Приложение к главе 2
Данные для графического отображения дефектов принтера
Формула для дисперсии и среднеквадратического отклонения
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение – самые распространенные статистические механизмы для измерения и описания разброса того или иного распределения. Дисперсия, которая часто обозначается символом σ2, вычисляется путем определения, насколько далеко от среднего значения расположены наблюдения в рамках того или иного распределения. Однако фишка в данном случае состоит в том, что расстояние (разница) между каждым наблюдением и средним значением возводится в квадрат; сумма таких составляющих, возведенных в квадрат, затем делится на количество наблюдений.
А именно:
Для любой совокупности из n наблюдений x1, x2, x3 … xn со средним значением μ
Дисперсия = σ² = [(x1 –μ)² + (x2 – μ)² + (x3 – μ)² + … (xn – μ)²] / n
Поскольку разница между каждым членом и средним значением возводится в квадрат, формула для вычисления дисперсии присваивает определенный вес наблюдениям, которые расположены вдали от среднего значения (то есть «отщепенцам»), как показано в приведенной ниже таблице роста учащихся.
* Абсолютное значение – это расстояние между двумя числами, независимо от знака разности между ними, то есть это значение всегда положительное. В данном случае оно представляет собой разницу в дюймах между ростом конкретного человека и средним значением.
Средний рост обеих групп учащихся составляет 70 дюймов. Суммы абсолютных отклонений от среднего значения в обеих группах также одинаковы – 14 дюймов. По этому показателю разброса указанные два распределения идентичны. Однако дисперсия для группы 2 оказалась выше из-за веса, присвоенного в формуле дисперсии значениям, которые расположены особенно далеко от среднего значения (в нашем случае эти значения относятся к Сахар и Нарцисо).
Дисперсия сама по себе редко используется в качестве описательной статистики. В наибольшей степени она полезна как один из шагов в направлении вычисления среднеквадратического (стандартного) отклонения интересующего нас распределения, которое, как описательная статистика, является более интуитивно понятным инструментом.
Среднеквадратическое отклонение для совокупности наблюдений представляет собой корень квадратный из дисперсии:
Для любой совокупности из n наблюдений x1, x2, x3 … xn со средним значением µ среднеквадратическое отклонение = σ = корню квадратному из этой величины = √([(x1 –μ)² + (x2 – μ)² + (x3 – μ)² + … (xn – μ)²] / n)
3. Дезориентирующее описание
«Он – выдающаяся личность!» и другие истинные, но вводящие в заблуждение утверждения
Каждого, кому когда-либо приходилось выбирать себе спутника жизни, фраза «Он – выдающаяся личность!» обычно заставляет насторожиться – и вовсе не потому, что такое описание не соответствует действительности, а потому, что за подобным заявлением человек может что-то скрывать, например факт отсидки в тюрьме или «не до конца» оформленный развод с бывшей женой. Мы не сомневаемся, что этот парень и впрямь выдающаяся личность, но беспокоимся о том, чтобы справедливое в принципе утверждение не использовалось в качестве ширмы с целью замаскировать информацию, выставляющую лицо, о котором идет речь, в неприглядном свете, и тем самым не вводило нас в заблуждение (предполагается, что большинство женщин предпочло бы не встречаться с бывшими уголовниками и брачными аферистами). Утверждение «Он – выдающаяся личность!» само по себе не является ложью (то есть это не повод обвинить в лжесвидетельстве), тем не менее оно может быть настолько неточным, что в конечном счете не будет соответствовать действительности.
То же самое касается и статистики. Несмотря на то что статистика как область знаний коренится в математике, а математика, как известно, относится к числу точных наук, использование статистики для описания сложных явлений не может быть точным. Это оставляет немалый простор для манипуляций и искажения реального положения вещей. Марк Твен сказал однажды фразу, ставшую впоследствии знаменитой: «Есть три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика»
[14]. Как объясняется в предыдущей главе, большинство явлений можно описать множеством разных способов. Если существуют разные способы описания одного и того же явления (например, «он – выдающаяся личность» или «он был осужден за мошенничество с ценными бумагами»), то описательные статистики, которые мы используем (или не используем) при этом, будут оказывать огромное влияние на итоговое впечатление. Кто-то из гнусных побуждений может обыграть даже самые невинные факты и численные показатели ради весьма сомнительных выводов, не имеющих ничего общего с реальной ситуацией.
Для начала давайте определим разницу между такими понятиями, как «точность» и «достоверность». Они не взаимозаменяемы. Словом «точность» мы обозначаем математическую точность того или иного явления. В описании протяженности вашего маршрута от дома до работы значение 41,6 мили будет более точным, чем «примерно 40 миль», которое, в свою очередь, намного точнее словосочетания «этот чертовски долгий путь на работу». Если вы спросите меня, как далеко до ближайшей автозаправки, я отвечу, что до нее 1,265 мили на восток. Это будет точный ответ. Но есть один нюанс: он может оказаться совершенно неточным, если вы ошибетесь в определении направления движения и поедете не строго на восток, а слегка отклонитесь. С другой стороны, если я скажу вам: «Едьте примерно десять минут, пока не увидите закусочную, а еще через пару сотен ярдов справа будет АЗС. Но если на вашем пути встретится ресторанчик Hooters, значит, вы уже проскочили автозаправку», то мой ответ окажется менее точным, чем «1,265 мили на восток», но более содержательным и полезным, поскольку я указал вам путь именно в направлении АЗС. Достоверность – это показатель того, соответствует ли истине рассматриваемое численное значение. Отсюда опасность путаницы между точностью и достоверностью. Если какой-либо ответ достоверный (правильный), то чем больше точность, тем, как правило, лучше. Однако даже самая высокая точность не в состоянии компенсировать недостоверности ответа.
