Что Ахиллес может сделать, а чего нет, невозможно вывести из математики. Это зависит только от того, что говорят соответствующие законы физики. Если согласно этим законам он обгонит черепаху за заданное время, значит, так оно и будет. Если для этого придётся сделать бесконечное число шагов вида «перейди в определённое положение», то столько их и будет сделано. Если Ахиллесу для этого придётся пройти через несчётное бесконечное число точек, то он пройдёт через них. Но с физической точки зрения не произойдёт ничего бесконечного.
Таким образом, законы физики определяют различие не только между редким и часто встречающимся, вероятным и невероятным, тонко настроенным и нет, но даже между конечным и бесконечным. Подобно тому, как в одном и том же множестве вселенных может быть много астрофизиков, если вести измерения согласно одному набору законов физики, и их там может практически не быть при измерениях по другим законам, одна и та же последовательность событий может быть конечной или бесконечной в зависимости от законов физики.
Ошибку Зенона повторяли и в случае с другими математическими абстракциями. В общих чертах, она заключается в том, что абстрактный признак путают с одноимённым физическим. Поскольку можно доказать теоремы о математическом признаке, которые имеют статус абсолютно необходимых истин, можно ошибочно предположить наличие априорного знания о том, что законы физики должны говорить о соответствующем физическом признаке.
Другой пример — из геометрии. На протяжении веков не проводилось чёткой границы между её статусом как математической системы и физической теории, и вначале это не сильно мешало, потому что остальные науки значительно уступали геометрии в сложности, а теория Евклида была отличным приближением для всех возможных целей того времени. Но затем философ Иммануил Кант (1724–1804), который прекрасно знал о разнице между абсолютно необходимыми истинами математики и случайными истинами науки, тем не менее заключил, что законы геометрии Евклида самоочевидно истинны в природе. А значит, он считал, что нет разумных поводов для сомнений в том, что сумма углов реального треугольника составляет 180 градусов. И таким способом он довёл это ранее безобидное заблуждение до центрального недостатка своей философии, а именно учения о том, что определённые истины о физическом мире могут быть «известны априори», другими словами, без вмешательства науки. И, конечно же, в довершение всего под «известны» он, к сожалению, имел в виду «обоснованы».
Но ещё до того, как Кант заявил о невозможности поставить под сомнение евклидовость геометрии реального пространства, математики уже начали подозревать, что это не так. Вскоре после этого математик и физик Карл Фридрих Гаусс даже занялся измерением углов большого треугольника, но не нашёл никаких отклонений от предсказаний Евклида. В итоге эйнштейнова теория искривлённого пространства и времени, которая противоречила евклидовой, была проверена путём экспериментов более точных, чем гауссовы. Оказалось, что в пространстве рядом с Землёй углы большого треугольника в сумме могут давать 180,0000002 градуса — это отклонение от евклидовой геометрии сегодня приходится учитывать, например, в спутниковых навигационных системах. В других случаях, например вблизи чёрных дыр, различия между евклидовой и эйнштейновой геометриями настолько велики, что их уже нельзя охарактеризовать термином «отклонение».
Ещё один пример той же ошибки относится к области информатики. Изначально Тьюринг закладывал основы вычислительной теории не для того, чтобы построить компьютер, а чтобы изучать природу математического доказательства. В 1900 году Гильберт поставил математикам задачу — сформулировать строгую теорию о том, чем является доказательство, и одним из условий было то, что доказательства должны быть конечными: в них должен использоваться только фиксированный и конечный набор правил вывода; они должны начинаться с конечного числа конечно выраженных аксиом и содержать лишь конечное число элементарных шагов, причём сами шаги должны быть конечными. Вычисления, как они понимаются в рамках теории Тьюринга, по сути то же самое, что доказательства: каждое корректное доказательство можно преобразовать в вычисление, которое получает вывод, начиная с исходных допущений, а каждое правильно выполненное вычисление доказывает, что выходные данные — это результат выполнения заданных операций над входными данными.
Теперь вычисление может восприниматься и как вычисление функции, которая берёт произвольное натуральное число и выдаёт результат, который определённым образом зависит от исходного числа. Так, например, удвоение числа — это функция. Чтобы попросить постояльцев перейти в другой номер, администрация отеля «Бесконечность», вообще говоря, задаёт функцию и просит постояльцев выполнить её с разными исходными данными (число на двери номера). Один из выводов, к которому пришёл Тьюринг, заключался в том, что практически все математические функции, которые логически могут существовать, нельзя вычислить никакой программой. Они «невычислимы» по той же причине, по которой большую часть логически возможных перераспределений номеров в отеле «Бесконечность» невозможно воплотить в жизнь какими бы то ни было инструкциями со стороны администраторов: множество всех функций — несчётно бесконечно, а множество программ — лишь счётно бесконечно. (Поэтому имеет смысл говорить, что «почти все» элементы бесконечного множества всех функций имеют определённое свойство.) Это также означает, как выяснил математик Курт Гёдель, по-другому подойдя к задаче Гильберта, что практически все математические истины не имеют доказательства. Это недоказуемые истины.
Также из этого следует, что практически все математические высказывания неразрешимы: ни для их истинности, ни для их ложности доказательства нет. Каждое из них либо верно, либо ложно, но с помощью физических объектов, таких как мозг или компьютер, никак невозможно выяснить, что есть что. Законы физики открывают нам только узкую щель, через которую мы можем заглянуть в мир абстракций.
Все неразрешимые высказывания прямо или косвенно относятся к бесконечным множествам. Противники бесконечности в математике объясняют это тем, что такие высказывания бессмысленны. Но для меня это мощный аргумент в пользу объективного существования абстракций, наряду с аргументом Хофштадтера о числе 641. Ведь это говорит о том, что истинностное значение неразрешимого высказывания, безусловно, не является просто удобным способом описания поведения некоторого физического объекта, например, компьютера или набора домино.
Интересно, что лишь об очень немногих вопросах известно, что они неразрешимы, хотя на самом деле таковыми является большинство, и к этому я ещё вернусь. Но существует много недоказанных математических предположений, и некоторые из них вполне могут оказаться неразрешимыми. Возьмём, например, вопрос о простых числах-близнецах. Простые числа-близнецы — это пара простых чисел, отличающихся на 2, например, 5 и 7. Гипотеза состоит в том, что наибольшей такой пары не существует: их бесконечно много. Предположим в целях текущих рассуждений, что в рамках нашей физики эта гипотеза неразрешима, но разрешима согласно многим другим законам физики. Примером могут служить законы отеля «Бесконечность». То, как конкретно администраторы отеля будут решать вопрос о простых числах-близнецах, для моего повествования неважно, но я опишу этот процесс ради читателей с математическим мышлением. Объявление будет следующим:
