В каком-то смысле фрактальная размерность говорит нам, в какой мере эта бесконечная фрактальная линия стремится заполнить пространство, в котором она находится. Давайте построим несколько вариантов нашей фрактальной береговой линии, в которых мы будем делать угол между сторонами, добавляемыми к побережью, все меньше и меньше. При этом результат занимает все больше и больше пространства. Когда мы вычислим размерность каждой из береговых линий в этой последовательности, мы обнаружим, что она все ближе и ближе подходит к 2 (рис. 2.32).
Рис. 2.32. При изменении угла треугольника получающийся фрактал занимает все больше пространства, и его фрактальная размерность возрастает
Если проанализировать фрактальные размерности форм, встречающихся в природе, то обнаружатся некоторые интересные обстоятельства. Фрактальная размерность береговой линии Британии оценивается в 1,25, что довольно близко к показателю построенного нами математического побережья. Мы можем представить себе, что фрактальная размерность говорит нам, как быстро возрастает длина побережья, когда мы используем все более короткие линейки для ее измерения. Фрактальная размерность побережья Австралии оценивается в 1,13, что указывает в каком-то смысле на его менее сложную форму, чем у побережья Британии. Довольно поразительно, что фрактальная размерность береговой линии Южной Африки составляет лишь 1,04, это свидетельствует, что она весьма гладкая. Вероятно, самое фрактальное из всех побережий – у Норвегии с ее фьордами, оно характеризуется размерностью 1,52.
Рис. 2.33. Какова размерность береговой линии Британии?
Для предметов в трех измерениях мы также можем воспользоваться этим трюком, но клетчатую бумагу нужно заменить ячеистой структурой из кубиков. Нужно проследить, как изменяется количество кубиков, с которыми пересекается изучаемая форма, когда их размеры становятся все меньше и меньше. У цветной капусты при этом получается размерность 2,33, у листа бумаги, смятого в шар, будет 2,5, брокколи довольно замысловата с ее 2,66, и поразительно, что фрактальная размерность поверхности человеческого легкого равна 2,97.
Можно ли подделать Джексона Поллока?
Осенью 2006 г. картина, написанная художником XX в. Джексоном Поллоком, стала самой дорогой из когда-либо проданных. По сообщениям прессы, мексиканский финансист Дэвид Мартинес заплатил 140 миллионов долларов (что тогда соответствовало 75 миллионам фунтов) за картину с простым названием «№ 5, 1948».
Картина была создана с использованием фирменной техники Поллока – разбрызгивания краски по холсту. За свою манеру письма он был прозван «Джеком-оросителем»
[5]. Критики были шокированы ценой, которая была уплачена за подобное произведение, заявляя: «Что же, я сам мог бы нарисовать такую картину!» На первый взгляд действительно кажется, что любой мог бы разбрызгать краску и надеяться стать миллионером. Но математики обнаружили, что Поллок действовал значительно тоньше, чем можно было бы подумать.
В 1999 г. группа математиков, возглавляемая Ричардом Тейлором из Орегонского университета, проанализировала картины Поллока и открыла, что используемая им прерывистая техника воссоздает фрактальные формы, столь возлюбленные природой. Увеличенные участки картин Поллока сильно напоминают полотна в целом и обладают характерной бесконечной сложностью фрактала. (Разумеется, все большее и большее увеличение в конечном счете приведет к отдельным пятнам краски, но это случится, лишь когда вы увеличите холст в 1000 раз.) Для анализа техники, развитой Поллоком, можно даже привлечь понятие фрактальной размерности.
Поллок начал создавать фрактальные полотна в 1943 г. Фрактальная размерность его ранних картин была в районе 1,45, близко к значениям норвежских фьордов, но при дальнейшем развитии техники фрактальная размерность стала ползти вверх, что свидетельствовало о растущей сложности его произведений. Для завершения одной из последних картин Поллока в технике разбрызгивания, «Синие столбы», потребовалось шесть месяцев. Ее фрактальная размерность равна 1,72.
Рис. 2.34. Фрактальная размерность картины возрастает, когда вы разбрызгиваете все больше краски
Психологи исследовали формы, которые люди находят эстетически привлекательными. Нас постоянно притягивают изображения с фрактальными размерностями между 1,3 и 1,5, что соответствует размерностям многих форм, встречающихся в природе. На самом деле у этого могут быть веские эволюционные причины. Вероятно, так устроен наш мозг, чтобы можно было приспособиться к джунглям вокруг нас. Либо, подобно тому как лучшая музыка находится где-то между крайностями скучных звуков, издаваемых лифтом, и случайным белым шумом, эти формы притягательны для нас, потому что их сложность находится между слишком регулярными и слишком случайными объектами.
Если Поллок создавал фракталы, то насколько трудно воспроизвести его технику? В 2001 г. один техасский коллекционер произведений искусства был немало обеспокоен тем, что на его «Поллоке» не было подписи либо даты. Тогда он обратился к математикам, которые ранее открыли фрактальную размерность, присущую стилю Поллока. Их исследование показало, что у данной картины не было специальных фрактальных свойств, характерных для работ Поллока, то есть она, вероятно, была подделкой. Пятью годами позже комиссия по аутентификации, созданная фондом Поллока – Краснер для вынесения заключения по оспариваемым работам, попросила Ричарда Тейлора и его команду применить фрактальный анализ к коллекции из 32 картин, недавно найденных в камере хранения, которые якобы принадлежали кисти Джексона Поллока. Согласно фрактальному анализу, все они также были подделками.
Это вовсе не значит, что полотна Поллока невозможно подделать, – Тейлор даже создал приспособление, названное им «Поллокайзером», которое рисует подлинно фрактальные картины. Баночки с краской, висевшие на веревках, приводились в движение катушкой индуктивности, запрограммированной на воспроизведение хаотического движения, в результате чего получались вполне убедительные «Поллоки». Поэтому, хотя математика и помогает разоблачать подделки, она способна также сама создавать изображения, которые будут убедительны даже для экспертов.
У фракталов, несомненно, странные формы, ведь их размерности, вроде 1,26 или 1,72, не являются целыми числами. Но мы, по крайней мере, способны нарисовать их изображения. Но теперь положение вещей станет еще более необычным, потому что нам предстоит сделать шаг в гиперпространство, чтобы исследовать формы, которые существуют вне нашего трехмерного мира.
