Рашевский много внимания уделял геометрии в математической физике.
Недаром в его известной книге «Риманова геометрия и тензорный анализ» много говорится о теории относительности и спинорных представлениях ортогональной группы. Сегодня на кафедре продолжает активно действовать научное направление, возглавляемое профессорами В. Л. Голо и А. И. Шафаревичем, «Математическая физика, геометрия и топология». Отдельно выделились исследования по геометрии и топологии сложных белковых молекул: профессора В. Л. Голо, А. О. Иванов и А. А. Тужилин со своими учениками, совместно с биологическим факультетом МГУ (лаборатория профессора К. В. Шайтана, известного биолога). Еще одно направление: «Дифференциальные уравнения в геометрических вопросах небесной механики и математической физики» развивается доцентом Е. А. Кудрявцевой.
Рашевский интересовался гладкими функциями, особенности которых заполняют невырожденные подмногообразия. В 80-е годы А. Т. Фоменко создал «теорию Морса интегрируемых динамичевских систем», где возникают именно такие функции. В результате, А. Т. Фоменко, его коллегами и ученикам, в первую очередь, Х. Цишангом, А. В. Болсиновым и А. А. Ошемковым, была создана теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Оказалось, что такие системы классифицируются, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, а также с точностью до непрерывной и гладкой траекторной эквивалентности, некоторыми графами, вершинами которых служат так называемые «атомы», а на ребрах графа поставлены некоторые числовые метки. Такие инварианты были вычислены нами для многих конкретных механических и физических систем. Сравнивая эти инварианты, нам удалось, например, обнаружить неожиданные топологические траекторные изоморфизмы между некоторыми известными динамическими системами. Например, между системой Якоби и системой Эйлера (теорема Болсинова и Фоменко). А также удалось доказать топологическую и гладкую неэквивалентность некоторых известных систем.
Сам Рашевский не успел оформить свои мысли по некоторым разделам алгебраической топологии и геометрии в виде опубликованных работ. Однако он постоянно интересовался этими вопросами, следил за новыми яркими результатами. В результате сложилась благоприятная атмосфера для развития этого направления.
Оно активно развивается сейчас на кафедре дифференциальной геометрии и приложений. Это – ученики профессора Ю. П. Соловьева: доцент Ф. Ю. Попеленский и доцент И. М. Никонов. А также в алгебраической геометрии работает доцент А. Б. Жеглов.
При жизни Рашевского компьютерная геометрия только начинала свое бурное развитие. Хотя сам Петр Константинович не владел компьютером, он с интересом следил за этим направлением. Интересовался математическим моделированием физических процессов. Сегодня компьютерная геометрия – большая и важная тема на нашей кафедре, развиваемая, в частности, доцентом Г. В. Носовским и доцентом Д. П. Ильютко. Нами написан учебник по компьютерной геометрии, читается спецкурс. Подробнее см. ниже.
Рашевского волновали и вопросы оснований математики. Например, мы с ним обсуждали нестандартный математический анализ. Рашевский много размышлял о свойствах больших натуральных чисел, продумывал идею ветвящегося натурального ряда. Этот образ возникал при обсуждении возможных алгоритмов сравнения больших чисел без «обратного их отсчета до нуля». Большие числа, по его мнению, являются размытыми объектами с нечеткими границами. Отдельные идеи были опубликованы Рашевским в заметке в Успехах Математических Наук, вызвавшей в то время неоднозначную реакцию у некоторых математиков и критику.
Рашевский был человеком высокой научной честности. Если какая-то работа ему не нравилась или оказывалась ошибочной, он четко заявлял об этом, невзирая на лица. Был принципиален в вопросах научной и общественной морали. Как-то раз, будучи председателем приемной комиссии на мехмате, категорически отказался удовлетворить кулуарную просьбу, шедшую с далекого верха, об улучшении оценки некоему абитуриенту. В результате он нажил себе неприятности, но, как говорил мне, никогда не жалел о подобных своих поступках.
Вот составленный мною список учеников Рашевского и его коллег, в разное время участвовавших в семинаре Рашевского. К сожалению, список не полный, а кроме того, не все имена и отчества смог вспомнить. Итак: Акивис Макс Айзикович, Бикташев Р. А., Богаевский А. Н., Боровский Юрий Владимирович, Гуревич Григорий Борисович, Вагнер Виктор Владимирович, Васильев Анатолий Михайлович, Вайнштейн А. Г., Варфоломеев Виталий Викторович, Винберг Эрнест Борисович, Вишневский В. В., Дао Чонг Тхи, Доан Куинь, Евтушик Леонид Евгеньевич, Ефремович Вадим Арсеньевич, Камышанский Н. Р., Кантор Исайя Львович, Комраков Борис Петрович, Конюшихина Татьяна Н., Кручкович Георгий Ионович, Кушнер Гурий Федорович, Либер А. Е., Литвинов Григорий Лазаревич, Лопшиц Абрам Миронович, Мищенко Александр Сергеевич, Мантуров Олег Васильевич, Норден Александр Петрович, Персиц Давид Борисович, Петров Евгений Евгеньевич, Петрова Вера Тимофеевна, Платонов Сергей Сергеевич, Пясецкий Владимир Семенович, Розенфельд Борис Абрамович, Сабинин Лев Васильевич, Сабитов Иджад Хакович, Самборский Сергей Николаевич, Семянистый Владимир И., Сирота Александр Исаакович, Скопец И. М., Соловьев Юрий Петрович, Солодовников Александр Самуилович, Трофимов Валерий Владимирович, Феденко Анатолий Семенович, Фоменко Анатолий Тимофеевич, Шапиро Я. Л., Широков Александр Петрович, Шпиз Григорий Борисович, Элашвили Александр Григорьевич.
Эти сведения собраны на рис. 3.183. Из учеников П. К. Рашевского наиболее тесные отношения связывали меня с Мантуровым Олегом Васильевичем, Литвиновым Григорием Лазаревичем и Кантором Исайем Львовичем. В частности, Г. Л. Литвинов неоднократно выступал на нашем кафедральном семинаре, мы с ним часто перезванивались, обсуждая не только математические, но и самые разнообразные темы. Замечательный математик, доброжелательный и глубокий человек.
Рис. 3.183. Кафедра дифференциальной геометрии: от Рашевского до наших дней. Иллюстрация к докладу А. Т. Фоменко. 2007 г.
На рис. 3.184 показано объявление о моей лекции для учеников знаменитой московской Школы-Интерната им. А. Н. Колмогорова при МГУ. В разные годы неоднократно выступал в Интернате с лекциями о достижениях современной геометрии и топологии. Связи с этой школой у меня давние.
Рис. 3.184. Объявление о моей лекции для учеников школы-интерната им. А. Н. Колмогорова при МГУ в 2007 году.
Некоторые мои коллеги и ученики вышли из этого Интерната. В феврале 2008 года по просьбе учеников и сотрудников Интерната я подарил Интернату несколько оригиналов своих живописных и графических работ. Они были выставлены в библиотеке, в кабинете директора и в аудиториях школы.
