Школа магии
• Из каждых 20 учеников школы магии 5 имеют волшебные палочки.
• Из этих 5 учеников 4 также носят волшебные шляпы.
• Из тех 15, которые не имеют волшебных палочек, 12 носят волшебные шляпы.
Представьте себе такую группу учеников Школы магии, носящих волшебные шляпы. Ответьте на следующие два вопроса:
Здесь больше учеников с волшебными палочками?
Вероятнее, да.
Вероятнее, нет.
2. Как много обладателей волшебных палочек имеют также волшебные шляпы? ___ из ___.
Рис. 12.1. Способ представления естественных частот в виде иконок, а не в виде чисел в задаче для школьников
Первый вопрос менее трудный. 88 % второклассников выбрали правильный ответ «вероятнее, нет». Практические все четвероклассники – 96 % – также дали правильный ответ. Второй вопрос труднее и требует рассуждений с использованием цифр. Если вы посмотрите на рисунок внимательнее, то увидите, что этот вопрос аналогичен тем, на который могут ответить лишь немногие врачи, когда их спрашивают о состоянии пациентов, а не о волшебной палочке. Отметьте, что ни один из этих детей не был знаком еще с пропорциями и процентами. Несмотря на это, 14 % второклассников и 51 % четвероклассников дали правильный ответ: только 4 из каждых 16 учеников, носящих волшебные шляпы, также имеют волшебную палочку.
Каждому ребенку было предложено решить по шесть задач. При наличии в задачах иконок второклассники решили 22 % задач (рис. 12.2); этот показатель соответствует проценту врачей, которые смогли решить задачу о скрининге, представленную в условных вероятностях (см. рис. 9.1). Четвероклассники смогли решить уже 60 % задач. Даже когда текст не содержал иконок, младшие дети могли решить 11 % задач, а более старшие – 40 %.
Ученики четвертых-шестых классов пекинских школ решали задачи столь же успешно, притом что они также еще не проходили пропорций. Не все дети способны отвечать правильно, но их развитие между вторым и четвертым классом идет быстро. В итоге с помощью иконок большинство четвероклассников оказываются способными решать задачи, которые не под силу многим врачам. Помогают ли естественные частоты и иконки детям, имеющим специфические проблемы с приобретением навыков выполнения арифметических действий? Удивительно, но эти дети могут решать задачи с такой же легкостью и пользоваться иконками почти так же успешно, как другие дети. Это говорит о том, что проблема в меньшей степени имеет отношение к аномальным генам, чем к передаче информации.
Рис. 12.2. Доля правильных ответов, данных школьниками с использованием числовых значений и иконок
Теперь вы и ваш четвероклассник владеете инструментом, позволяющим понимать данные, характеризующие значения вероятности в результатах медицинских тестов – или вероятности наличия волшебных палочек. Дети могут быстро осваивать эффективные способы осмысления информации, как только мы пересматриваем свои методы преподавания.
Два первых принципа обучения
Учить решать задачи реального мира
Наших детей учат алгебре, геометрии и основам математического анализа. Другими словами, мы учим их математике определенности, а не математике неопределенности, то есть статистическому мышлению. Но многим ли из них потребуется решать квадратные уравнения, рассчитывать плоскость сечения куба или размышлять об иррациональных числах на работе или дома? Традиционно считалось, что изучение абстрактных дисциплин, таких как алгебра и геометрия, развивает мышление и навыки решения задач. Если бы это было так, мы не имели бы такого количества врачей, не понимающих медицинской статистики, или адвокатов, не понимающих достоверности свидетельств, полученных на основе анализа ДНК
{241}. И ни психолог Е. Торндайк в 1920-х гг., ни современные исследователи не обнаружили никаких следов таких позитивных эффектов
{242}. Это позволяет предположить, что если мы хотим вырастить новое поколение, способное решать задачи, которые возникнут в будущем, то следует учить его необходимым когнитивным навыкам, а не абстрактным принципам.
Статистическое мышление – наиболее полезная отрасль математики, которую можно применять к повседневной жизни, – и одна из тех, что дети находят особенно интересными. Обучение статистическому мышлению означает предоставление людям инструментов, дающих возможность решать задачи в условиях реального мира. Его не следует преподавать как чистую математику. Вместо механического решения абстрактных задач с помощью конкретной формулы детям и подросткам надо предлагать находить решения задач из реальной жизни. Это научит их тому, как решать задачи, а также покажет, что часто у задачи может иметься не одно хорошее решение. В равной мере важно поощрять любознательность, в частности стремление искать ответы на вопросы с помощью экспериментов. Например: «Может ли человек, стоящий на голове, пить воду?» Не говорите детям ответ, пусть они найдут его сами. И вы можете держать пари, что они его найдут. Тому, что важно для повседневной жизни, нужно учить в первую очередь, а тому, что важно для математиков, – позднее. Ориентация на решение задач реального мира, а не задач абстрактной математики позволяет сделать понятными исходные условия, выбрать подходящие инструменты и применить простые практические правила
{243}. Для проведения этих изменений нам нужно учить учителей.
Не готовьте учеников сдавать тесты, учите тому, что понадобится им в их жизни
Древнеримский государственный деятель Сенека, бывший воспитателем Нерона, сказал две тысячи лет назад: «Non vitae, sed scholae discimus» – «Мы учимся не для жизни, а для школы». Немногое изменилось с тех пор: учителя, родители и ученики готовятся к сдаче теста академической пригодности, а не к сдаче экзаменов, которые постоянно устраивает им жизнь. Дети сначала заучивают что-то на память, сдают тест и потом забывают выученное. Цикл повторяется снова и снова сначала в школе, а затем в колледже.
