Вопрос в том, сколько стоит аннуитет сейчас. Если вам каким-то чудом предложат получать по 1000 рублей в месяц на протяжении 10 лет, сколько вы заплатите такому Деду Морозу? Надеюсь, уже очевидно, что это меньше, чем 1000*12 месяцев*10 лет = 120 тысяч рублей. Ведь 120 вы отдаёте сейчас, а получаете их по тыще годами. Но сколько-то эта тема стоит? За 10 тыщ вы бы купили такой контракт? Я бы да. А за 50? Вот на этот вопрос я вас научу отвечать.
Стоит оно по-разному в зависимости от инфляции. Пусть инфляция у нас равна 1 % в месяц, а 10 лет — это 120 месяцев. Сумма аннуитетных платежей стоит вот сколько: платёж*(1–1/(1+ставка)кол-во платежей)/ставка.
Выходит, нашему деду вполне можно отвалить 1000*(1–1/(1+0.01)120)/0.01 = 69 700 рублей. То есть если инфляция все десять лет будет 12.7 % годовых или ниже (1 % в месяц в 12-й степени), то 69 700 рублей — вполне нормальная, годная цена за этот контракт. А если цена выше, ну тогда слишком дорого, платежи по 1000 в месяц быстрее обесценятся. Лучше скорее эти 69 700 пропить, чем отдавать мерзкому Деду.
11.5
Корки и кости под ноги бросьте
Вернёмся к теории вероятности. Расскажу ещё об одной задаче, совсем недавно её встретил, и она меня заинтересовала своей провокацией на ошибку. Представьте, что вам предлагают пари: бросить два кубика, и если на них выпали только 1, 2, 3 или 4, тогда вы выиграли. Но если там есть 5 или 6, тогда вы проиграли. Вам предлагают поставить на такой эксперимент 10 долларов. Соглашаться или нет?
Очень многим кажется: ну как же так, понятно, что 5 и 6 выпадает в два раза реже, чем 1, 2, 3 и 4. Пять и шесть всего в 1/3 случаев, а 1, 2, 3, 4 — в 2/3 случаев. Конечно, надо соглашаться. В чём здесь подвох?
Дело в том, что достаточно лишь одной пятёрки или шестёрки из двух кубов, чтобы проиграть пари. Всего у броска двух костей 6х6=36 исходов, но для выигрыша нам подходит только 16 из них: когда на первом кубике выпадает 1, 2, 3, 4 и на втором — тоже одна из этих цифр. Если все возможные исходы представить в виде таблицы 6 на 6, получится, что пятёрка и шестёрка со второго кубика портит целый ряд 1-2-3-4 первого кубика, и наоборот.
Выходит, что шансы того, что с двух кубов выпадет ровно одна пятёрка либо шестёрка, такие же, как и что не выпадет, — 16 вариантов. Но есть же ещё 4 варианта, когда на обоих кубиках выпадают только пятёрки и шестёрки. В итоге получается, что выигрываем мы в 16 случаях из 36, а проигрываем — в 20. Вероятность выиграть такое пари — 4/9, или около 44 %, а проиграть — 5/9 — около 56 процентов.
Посчитаем матожидание при ставке 10 долларов: +$10*4/9-$10*5/9=-$1.11, минус доллар с гривенником и центом сверху. Так что теперь вас таким пари не обмануть. Тут вам повезло.
11.6
Парадокс дня рождения
В этой задачке я не буду никого заставлять считать, просто хочу рассказать о распространённом заблуждении. Парадокс дня рождения заключается в том, что в группе из 23 человек вероятность того, что у двоих людей совпадут дни рождения, составляет больше 50 процентов. То есть, если вокруг 22 человека (или больше), можно смело делать ставку на то, что у кого-то из вас дни рождения совпадут.
ПОЧЕМУ НАМ ТРУДНО В ЭТО ПОВЕРИТЬ? ОТВЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ: СТЕПЕНИ ТРУДНО ОСОЗНАТЬ.
Как визирь в древней задаче про шахматы и зёрнышки, мы и сейчас плоховато понимаем степенную функцию. Даже если мы подучились математике и статистике, это всё равно как-то непривычно. Вот пример неправильной логики: какова вероятность выпадения 10 решек подряд? Нетренированный мозг может составить примерно такую цепочку мыслей: одна решка — это 50 %. Две решки выбросить в два раза труднее, это 25 %. Ну а десять решек — в 10 раз труднее, ну то есть 5 %. Ну вот мы и обосрамились. Реальный шанс — это 1/2 в 10-й степени, то есть одна тысячадвадцатьчетвёртая, то есть чуть меньше десятой доли процента. Ошиблись немножко в 50 раз.
Но даже после обучения мы обманываемся. Пять процентов годовых удвоят капитал не за 20 лет, а за 14. А 20 % годовых — быстрее, чем за 4 года. Так как у нас курс о финансах, я вам раскрою секретный способ быстро узнать, при какой доходности ваш капитал удвоится. Надо 72 поделить на ожидаемую доходность. Если доходность 6 процентов, надо 72 поделить на 6, и мы получим 12, то есть при дохе в 6 % капитал удвоится за 12 лет. Для более точного результата надо брать 69, но 72 удобнее делить на разные числа. Да и, кстати, с 14 % инфляцией за 5 лет мы теряем половину капитала. Ну или зарплаты, если её пять лет не повышают.
Так и вероятность совпадения дней рождения двух человек в любой день года (1/365 = 0,27 %), умноженная на число человек в группе из 23, даёт лишь 23/365 = 6,3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (а их целых 253) значительно превышает число человек в группе.
Дело в том, что люди эгоистичны. Мы часто не думаем об окружающих. И правда, чего о них думать? В комнате, где находятся 23 человека, вы наверняка думаете о том, что именно ваш день рождения должен совпасть с чьим-то из остальных. Но вы вряд ли подумаете о том, что ещё есть 230 сравнений между другими участниками эксперимента. Вам даже не пришло в голову, что сравнений, которые вас не касаются, в 10 раз больше. И вопрос о том, совпадут ли дни рождения у кого-либо, подменился в мозгу на вопрос о том, совпадут ли дни рождения у выбранного человека с кем-либо другим из группы. В этом случае вероятность совпадения, конечно, заметно ниже.
Вроде бы нетрудно перечислить все сочетания и проверить, но есть сложность: может же оказаться, что будет 2, 3 или все 23 совпадения. Этот вопрос похож на другой: какова вероятность выбросить хотя бы одну решку за 23 броска? Вариантов много: решка на первый раз, на третий, или на пятый и десятый, или на второй и двадцать второй. Как решить такую задачу? Перевернуть!
Вместо того чтобы считать каждый способ выбросить решку, мы посчитаем вероятность выпадения неудачного сценария, когда выпадают только орлы. Вероятность этого — 1/2 в 23-й степени, очень небольшая. Но важно понять схему: если существует, например, всего 1 % вероятность выбросить все орлы, будет 99 % шанс того, что выпадет хотя бы одна решка. Мы не знаем — одна, две, десять, или пятнадцать, или все 23. Но если мы вычтем вероятность неподходящего нам сценария из единицы, у нас как раз останется вероятность нужного нам сценария.
Этот же принцип можно применить и к задаче о днях рождения. Вместо того чтобы искать вероятность совпадения, гораздо проще найти вероятность того, что все родились в разные дни. Потом мы вычтем эту цифру из единицы и получим вероятность того, что есть хотя бы одно совпадение — хотя и не будем знать, сколько именно их будет, но нам это и не требуется. В нашем случае надо умножить 364/365 на 363/365, продолжить 22 раза и вычесть произведение из единицы. Получится 50.73 %, то есть больше половины.
Кстати, для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя (надеюсь, это очевидно) 100 % она достигает, только когда в группе будет не менее 367 человек — с учётом високосных лет.
