Можно доказать математическую теорему, но она так и не вызовет ни у кого интереса. А недоказанная математическая гипотеза может оказаться весьма плодоносной, порождая множество объяснений, даже если она столетиями будет оставаться недоказанной или даже если её вообще нельзя доказать. Примером такой гипотезы может служить проблема, известная в информатике как «P ≠ NP». Грубо говоря, она заключается в том, что существуют классы математических вопросов, ответы на которые, будь они откуда-то получены, можно эффективно проверить с помощью универсального (классического) компьютера, но нельзя эффективным образом вычислить. (У «эффективных» вычислений есть техническое определение, которое примерно соответствует тому, что мы имеем в виду под этой фразой на практике.) Практически все исследователи, работающие в области вычислительной теории, убеждены в том, что это предположение верно (что ещё раз опровергает идею о том, что математические знания состоят только из доказательств). Хотя его доказательство и неизвестно, существуют достаточно разумные объяснения того, почему следует ожидать, что это утверждение истинно, а объяснений в пользу противоположного исхода нет. (И поэтому считается, что то же самое верно и для квантовых компьютеров.)
Более того, на этой гипотезе строится огромное количество математических знаний одновременно и полезных, и интересных. Сюда входят теоремы вида «если гипотеза верна, то из неё следует вот такой интересный факт». Теорем о том, что было бы, будь гипотеза неверна, меньше, но они тоже представляют интерес.
Математик, изучающий неразрешимую задачу, может доказать, что она неразрешима (и объяснить почему). С точки зрения математика, это будет успех. Хотя решения математической задачи и не будет найдено, решена будет проблема, стоявшая перед математиком. Даже работать над математической задачей без достижения успеха такого рода — уже не то же самое, что потерпеть неудачу в создании знания. Каждая попытка решить математическую задачу и неудача в этом всегда приводит к теореме (и обычно также к объяснению) о том, почему этот подход к решению не срабатывает.
А значит, неразрешимость противоречит максиме о том, что проблемы можно решить, не больше, чем тот факт, что существуют истины о физическом мире, о которых мы никогда не узнаем. Я думаю, что однажды в нашем распоряжении будут технологии, которые позволят подсчитать точное число песчинок на Земле, но я сомневаюсь, что мы когда-нибудь узнаем, сколько точно их было во времена Архимеда. В самом деле, я уже говорил о более сильных ограничениях на то, что мы можем узнать и чего можем достичь. Есть прямые ограничения, наложенные универсальными законами физики: нельзя превысить скорость света и так далее. Есть ограничения эпистемологии: мы можем создавать знания только путём подверженного ошибкам метода выдвижения гипотез и их критики; ошибки неизбежны, и только процессы, допускающие исправление ошибок, приведут к успеху или смогут длиться долго. Ничто из этого не противоречит упомянутой максиме, потому что ни одно из этих ограничений вовсе не обязано приводить к неразрешимому конфликту объяснений.
Таким образом, я предполагаю, что в математике, так же как в науке и в философии, если вопрос представляет интерес, то проблему можно решить. Согласно фаллибилизму мы можем заблуждаться относительно того, что интересно. Поэтому из данной гипотезы вытекают три следствия. Первое заключается в том, что принципиально неразрешимые задачи также принципиально неинтересны. Второе — в том, что в конечном счёте различие между интересным и скучным — это не вопрос субъективного вкуса, а объективный факт. А третье следствие говорит, что интересная проблема, состоящая в том, почему любая интересная проблема разрешима, и сама разрешима. На настоящий момент мы не знаем, почему кажется, что законы физики тонко настроены; мы не знаем, почему существуют различные формы универсальности (хотя нам известно о многих связях между ними); мы не знаем, почему устройство мира поддаётся объяснению. Но в конце концов мы всё это узнаем. И когда это случится, то останется ещё бесконечно много явлений, требующих объяснения.
Самое важное из всех ограничений на создание знаний — это то, что мы не пророки: мы не можем предсказывать содержание и последствия идей, которые ещё только предстоит создать. Это ограничение не только согласуется с безграничным ростом знаний, но и следует из него, как я объясню в следующей главе.
То, что проблемы разрешимы, не означает, что мы уже знаем их решения или можем сформировать, когда они потребуются. Это было бы сродни креационизму. Биолог Питер Медавар
[51] описывал науку как «искусство разрешимого», но то же самое применимо и ко всем формам знания. Творческое мышление любого типа включают в себя оценку того, какие подходы могут сработать, а какие нет. Заинтересоваться определённой задачей или подзадачей или потерять к ней интерес — часть творческого процесса, которая сама по себе составляет процесс решения проблем. Таким образом, «разрешимость проблем» не зависит от того, можно ли ответить на любой заданный вопрос вообще или может ли на него ответить конкретный мыслитель в конкретный день. Но если бы когда-нибудь прогресс зависел от необходимости нарушить закон физики, максима «проблемы можно решить» оказалась бы ложной.
Терминология
Взаимно однозначное соответствие — правило, по которому каждый элемент одного множества сопоставляется с определённым элементом другого множества.
Бесконечное (с математической точки зрения) — множество бесконечно, если существует взаимно однозначное соответствие между ним и его частью.
Бесконечное (с физической точки зрения) — достаточно расплывчатое понятие, означающее что-то вроде «больше, чем что-либо, что можно испытать на опыте в принципе».
Счётное бесконечное — бесконечное, но достаточно небольшое, может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами.
Мера — метод, посредством которого в теории обретают смысл пропорции и средние по бесконечным множествам чего-либо, например вселенных.
Сингулярность — ситуация, в которой нечто физическое становится неограниченно большим, хотя и остаётся везде конечным.
Мультивселенная — единая физическая сущность, содержащая более одной вселенной.
Бесконечный регресс — заблуждение, в котором аргумент или объяснение зависит от вспомогательного аргумента той же формы, который претендует на решение той же проблемы, что и исходный аргумент.
Вычисление — физический процесс, в котором воплощаются свойства какой-либо абстрактной сущности.
Доказательство — вычисление, которое при наличии теории о том, как работает компьютер, на котором оно выполняется, устанавливает истинность некоего абстрактного утверждения.
