Например, на картах, основанных на стандартной проекции Меркатора, север соответствует вертикали, а восток — горизонтали. Затем поверхность Земли можно вписать в прямоугольник. «Путешествуя по миру» с запада на восток, вы движетесь по горизонтали от одного края карты к другому вне зависимости от того, следуете вы по экватору или по полярному кругу. Поскольку протяженность экватора гораздо больше, чем протяженность полярного круга, карта на первый взгляд создает искаженное впечатление: полярные области кажутся гораздо большими, чем они есть на самом деле. Однако сетка позволяет вам определить расстояния правильно. В полярных областях вы должны использовать линейки большего размера! (Прямо на полюсах все становится очень странно. Вся верхняя граница карты соответствует одной точке на Земле, а именно Северному полюсу, а вся нижняя граница соответствует Южному полюсу.)
Вся информация, необходимая для восстановления геометрии поверхности Земли на основе карты, содержится в легенде карты
[30] Например, вот как вы можете указать, что карта описывает сферу. Сначала выберите точку на карте. Затем для каждого направления отмерьте фиксированное расстояние r от контрольной точки (следуя легенде) и установите точку. Места на карте, отмеченные точками, соответствуют всем местам на Земле, которые располагаются на расстоянии r от контрольной точки. Соедините точки. В общем случае, если ваша карта построена в проекции Меркатора, фигура, которую вы получите на карте, не будет похожа на круг, несмотря на то что она представляет собой круг на Земле. Тем не менее вы можете использовать эту карту для измерения длины окружности на Земле, которой соответствует данная фигура. И вы обнаружите, что эта длина будет меньше 2πr. (Для экспертов: она будет равна R sin (2πr / R), где R — радиус Земли.) Если карта представляет плоскую поверхность, что может не быть очевидным, если вы используете искаженную сетку, то вы получите ровно 2πr. Вы также можете обнаружить, что длина окружности превышает 2πr. В этом случае вы понимаете, что ваша карта описывает седлообразную поверхность. Сферы, естественно, имеют положительную кривизну, плоские поверхности — нулевую, седлообразные — отрицательную кривизну.
Несмотря на значительное усложнение визуализации, те же идеи применимы и к трехмерному пространству. Вместо координатной сетки для описания геометрии на плоском листе можно рассмотреть координатные сетки, которые заполняют трехмерную область. Такие составные «карты» содержат (в виде слоев) своего рода двумерные карты, которые мы только что обсуждали, а также указания для совмещения этих слоев. Они описывают искривленные трехмерные пространства.
Поэтому вместо того, чтобы работать непосредственно со сложными трехмерными формами, которые (в лучшем случае) крайне сложно визуализировать, мы можем работать в обычном пространстве, используя координатные сетки. Работать с этими картами, не жертвуя какой-либо информацией.
Координатная сетка для описания локальной геометрии в научной литературе называется метрическим полем. Карты учат нас тому, что геометрия поверхностей или искривленных пространств большей размерности эквивалентна сетке, или полю, содержащему инструкции по локальному заданию направлений и измерению расстояний. Лежащее в основе «пространство» карты может представлять собой матрицу из точек или даже массив регистров в компьютере. При правильной координатной сетке, или метрическом поле, любая из этих абстрактных структур может хорошо представлять сложную геометрию. Картографы и мастера компьютерной графики являются экспертами в использовании этих возможностей.
Кроме того, мы можем добавить время. Специальная теория относительности говорит нам, что время для одного наблюдателя является смесью пространства и времени для другого наблюдателя, поэтому кажется естественным обращение с пространством и временем на одних и тех же основаниях. Для этого нам нужен четырехмерный массив. Координатная сетка, или метрическое поле, в каждой точке указывает, какие три направления должны рассматриваться в качестве пространственных направлений — вы можете назвать их «север», «восток» и «вверх», однако в случае создания карты открытого космоса эти названия могут показаться несколько причудливыми
[31] — а также стандарты длины в этих направлениях. Она также указывает, что другое направление соответствует времени, и задает правило для перевода длин карты в этом направлении в промежутки времени.
В общей теории относительности Эйнштейн использовал понятие искривленного пространства-времени для создания теории гравитации. Согласно второму закону Ньютона, тела движутся по прямой линии с постоянной скоростью, если только на них не действует какая-то сила. Общая теория относительности модифицирует этот закон, постулируя, что тела движутся по наиболее прямому из возможных путей через пространство-время (по так называемым геодезическим линиям). Когда пространство-время искривлено, даже самый прямой из возможных путей приобретает неровности и изгибы, поскольку ему приходится адаптироваться к изменениям в локальной геометрии. Учитывая все это, тела реагируют на метрическое поле. Эти неровности и изгибы в пространственно-временной траектории тела — выражаясь более прозаично, изменения в его направлении и скорости — в соответствии с общей теорией относительности предоставляют альтернативное и более точное описание эффекта, ранее известного как гравитация.
Мы можем описать общую теорию относительности с помощью любой из двух математически эквивалентных идей: искривленного пространства-времени или метрического поля. Математики, мистики и специалисты в области общей теории относительности, как правило, предпочитают геометрическое описание ввиду его элегантности. Физики, обучавшиеся в эмпирической традиции физики высоких энергий и квантовой теории поля, в основном предпочитают идею метрического поля, поскольку она лучше соответствует тому, как мы (или наши компьютеры) выполняем конкретные вычисления. Что еще более важно, как мы скоро увидим: описание с помощью метрического поля делает теорию гравитации Эйнштейна больше похожей на другие успешные теории фундаментальной физики и, таким образом, облегчает работу над полностью интегрированным описанием всех законов. Как вы, вероятно, уже догадались, я придерживаюсь идеи метрического поля.
Выраженная в терминах метрического поля общая теория относительности напоминает полевую теорию электромагнетизма. В последней электрические и магнитные поля сгибают траектории электрически заряженных тел или тел, содержащих электрические токи. В общей теории относительности метрическое поле изгибает траектории тел, обладающих энергией и импульсом. Другие фундаментальные взаимодействия также напоминают электромагнетизм. В КХД траектории тел, являющихся переносчиками цветного заряда, изгибаются цветовыми глюонными полями; в случае слабого взаимодействия в игру вступают и другие виды заряда и полей; однако во всех случаях глубинная структура уравнений очень схожа.
