За двадцать лет ректорства Лобачевского положение кардинально переменилось, и Казанский университет превратился в первоклассное учебное заведение, одно из лучших в России. Лобачевский просмотрел конспекты лекций всех профессоров и адъюнктов, выбросил из них ненужные длинноты, добавил необходимые разделы и создал единую программу преподавания. Для обсерватории и всех кабинетов были сделаны фундаментальные приобретения. Чтобы навести порядок в библиотеке, Лобачевский в течение десяти лет добровольно исполнял обязанности библиотекаря, классифицировал и переставил все книги, завел каталоги и превратил прежний склад книг в настоящее научное собрание. С 1825 г. он был также бессменным председателем строительного комитета. Под его непосредственным руководством были построены все основные здания университета – главный корпус, библиотека, обсерватория, анатомический театр, физический кабинет, лаборатории и клиники. Глубоко изучив архитектуру, он внимательно относился к каждой мелочи. И именно ему университет был обязан красотой, прочностью и удобством всех построек. За всеми этими многочисленными делами он не оставил чтения лекций и вел напряженную научную работу. В разные годы он опубликовал несколько блестящих статей по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии. Но главным делом жизни Лобачевского стало создание неевклидовой геометрии.
Люди занимались геометрией с глубокой древности, но в виде стройной логической системы она впервые была изложена только в III в. до Р.Х. замечательным греческим математиком Евклидом. В основе всей геометрии Евклида лежало несколько простых первоначальных утверждений, которые принимались за истинные без доказательств. Эти утверждения, так называемые аксиомы, описывали свойства основных понятий и казались поначалу настолько очевидными, что не вызывали сомнений. Из этих аксиом путем доказательств выводились более сложные утверждения, из тех, при необходимости, выводились еще более сложные и таким образом строилось все здание геометрии. Когда в последующих веках математика обрела вид строгой науки, были сделаны многочисленные попытки доказать евклидовы аксиомы. Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, которая гласит: в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. На всем протяжении истории геометрии – от древности до первой четверти XIX в. – имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.
С таких попыток начал и Лобачевский. Чтобы доказать пятую аксиому, он принял противоположное этой аксиоме допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести бесконечное множество параллельных прямых. Лобачевский пытался привести это допущение к противоречию с другими аксиомами Евклида, однако, по мере того как он развертывал из сделанного им допущения все более и более длинную цепь следствий, ему становилось ясным, что никакого противоречия не только не получается, но и не может получиться. Действительно, пусть дана некая прямая и точка, лежащая вне ее. Предположим, что из точки к этой прямой опущен перпендикуляр. В каком же случае прямая, проведенная через конец данного перпендикуляра, будет параллельна данной прямой? Если следовать евклидовой геометрии, это возможно только в том случае, если: а) она лежит в той же плоскости, б) угол между ней и перпендикуляром равен 90°. Предположим теперь, что этот угол не равен 90°, а отличается от него на какую-то величину? В этом случае с точки зрения евклидовой геометрии данные прямые не будут параллельны и должны пересечься. Причем точка пересечения будет тем ближе от перпендикуляра, чем больше? и чем короче его длина. Если же? бесконечно мало (то есть величина ее стремится к нулю), а длина перпендикуляра, наоборот, бесконечно велика, то точка пересечения переместится в бесконечность. Другими словами, бесконечно сближаясь, рассматриваемые нами прямые все же никогда не пересекутся. Очевидно, что таких прямых (каждой из которых соответствует свое значение) через данную точку можно провести сколь угодно много.
Итак, вместо противоречия Лобачевский получил хоть и своеобразную, но логически совершенно стройную и безупречную систему положений, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Эта система положений и составила так называемую неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Как показали позднейшие исследования, геометрия Лобачевского совершенно истинна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). Гиперболический параболоид играет в геометрии Лобачевского ту же роль, что плоскость в геометрии Евклида. (Например, отрезком здесь называется дуга, длина которой определяет кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности.)
В каком же соотношении находятся между собой две геометрии и какую из них мы можем считать «более правильной»? Сам Лобачевский совершенно верно утверждал, что различия между его геометрией и геометрией Евклида кроются в понимании самой природы пространства. В евклидовой геометрии пространству отводится роль беспредельной и нейтральной протяженности, вместилища, в которое погружены тела. Однако Лобачевский был уверен, что наше представление о «плоском» пространстве – не более чем дань традиции, никогда не проверявшаяся опытным путем. На самом деле физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, евклидовым. Мерой отличия любого пространства от евклидова является его кривизна. В наших земных пределах этой кривизной можно пренебречь и пользоваться положениями и теоремами евклидовой геометрии. Однако при измерении беспредельных космических расстояний пренебрежение кривизной пространства может привести к серьезным ошибкам.
Свои выводы Лобачевский изложил в 1829 г. в работе «О началах геометрии», которая была опубликована в университетском журнале «Казанский вестник». Затем появились другие работы: «Воображаемая геометрия» (1835) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1838). В 1837 г. «Воображаемая геометрия» была опубликована в одном из французских научных журналов. В 1840 г. в Берлине на немецком языке вышли его «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта брошюра вскоре попалась на глаза знаменитому немецкому математику Гауссу и привела его в восторг. Чтобы познакомиться с другими сочинениями Лобачевского, Гаусс даже выучился читать по-русски. Однако остальные математики не обратили на великое открытие Лобачевского никакого внимания. Потребовалось полвека для того, чтобы его идеи вошли в математическую науку, сделались ее неотъемлемой составной частью и явились тем поворотным пунктом, который в значительной мере определил весь стиль математического мышления последующей эпохи.
Между тем жизнь Лобачевского протекала прежним образом. В октябре 1832 г. он женился на молодой девушке Варваре Алексеевне Моисеевой, принадлежавшей к одной из наиболее видных и богатых фамилий Казанской губернии. Семейная жизнь принесла ему много огорчений. Старший сын, очень похожий на отца, совсем молодым умер от чахотки. Другой сын бросил университет не доучившись. Самый младший из его сыновей вообще родился неполноценным. Жизнь дочери Лобачевского сложилась очень неудачно. Его самого к старости стали преследовать финансовые неурядицы. Он разорился, имение его жены было продано за долги. Летом 1846 г. вследствие каких-то темных интриг Лобачевского уволили с должности ректора, а весной 1847 г. – с должности профессора. Он тяжело переживал этот страшный удар. За роковыми годами потрясений наступили годы увядания. Пришла старость – преждевременная, гнетущая, с усиливавшимися признаками парадоксально раннего одряхления. Здоровье Лобачевского быстро разрушалось, он стал терять зрение и к концу жизни совершенно ослеп. Разбитый жизнью и больной, он умер в феврале 1856 г., совсем чуть-чуть не дожив до признания своей теории. Когда в 1855 г. умер Гаусс, были опубликованы его дневники и письма. Множество восторженных отзывов о Лобачевском, рассыпанных в них здесь и там, взбудоражили математиков. О Лобачевском заговорили, стали искать его работы, – из всех европейских университетов в Казань полетели просьбы прислать его сочинения. Потребовалось срочное переиздание всех его геометрических трудов. Позже из журналов были извлечены статьи Лобачевского, касающиеся разных областей математики. Оказалось, что, несмотря на свою огромную загруженность, он написал немало – набралось пять объемистых томов. Сейчас приоритет Лобачевского в создании неевклидовой геометрии признается во всем мире. Английский математик Клиффорд назвал его «Коперником геометрии». Так же, как Коперник разрушил казавшуюся незыблемой догму о неподвижной Земле, Лобачевский первым подверг сомнению наши обыденные представления о свойствах окружающего нас пространства.
