Математики много раз пытались преобразовать её. Начинали с наиболее слабого звена – теоремы о параллельных линиях (пятого постулата), справедливо сомневаясь в её убедительности. Звучит она так:
«И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Другая формулировка более привычна для нас:
«В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной».
Для человека, не искушённого в математических тонкостях, этот постулат выглядит как очевидное утверждение – аксиома, не требующая доказательств. Однако специалисты считали её теоремой, которую требуется доказать со всей строгостью математической логики или опровергнуть. Но для успеха такого предприятия требовалось предложить что-то не менее убедительное и совершенное.
Попыток доказать эту теорему было много, но успехов они не имели. Как писал немецкий историк естествознания Фридрих Даннеман: «Если усомниться в аксиоме параллельности, то теряет силу теорема, согласно которой сумма углов треугольника равна двум прямым, и таким образом оказывается, что в важнейших принципах геометрии заложена некоторая недостоверность… Гаусс, сознававший бесполезность попыток доказать аксиому параллельности, высказал ту мысль, что для чистой математики могло бы иметь большое значение создание геометрии, отказывающейся от этой аксиомы. То, на что Гаусс лишь намекал, осуществил Лобачевский».
Намекал на возможность создания новой геометрии не только Гаусс. Ректор Харьковского университета Т.Ф. Осиповский в начале XIX века высказал мысль о геометрии без постулата Евклида о параллельных. Профессор права Харьковского университета Фердинанд Карл Швейкарт в 1818 году послал «королю математиков» Карлу Фридриху Гауссу письмо. Там говорилось:
«Существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова – евклидова – и астральное /звёздное/ учение о величинах. Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх углов не равна двум прямым. Принимая это, можно строжайшим образом доказать следующее:
а) что сумма трёх углов треугольника меньше двух прямых;
б) что сумма эта тем меньше, чем больше площадь треугольника;
в) что высота прямоугольного равнобедренного треугольника, постоянно возрастая с возрастанием боковых сторон, не может превзойти некоторую линию, которую я называю константой».
Насколько я понимаю, такая геометрия названа «звёздной», ибо исходит из шарообразности пространства Вселенной. Евклид исходил из предположения, что оно имеет привычные для нас три измерения, где плоскости и линии не искривлены.
К тому времени Гаусс, по его позднейшему признанию, уже осмыслил эту идею, хотя выступать с ней публично не решился. Судя по всему, у него были некоторые догадки, которые он так и не превратил в завершённую работу с неопровержимыми доказательствами.
Философская идея в этом случае (как часто бывает) опередила научную мысль. Иммануил Кант на полвека раньше высказался о возможности «многоразличных видов пространства». По его словам, «наука о них была бы, несомненно, высшей геометрией».
Открытие неевклидовой геометрии доставило Лобачевскому не почёт и признание, а поначалу немало неприятностей. Впервые о возможности неевклидовой геометрии написал он в 1823 году, когда был деканом физико-математического факультета. Статья получила отрицательный отзыв и не была напечатана. Через три года та же участь постигла другую его работу на эту тему.
С 1819 года куратором Казанского университета был М.Л. Магницкий, занявшийся искоренением вольнодумства. Для студентов ввели монастырскую дисциплину; в научных курсах отдали приоритет богословию. Лобачевского лишили кафедры чистой математики; он стал преподавать физику и астрономию.
Доходило до абсурда. Профессор прикладной математики Никольский вещал: «Гипотенуза в прямоугольном треугольнике есть символ сретения правды и мира, правосудия и любви через ходатая Бога и человека, соединение горнего с дольним, земного с божественным… Как без единицы не может быть числа, так Мир не может быть без единого творца». За такие успехи в просвещении Никольского поставили ректором Казанского университета.
Вступивший на престол Николай I обратил внимание на деятельность Магницкого. Ревизия установила падение образования в университете и крупную растрату казённых денег. В 1826 году Магницкого отстранили от должности, а ректором университета назначили Лобачевского. Этот год стал знаменательным для него ещё и потому, что он сделал научный доклад «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Коллеги суть исследования не поняли, поэтому доклад не был напечатан.
В 1832 году Лобачевский послал в Петербургскую АН свой мемуар «О началах геометрии». Отзыв академика Остроградского был отрицательным. В нём говорилось: «Автор, по-видимому, задался целью писать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели; большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видал её. В ней я понял только следующее: Можно допустить, что сумма углов в треугольнике меньше, чем два прямых угла. Геометрия, вытекающая из этой гипотезы, труднее и пространнее той, которая известна нам…
Значение интеграла, данное на стр. 120, является поистине новым. Оно – достояние г-на казанского ректора. К несчастью, оно неверно.
…Всё, что я понял в геометрии г-на Лобачевского, ниже посредственного… Всё, что я не понял, было, по-видимому, плохо изложено по той же самой причине, что в нём трудно разобраться. Из этого я вывел заключение, что книга г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой, что она небрежно изложена и что, следовательно, она не заслуживает внимания академии». (Советский математик В.Ф. Каган в книге «Лобачевский» показал, что заявление М.В. Остроградского об ошибке в интеграле в книге Н.И. Лобачевского неправильно.)
Через год в журнале «Сын Отечества» появился анонимный фельетон с издёвками над учёным, пытающимся создать новую геометрию: «Есть люди, которые, прочитав иногда одну книгу, говорят: она слишком проста, слишком обыкновенна, в ней не о чём и подумать. Таким любителям думанья советую прочесть геометрию Лобачевского. Вот уж подлинно есть о чём подумать. Многие из первоклассных наших читали её, думали и ничего не поняли…
Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой лёгкой и самой ясной в математике, какова геометрия, мог сделать такое тяжёлое, такое тёмное и непроницаемое учение …Чего не может представить воображение, особливо живое и вместе уродливое! Почему не вообразить, например, чёрное – белым, круглое – четырёхугольным, сумма всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых?..
…Почему бы вместо заглавия “О началах геометрии” не написать, например, сатира на геометрию, карикатура на геометрию или что-нибудь подобное?..»
Николая Ивановича огорчил отзыв Остроградского и возмутил журнальный пасквиль. Некоторой компенсацией стала для него высокая оценка его работе на благо просвещения. Посетивший в 1836 году Казань император Николай I наградил Н.И. Лобачевского «за заслуги на службе и в науке» орденом Анны II степени, дававшим право на потомственное дворянство.
