20. Кафедра: от Рашевского до наших дней (столетний юбилей П.К. Рашевского). Основные современные научные направления на нашей кафедре
2007 год
27 ноября 2007 года наша кафедра организовала заседание Московского Математического Общества, посвященное столетию со дня рождения П. К. Рашевского. В аудитории 16–24 – на 16 этаже главного здания МГУ собралось много математиков и гостей, рис. 3.177, …, рис. 3.182. Прозвучало несколько интересных докладов. Вот тезисы моего выступления, которым открылось торжественное заседание.
Рис. 3.177. Начало торжественного заседания в 2007 году в честь 100-летия со дня рождения П. К. Рашевского. Мехмат, аудитория 16–24; видна лишь ее часть.
Рис. 3.178. А. Т. Фоменко, О. В. Мантуров. 2007 г.
Рис. 3.179. Профессор Г. Л. Литвинов. 2007 г.
Рис. 3.180. Профессор О. В. Мантуров. 2007 г.
Рис. 3.181. Профессор Э. Б. Винберг. 2007 г.
Рис. 3.182. Член-корреспондент РАН И. А. Шишмарев и А. Т. Фоменко. 2007 г.
П. К. Рашевский – выдающийся математик, автор многих замечательных работ, широко известен своими фундаментальными исследованиями в области римановой геометрии и тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли и теории их представлений. В частности, он получил важные результаты в проблеме описания тензоров, допускающих данную группу инвариантности, в геометрической теории дифференциальных уравнений, решил проблему Картана, исследовал структуру множества сферических функций на однородных пространствах, изучал ассоциативную сверхоболочку алгебры Ли и ее бесконечномерные представления, топологические свойства автоморфизмов групп Ли. Рашевский внес большой вклад в несколько фундаментальных направлений в области современной геометрии и в значительной мере повлиял на их развитие.
П. К. Рашевский длительное время возглавлял кафедру дифференциальной геометрии на механико-математическом факультете МГУ (1964–1983). После его смерти кафедра временно была слита с другим коллективом и была вновь восстановлена в 1992 году под слегка измененным названием «Кафедра дифференциальной геометрии и приложений» (заведующий А. Т. Фоменко). Эта кафедра активно развивается, причем в значительной степени благодаря тем задачам и идеям, которые были высказаны П. К. Рашевским.
П. К. Рашевский интересовался самыми разными проблемами современной геометрии. У него была чрезвычайно развита математическая интуиция, он удачно ставил задачи своим ученикам. Много лет под руководством Рашевского работал известный семинар «Тензорный анализ и его приложения». Он был центром притяжения не только для московских геометров, но и многих коллег из других городов. Исследования различных ученых, выполненных в рамках этого семинара, составили содержание известной периодической серии трудов под названием «Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике». Эти труды, хоть и не всегда регулярно (ввиду проблем с финансированием), издаются и сегодня.
Перечислю основные научные направления сегодняшней кафедры «Дифференциальной геометрии и приложений».
Рашевский много внимания уделял изучению геометрии и топологии групп Ли и однородных пространств. Отсюда выросло несколько научных направлений. Например, исследование подгрупп Ли, негомологичных нулю в объемлющей группе Ли, и вычисление полиномов Пуанкаре однородных пространств. А. Т. Фоменко получил описание вполне геодезических поверхностей, реализующих нетривиальные циклы гомологий в симметрических пространствах, в том числе и в группах Ли. В частности, были описаны вполне геодезические и гомологически нетривиальные сферы в симметрических пространствах.
Именно П. К. Рашевский направил когда-то мои интересы на исследование глобально минимальных поверхностей в римановых многообразиях. Отсюда выросла теория, созданная мною и моими учениками. В частности, А. Т. Фоменко доказал существование глобально минимальных поверхностей в каждом классе спектральных бордизмов риманова многообразия. А также – в каждом классе экстраординарных гомологий и когомологий многообразия (спектральные бордизмы – это частный случай). Эти идеи были развиты затем в работах профессоров Дао Чонг Тхи и Ле Хонг Ван.
Затем профессора А. О. Иванов и А. А. Тужилин получили крупные результаты в проблеме Штейнера – классификации одномерных минимальных сетей с закрепленными концами (т. е. ветвящиеся геодезические) или вообще без граничных точек) на двумерных поверхностях.
Рашевский часто беседовал со мной об общих свойствах групп и алгебр Ли. Его интересовали свойства, выполняющиеся одновременно для всех алгебр Ли из того или иного достаточно широкого класса.
Некоторые вопросы, интересовавшие Рашевского, получили впоследствии решение в рамках теории интегрируемых систем на алгебрах и группах Ли, созданной мною совместно с А. С. Мищенко. В частности, нами было сформулировано, а затем доказано – для большого класса редуктивных алгебр Ли, – следующее фундаментальное утверждение: на любой конечномерной алгебре Ли всегда есть полный коммутативный набор независимых полиномов, т. е. находящихся в инволюции относительно скобки Пуассона. Последний важный шаг для оставшихся алгебр Ли был сделан потом С. Т. Садэтовым. Итак, оказалось, что число таких замечательных полиномов равно половине суммы размерности алгебры и ее индекса. Индекс – это размерность аннулятора ковектора общего положения. Такие наборы полиномов порождают вполне интегрируемые системы дифференциальных уравнений в смысле Лиувилля. Повторю, что в случае редуктивных алгебр Ли, в частности, полупростых, эта важная теорема Мищенко-Фоменко-Садэтова была доказана именно Мищенко и Фоменко, а в оставшихся случаях – С. Т. Садэтовым.
