Возможность всех этих и подобных им доказательств означает, что принцип математической индукции имеет строго ограниченную область приложения. Он не должен применяться, в частности, в рассуждениях об объектах, обозначаемых неточными, расплывчатыми понятиями.
Возникает, однако, вопрос: благодаря каким свойствам математических понятий парадоксы, подобные описанным, не могут появиться в математике? В чем состоит та особая «жесткость» математических объектов, которая дает возможность распространить на них математическую индукцию? Или, говоря иначе, какие именно объекты являются «математическими», подпадающими под действие принципа математической индукции?
Из этих вопросов можно сделать, в частности, вывод, что при обосновании математики принцип математической индукции не должен приниматься в качестве самоочевидного и исходного.
Оказывается в итоге, что древние парадоксы, касающиеся неточных понятий, перекликаются с самыми современными спорами по поводу оснований математики. Неточными являются не только эмпирические понятия, подобные «дому», «куче», «старику» и т. д., но и многие теоретические понятия, такие, как «идеальный газ», «материальная точка» и т. д.
Характерная особенность неточных понятий заключается в том, что с их помощью можно конструировать неразрешимые высказывания. Относительно таких высказываний невозможно решить, истинны они или нет, как, скажем, в случае высказываний: «Человек тридцати лет — молод» и «Тридцать лет — это средний возраст».
Естественно, что наука стремится исключать неточные понятия, как и содержащие их неразрешимые высказывания из своего языка. Однако ей не всегда удается это сделать. Многие ее понятия заимствованы из повседневного языка, модификация и уточнение их далеко не всегда и не сразу приводят к успеху.
Неточными являются, в частности, обычные понятия, связанные с измерением пространства и времени. На это впервые обратил внимание А. Эйнштейн. Он показал, что понятия «одновременные события» и «настоящее время» не являются точными. Легко сказать, одновременны или нет события, происходящие в пределах восприятия человека. Установление же одновременности удаленных друг от друга событий требует синхронизации часов, сигналов. Содержание обычного понятия одновременности не определяет никакого метода, дающего хотя бы абстрактную возможность суждения об одновременности этих событий. Точно так же обстоит дело с понятием пространственного совпадения.
То, что понятия в большинстве своем являются неточными, означает, что каждый язык, включая и язык любой научной теории, более или менее неточен. Сопоставление теории, сформулированной в таком языке, с реальными и эмпирически устанавливаемыми сущностями всегда обнаруживает определенное расхождение теоретической модели с реальным миром. Обычно это расхождение относят к проблематике, связанной с приложимостью теории, и оно оказывается тем самым в известной мере завуалированным.
Но это не означает, конечно, что его нет. Особенно остро стоит в этом плане вопрос о приложимости к эмпирической реальности наиболее абстрактных теорий — логических и математических.
Применительно к математике А. Эйнштейн выразил эту мысль так: «Поскольку математические предложения относятся к действительности, они не являются бесспорными, а поскольку они являются бесспорными, они не относятся к действительности». Анализируя понятие неточности, Б. Рассел пришел к заключению, что поскольку логика требует, чтобы используемые понятия были точными, она применима не к реальному миру, а только к «воображаемому неземному существованию».
Эти мнения являются, конечно, крайними. Но они хорошо подчеркивают серьезность тех проблем, которые связаны с неточностью понятий.
Иногда неточные понятия, подобные «молодому», удается устранить. Как правило, это бывает в практических ситуациях, требующих однозначности и точности и не мирящихся с колебаниями.
Можно, во-первых, прибегнуть к соглашению и ввести вместо неопределенного понятия новое понятие со строго определенными границами.
Так, иногда наряду с крайне расплывчатым понятием «молодой» используется точное понятие «совершеннолетний». Оно является настолько жестким, что тот, кому 18 лет и более, относится к совершеннолетним, а тот, кому хотя бы на один день меньше, считается еще несовершеннолетним.
Можно, во-вторых, избегать неточных понятий, вводя вместо них сравнительные понятия. Например, иногда вместо выяснения того, кто молод, а кто нет, достаточно установить, кто кого моложе.
Разумеется, эти, как и иные, способы устранения неточных понятий применимы только в редких ситуациях и для узкого круга целей. Попытка достичь сразу же, одним движением высокой точности там, где она объективно не сложилась, способна привести только к искусственным границам и самодовлеющему схематизму. «Несовершеннолетие, — говорил Кант, — есть неспособность пользоваться своим рассудком без руководства со стороны кого-то другого». Очевидно, что о так понимаемом несовершеннолетии никак не скажешь, что оно может отделяться от совершеннолетия всего одним днем.
Подведем итог всему сказанному о многозначности и неточности имен обычного языка. Эти особенности обычных имен — предмет интереса не только чистой теории, но и нашей повседневной практики употребления языка. Всякая наша мысль и каждое наше высказывание включают имена. И, как правило, они являются многозначными или неточными, а нередко и теми и другими вместе. Это нужно постоянно иметь в виду, чтобы избегать недоразумений, непонимания, ненужных, чисто «словесных» споров.
7. Живые абстракции
Интересной и, в общем-то, нередкой логической ошибкой является гипостазирование — опредмечивание абстрактных сущностей, приписывание им реального, предметного существования. Гипостазирование имеет место, когда, например, предполагается, что слову «лошадь», помимо отдельных лошадей, соответствует особый предмет, «лошадь как таковая», имеющая только признаки, общие для всех лошадей, но не гнедая, не каурая, не иноходец, не рысак.
Немецкий писатель Й. Гебель написал рассказ-притчу «Каннитферштан», на тему которой русский поэт В. Жуковский создал стихотворную балладу. В рассказе говорится о немецком ремесленнике, приехавшем в Голландию и не знавшем языка этой страны. Кого он ни пытался спросить о чем-либо, все отвечали одно и то же: «Каннитферштан». В конце концов, ремесленник вообразил себе особое всесильное и злое существо с таким именем и решил, что страх перед этим существом мешает всем говорить. По-голландски же «каннитферштан» означает «не понимаю». За внешней незатейливостью этого рассказа есть другой план. Всему, что названо каким-то именем или просто каким-то словом, напоминающим имя, приписывается обычно существование. Даже слово «ничто» представляется в виде какого-то особого предмета. Откуда эта постоянная тенденция к объективизации имен, к отыскиванию среди существующих вещей особого объекта для каждого имени? Так ведь можно дойти до поисков «лошади вообще» или даже захотеть увидеть «несуществующий предмет».
Вот как объяснял механизм гипостазирования немецкий философ Л. Фейербах. Всякое определенное существо или суждение есть определенное отрицание. Если же я абстрагируюсь от этой определенности и мыслю чистое «не», чистое отрицание само по себе как некое существительное, то я и получаю «ничто». Ничто есть логическое или словесное отрицание, бог — логическое или словесное утверждение. И отрицание, и утверждение при этом овеществляются, персонифицируются. Первое превращается в нечто несуществующее как совокупность всего отрицательного, как бездна небытия; второе — в положительное существо, совокупность всего утвердительного; первое оказывается небытием, второе — полноценным бытием. Бог есть высшее существо в утвердительном смысле, ничто — нечто высшее в отрицательном смысле.
