После этого Галилей перешел от мысленных экспериментов к реальным и занялся непосредственным измерением ускорения падающих тел, чтобы убедиться в том, что оно постоянно. Напомню, что это означает, что скорость изменяется с течением времени равномерно. Опять-таки я обращаю внимание на то, что при создании того фундамента, на котором впоследствии была создана теория тяготения, Галилей предпринял попытку описать, как падают тела, но не почему. Это похоже на пример Фейнмана с шахматами: сначала мы внимательно изучаем конфигурации шахматной доски, затем тщательно описываем движение фигур. Снова и снова, начиная с Галилея, мы проходим путь от описания «игрового поля», на котором разворачиваются физические явления, к попытке понять правила, по которым эти явления «играют». В окончательной версии построенной таким способом картины уже игровое поле определяет правила, и позднее я покажу, что именно таким путем развивается современная физика… но я отвлекся.
Галилей не остановился на достигнутом. Он занялся описанием более сложного типа движения и получил его путем «копирования» уже достигнутого результата. До этого момента мы рассматривали движение только в одном измерении — либо падение вниз, либо движение в горизонтальной плоскости. Но брошенный мяч совершает одновременно оба эти типа движения. Если не учитывать сопротивление воздуха, то траектория мяча будет представлять собой дугообразную математическую кривую, называемую параболой. Галилей доказал это, используя уже полученные ранее результаты. Он предположил, что двухмерное движение может быть представлено как совокупность двух независимых движений, а именно движения с постоянным ускорением в вертикальном направлении и движения с постоянной скоростью в горизонтальном. Сложите вместе эти два движения, и вы получите параболу.
Несмотря на кажущуюся простоту вышеприведенного объяснения, независимость горизонтального и вертикального движения часто становится причиной ошибок даже среди физиков. Рассмотрим, к примеру, двух спортсменов: прыгуна в длину и баскетболиста. Прыгун в длину разбегается и, достигая максимальной скорости, отталкивается от земли вверх, пролетая по воздуху больше восьми метров. Баскетболист, наоборот, не имея никакой горизонтальной скорости, прыгает вверх, находясь под баскетбольной корзиной. На вопрос, кто из них дольше находится в воздухе, часто отвечают, что прыгун в длину, потому что он пролетает большее расстояние.
На самом деле, если оба спортсмена достигают в своем прыжке одинаковой высоты, то они проводят в воздухе одинаковое время, потому что горизонтальное движение прыгуна в длину происходит независимо от его вертикального движения. Аналогично в демонстрационном школьном опыте, когда один шарик выстреливается горизонтально, в то время как второй одновременно с выстрелом начинает свободно падать, оба шарика достигают поверхности стола одновременно, несмотря на то что выпущенный горизонтально шарик пролетает гораздо большее расстояние, чем падающий отвесно.
Метод Галилея, показавшего, что два измерения могут быть представлены как две копии одного, точно так же, как и два соответствующих этим измерениям движения, был впоследствии взят на вооружение физиками. Тем же методом, то есть копированием имеющихся решений, большинство задач современной физики могут быть сведены к уже ранее решенным задачам, потому что задачи, которые имеют точное аналитическое решение, можно сосчитать по пальцам двух рук (ну, может быть, понадобятся еще несколько пальцев ног). В частности, если мы перейдем от двух пространственных измерений к трем, обнаружится, что для большинства трехмерных задач невозможно получить точное решение, даже задействовав всю вычислительную мощность всех существующих в мире суперкомпьютеров. Те же трехмерные задачи, которые мы можем решить, либо являются частными случаями более общей трехмерной задачи, когда мы искусственно ограничиваем возможный диапазон начальных и граничных условий, либо могут быть представлены в виде независимой комбинации нескольких более простых двухмерных или одномерных задач.
Примеры подобного подхода можно найти везде. Я уже рассказывал о построении Стандартной солнечной модели, в которой внутренняя структура Солнца представляется центрально-симметричной, то есть считается, что все параметры — плотность, давление, температура, химический состав — зависят только от одной величины: расстояния от центра Солнца. Это позволяет упростить трехмерную модель внутреннего строения Солнца до одномерной и записать все уравнения как функции одной-единственной переменной — расстояния г.
Еще один пример упрощения трехмерной задачи, в котором мы, в отличие от солнечной модели, не пренебрегаем двумя измерениями, а разбиваем задачу на одномерную и двухмерную, можно найти у себя дома на кухонном столе в виде кристалла поваренной соли. Законы квантовой механики, описывающие поведение атомов и субатомных частиц, позволяют объяснить законы образования химических соединений. Простейшим из всех атомов является атом водорода. Он состоит из одного протона, вокруг которого обращается один электрон. Решение уравнения, описывающего взаимодействие электрона и протона, однако, не столь просто.
Электрон в атоме водорода может находиться в нескольких состояниях, различающихся полной энергией. Каждое из основных энергетических состояний, или, как чаще говорят, каждый из энергетических уровней, в свою очередь, состоит из подуровней, различающихся формой электронной «орбиты». На простейшем уровне все химические взаимодействия, в том числе и те, которые отвечают за биохимические процессы, могут быть описаны набором правил, заключающихся в подсчете количества доступных электрону состояний. Элементы, у которых все доступные свободные состояния, кроме одного, заняты электронами, очень активно соединяются с элементами, у которых все доступные свободные состояния, кроме одного, свободны. Например, поваренная соль образуется, когда атом натрия, имеющий один электрон на верхнем уровне, соединяется с атомом хлора, у которого на верхнем уровне имеется одно не занятое электронами состояние. Атом натрия отдает «лишний» электрон атому хлора, у которого как раз «недостает» одного электрона.
Единственная причина, по которой мы оказываемся в состоянии вычислить все энергетические уровни и подуровни даже такого простого атома, как атом водорода, состоит в том, что сложная трехмерная задача описания движения электрона может быть разделена на две более простые задачи, каждая из которых может быть решена независимо от другой, — на одномерную задачу движения электрона вдоль радиуса и на двухмерную задачу движения электрона по поверхности сферы заданного радиуса.
Вот более современный и более экзотический пример упрощения подобного рода. Стивен Хокинг приобрел мировую известность, когда в 1974 году показал, что черные дыры на самом деле не черные — они должны излучать, причем температура излучения черной дыры определяется ее массой. Причина, по которой открытие Хокинга стало для всех сюрпризом, состоит в том, что свое название черная дыра получила отнюдь не из поэтических соображений: сила тяжести на поверхности черной дыры столь велика, что ничто не может ее покинуть, даже свет. Так как же тогда она может что-то излучать? Хокинг показал, что в условиях сильного гравитационного поля законы квантовой механики делают классический вывод о невозможности покинуть черную дыру не вполне точным. Подобное уклонение от классических «запрещающих» теорем — достаточно частое явление в квантовой механике.
