Оценивать дисперсию всей совокупности по выборке не совсем правильно. Возвращаясь к нашему примеру с деревом, разброс между количеством листьев у выбранных нами веток будет, естественно, меньше, чем у всех веток дерева. Поэтому, чтобы узнать дисперсию всей совокупности, её делят не на n результатов, а на n-1, это называется коррекция смещения, придумал её в 19-м веке Фридрих Бессель, ученик Гаусса.
На этом о дисперсии и оценках выборки всё. Там есть, конечно, ещё куча мелочей, но мы будем говорить о теорвере лишь в контексте инвестиций. Это именно та область, где нам нужен высокий доход, а вот дисперсия совершенно не нужна.
ВЫСОКОЕ МАТОЖИДАНИЕ ДОХОДА — ДОБРО, А ВЫСОКАЯ ДИСПЕРСИЯ — ЗЛО, ПОТОМУ ЧТО ЭТО РИСК, ЭТО НЕИЗВЕСТНОСТЬ.
Все финансовые теории в конечном счёте стремятся получить высокий доход с минимальным риском.
Жалко, что у них ничего не получается.
9.8
Корреляция, ковариация и регрессия
Ещё одна важная концепция — это ковариация. Это показатель того, насколько две переменные движутся вместе. Насколько похоже их поведение? Если эксперимент выдаёт нам икс и игрек и мы подмечаем, что когда икс высокий, то игрек тоже имеет свойство быть высоким, или наоборот, оба низкие, тогда ковариация будет положительной. Отрицательная ковариация — это когда при высоком икс игрек низкий, и наоборот — то есть они ходят в противоположном направлении.
Пройдём к корреляции. Это ковариация с поправкой на дисперсию наших изменяющихся величин, всегда число от минус одного до плюс одного. Сейчас много кто употребляет этот термин, ну, например, кто-то считает, какая корреляция между результатами ЕГЭ и институтскими оценками чеченских отличников, знаменитых знатоков русского языка. У них, возможно, корреляция меньше нуля, а у всех остальных отличников — больше 0.5.
Корреляция не означает причинности, а лишь отмечает созависимость. Причина ли в том, что одна влияет на другую, или что-то третье на них влияет, — этого мы из одной цифры определить не можем. Если график доллара весной похож на график температуры, не стоит думать, что осенью он повалится обратно.
Теперь регрессия. Это тоже базовая концепция из статистики, но в финансах у неё особенное предназначение. Разрабатывал её тот же Карл Гаусс, рисуя линии через кучу точек на графике. Если отложить по оси x доходность по годам какой-нибудь компании, например, «Майкрософта», а по оси y — доходность рынка, то мы получим много точек, по одной на каждый год.
И вот Гаусс говорит, давайте-ка проведём линию через эти точки. Линию, Карл! Назвал он её линией регрессии. А провёл он её таким образом, чтобы минимизировать сумму расстояний от точек до этой линии. То есть квадратов расстояний, если быть точным. Чтобы прямая наиболее точно отражала все точки, надо её провести таким хитроумным образом, чтобы расстояния до неё были минимальны. Эта прямая и называется линией регрессии, в финансах её пересечение с осью игрек называется альфой, а наклон — бетой. Таким образом, бета акций, например, «Майкрософта» — это наклон этой линии, а альфа — пересечение. Альфа — насколько бумага обгоняет рынок, а бета — насколько она двигается вместе с рынком. Пока непонятно, но не переживайте; я об этом ещё расскажу поподробней.
9.9
Распределение хвостов
Теперь пару слов о распределении. Мы часто принимаем за данность, что множество величин в нашем мире распределены по нормальному закону. Такая известная всем функция в виде колокола, вроде бы она везде подходит, и годовые доходности, например, вполне могут быть распределены нормально. Но я хочу сделать акцент на том, что есть и другие распределения, тоже в форме колокола, но с другой математикой.
И для финансов это варианты с так называемыми толстыми хвостами. Хвостами, Карл! В нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего значения на пять и более стандартных отклонений, встречаются крайне редко, а с 10 или более сигмами — практически невозможны. Пример распределения «с толстыми хвостами», которое имеет «бесконечную сигму», — распределение Коши
[30]. Главная его особенность для нас — это сложность прогнозирования событий. Причём дело не только в самой сложности, но и в нашем весьма отдалённом понимании уровня этой сложности.
ЧЕЛОВЕКУ НЕ СВОЙСТВЕННО МЫСЛИТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ КАТЕГОРИЯМИ, И ОН НЕ МОЖЕТ ОЦЕНИТЬ ДАЖЕ СЛОЖНОСТЬ СТОЯЩЕЙ ПЕРЕД НИМ ЗАДАЧИ.
Негативные события реального мира — теракты, банкротства, мятежи и восстания — математически непредсказуемы, они и составляют эти страшные толстые хвосты. Это означает, что можно провести 20 лет на Уолл-стрит и увидеть только те случаи, что под вершиной колокола. Вам кажется, что вы понимаете, как работает система, но потом внезапно происходит что-то поразительное, чего вы никогда не видели. Это может быть чрезвычайно выгодная сделка или, наоборот, полная потеря капитала. У человека никогда не может быть достаточно опыта, чтобы ожидать некоторые вещи. Это сильно усложняет финансовые прогнозы.
9.10
Чёрные лебеди
Нассим Талеб написал об этом целую книгу, которая называется «Чёрный лебедь». Она о том, как много финансовых планов летят в тартарары из-за редких событий, которые появляются откуда ни возьмись. Он назвал их чёрными лебедями, потому что если смотреть на лебедей, то они всегда белые. Никогда чёрного не видно. Поэтому всю жизнь думаешь, что чёрных лебедей не существует.
Древнеримский поэт Ювенал писал, что «редкая птица на земле подобна черному лебедю» — это он так прикалывался, ведь до 1697 года считалось, что лебеди бывают только белыми. Но бравые голландцы нашли-таки чёрных лебедей в Австралии. Правда, неизвестно точно, только ли голландцы могут их увидеть. Статистики шутят, что чёрными они могли быть только с одной стороны — которая была видна наблюдателям.
Нассим Талеб пишет, что люди в принципе неспособны прогнозировать будущее, а уверенность людей в своих знаниях чрезмерна и порождает феномен «сверхуверенности», о которой мы поговорим в конце книги. Первая мировая, развал СССР и атака 11 сентября — примеры таких чёрных лебедей. Конечно, лебедями могут быть не только адские и ужасные события, но и внезапные непредсказуемые удачи.
Основная идея Талеба в том, что не надо строить грандиозные планы, основываясь на том, что чёрных лебедей не существует. Естественно, можно искренне считать, что их нет, но уже очевидно, что люди своими идиотскими действиями могут ловко и непринуждённо их скреативить. Кратко об этом я расскажу чуть позже, а как этих событий избежать — в третьей части книги.
Глава 10
Займёшь пятихатку до получки?
Пришло время рассказать о долговой теории и о кредитных ставках. Подробности о том, как центробанки печатают деньги, я приберёг для третьей части книги. А пока начнём с технических вещей, а конкретно, с модели Ирвинга Фишера. Потом расскажу о приведённой стоимости, сложных процентах и будущих ставках; это всё техника. А под конец поговорим о том, что в реальности происходит на долговых рынках.
