадения фактических результатов игры и теоретических прогнозов были получены в процессе анализа профессиональных теннисных матчей высшего уровня
[66]
. В этом нет ничего удивительного. Одни и те же люди регулярно играют друг против друга и изучают методы соперника, поэтому любая более или менее очевидная схема будет замечена и использована противником с выгодой для себя. Ставки же в таких матчах очень высоки в плане денег, достижений и славы; следовательно, игроки весьма заинтересованы в том, чтобы не совершать ошибок.
Тем не менее теория игр не всегда обеспечивает благоприятный исход. Далее в этой главе мы проанализируем, насколько эффективен или неэффективен метод смешивания стратегий в других играх и почему. Но сначала давайте кратко сформулируем то, о чем шла речь, в виде очередного правила:
ПРАВИЛО № 5: в игре с чистым конфликтом (игре с нулевой суммой), если вам невыгодно заранее раскрывать сопернику свой фактический выбор, следует случайным образом выбрать одну из имеющихся у вас чистых стратегий. Смешивать стратегии нужно в такой пропорции, чтобы соперник не смог извлечь для себя выгоду из вашего выбора, придерживаясь любой из имеющихся в его распоряжении чистых стратегий. Иными словами, вы получаете один и тот же средний выигрыш, если ваша смешанная стратегия противопоставлена каждой из чистых стратегий соперника
{79}.
Если один игрок придерживается этого правила, другой не сможет добиться большего выигрыша, применив одну из своих чистых стратегий. Следовательно, для него не имеет большого значения, какую именно стратегию выбрать, и единственное, что ему остается сделать, – это использовать смешанную стратегию, предписанную ему тем же правилом. Когда этого правила придерживаются оба игрока, ни один из них не сможет добиться большего выигрыша, отклонившись от данной линии поведения. Это полностью соответствует определению равновесия Нэша, представленному в
главе 4. Иными словами, в ситуации, когда оба игрока следуют этому правилу, мы имеем равновесие Нэша в смешанных стратегиях. Следовательно, теорему о минимаксе Неймана – Моргенштерна можно рассматривать как частный случай более общей теории Нэша. Теорема о минимаксе применима только к играм с нулевой суммой, рассчитанным на двух игроков, тогда как концепцию равновесия Нэша допускается использовать в играх с любым числом игроков и любым сочетанием конфликта и общности интересов.
В играх с нулевой суммой равновесие возможно и при отсутствии смешанных стратегий. Вот простой пример: предположим, у игрока, выполняющего пенальти, очень низкий процент успешных ударов слева от вратаря (это не его естественная сторона), даже когда вратарь неправильно угадывает его действия. Это может быть связано с высокой вероятностью того, что бьющий игрок в любом случае промахнется, если будет бить внешней стороной ступни. Предположим, таблица выигрышей в этом случае выглядит так:
В данном случае стратегия «справа» доминирующая для бьющего игрока и у него нет причин смешивать стратегии. В более общем случае равновесие возможно даже при наличии чистых стратегий, среди которых нет доминирующих. Но и здесь нет причин для беспокойства: методы поиска равновесия в смешанной стратегии также позволяют обнаружить равновесие в случае чистой стратегии как частный случай смешивания стратегий, в котором доля одной из них составляет 100 процентов.
Детская забава
23 октября 2005 года Эндрю Бергель из Торонто получил титул чемпиона мира в игре «камень, ножницы, бумага» (КНБ), а также золотую медаль Всемирной ассоциации игроков в КНБ. Стэн Лонг из Ньюарка выиграл серебряную медаль, а Стюарт Уолдман из Нью-Йорка – бронзовую.
Всемирная ассоциация игроков в КНБ поддерживает сайт www.worldrps.com, на котором публикуются правила игры и различные рекомендации по поводу стратегии. Кроме того, ассоциация проводит ежегодный чемпионат мира по игре КНБ. Знали ли вы о том, что игра, в которую вы играли в детстве, вышла на такой серьезный уровень?
Правила игры в КНБ сейчас те же, что были в вашем детстве; они описаны в
главе 1. Два игрока одновременно выбирают (на жаргоне этой игры «выбрасывают») один из знаков рукой: кулак символизирует камень, расположенная горизонтально ладонь – бумагу, а указательный и средний пальцы, расставленные под углом и указывающие на соперника, – ножницы. Если оба игрока показали один знак, засчитывается ничья. Если игроки выбирают разные знаки, камень побеждает (ломает) ножницы, ножницы побеждают (режут) бумагу, а бумага побеждает (обертывает) камень. Каждая пара игроков проводит несколько раундов игры подряд, а участник соревнований, победивший в максимальном числе раундов, становится победителем матча.
Тщательно продуманные правила, опубликованные на сайте Всемирной ассоциации игроков в КНБ, регламентируют два важных момента соревнований по этой игре. Во-первых, точно описаны жесты, которые символизируют камень, ножницы и бумагу в момент выброса. Это предотвращает любые попытки мошенничества, когда один игрок делает жест, допускающий двоякое толкование, а затем заявляет, что его знак побеждает знак соперника. Во-вторых, в этих правилах описана последовательность действий, которые обозначаются как «исходная позиция, готовность, выброс», для того чтобы обеспечить одновременность ходов двух игроков. При таком подходе один игрок не может заранее увидеть, что сделал другой, и выбрать в ответ тот знак, который обеспечил бы ему победу.
