Дополнительный знак «–» не влияет на вероятность, поскольку мы возводим число в квадрат. Для восточного и западного направления вероятности одинаковы, однако амплитуды вероятности различны. (Далее мы увидим, к каким последствиям на самом деле приводит знак «–», когда мы будем рассматривать несколько спинов сразу.)
Теперь давайте рассмотрим два кубита. Чтобы получить состояние, при котором оба спина направлены на восток, мы умножаем две копии состояния «спин на восток» и находим:
.
Вероятность наблюдения состояния, при котором оба спина направлены вверх, равна (1/2)2 = 1/4, как и вероятность состояния «первый спин вверх», «второй спин вниз» и т.д. Аналогичным образом, когда оба спина направлены на запад, мы получаем:
.
Опять же все вероятности обнаружения спинов, направленных вверх и вниз, равны.
Используя только эти два кубита, мы обнаруживаем поистине странное поведение (выражаясь техническим языком, запутанное). Давайте объединим состояние, в котором оба спина направлены на восток, с состоянием, в котором оба направлены на запад. Это можно сделать двумя способами:
(9.1)
(9.2)
В каждом из этих состояний смысл выражений в левой части уравнения заключается в том, что при измерении спинов в горизонтальном направлении мы обнаруживаем: либо оба указывают на восток, либо оба указывают на запад. Каждая из этих возможностей реализуется с вероятностью 1/2. Мы никогда не обнаружим, что один спин указывает на восток, а другой — на запад. Поэтому, когда речь идет об измерениях в горизонтальном направлении, эти два состояния выглядят одинаково. Это все равно, как если бы вы знали, что у вас есть пара носков — либо черных, либо белых, но при этом вы бы не знали, какого именно они цвета. В этом заключается смысл выражений в левой части этих уравнений.
Выражения в правой части сообщают вам, что произойдет, если вы измерите в этих же состояниях оба спина в вертикальном направлении. В этом случае результаты будут совершенно другими. В первом состоянии оба спина будут направлены либо вверх, либо вниз; каждая из этих возможностей может реализоваться с вероятностью 1/2. Второе состояние в рассмотренном выше случае выглядело так же, как первое. Теперь, с другой точки зрения, оно максимально отличается от первого. Во втором состоянии вы никогда не обнаружите, что спины указывают в одном и том же вертикальном направлении: если один направлен вверх, то другой направлен вниз.
Любое из этих состояний вызвало бы недовольство Эйнштейна, Подольского и Розена, поскольку те демонстрируют суть знаменитого ЭПР-парадокса. Измерение спина первого кубита говорит вам о результате, который вы получите, измерив спин второго кубита, на каком бы расстоянии друг от друга они ни находились. На первый взгляд кажется, что это «жуткое действие на расстоянии», как его называл Эйнштейн, способно передавать информацию (то есть сообщить второму спину, куда он должен указывать) со скоростью, превышающей скорость света. Однако это иллюзия, поскольку для того, чтобы два кубита пришли в некоторое конечное состояние, изначально они должны находиться очень близко друг к другу. Позднее мы можем поместить их далеко друг от друга, однако если кубиты не могут двигаться быстрее скорости света, то этого не может и сообщение, переносчиками которого они являются.
В более общем смысле для конструирования всех возможных состояний двух кубитов мы суммируем четыре возможности
, каждая из которых умножается на отдельное число. Это определяет четырехмерное пространство, в котором вы можете передвигаться в четырех различных направлениях.
Описание возможных состояний пяти кубитов подразумевает выбор между вариантами направления вверх и вниз для каждого из них (например,
или
). Существует 2 × 2 × × 2 × 2 × 2 = 32 вероятности, а общее состояние может состоять из вкладов всех состояний, каждый из которых умножается на некоторое число. Вот откуда у нас появляется игрушечная 32-мерная модель. Ничего себе игрушка!
Демон Лапласа и пандемониум Сетки
Шедевр Пьера-Симона Лапласа, пятитомное сочинение «Небесная механика», выходил отдельными выпусками в период с 1799 по 1825 год. Оно перевело математическую астрономию, основанную на ньютоновских принципах, на качественно новый уровень элегантности и точности. Лаплас был настолько впечатлен точностью, с которой он мог вычислить движение небесных тел, что он попытался представить возможности демона, обладающего всей информацией. Он решил, что с помощью вычислений его демон мог бы предсказать будущее или реконструировать прошлое:
«Если бы человеческий интеллект мог знать в данный момент все силы, которыми одушевлена природа, и взаимное положение составляющих ее существ и к тому же был бы достаточно силен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, если бы он мог охватить одной формулой все движения Вселенной — как величайших ее тел, так и легчайшего из атомов, ничто не осталось бы для него неизвестным, и будущее, как и прошлое, предстало бы его глазам».
Лаплас, разумеется, имел в виду Вселенную, основанную на механике Ньютона. Насколько реалистично выглядит его демон сегодня? Может ли полное знание настоящего и безграничные математические способности свести прошлое и будущее к простому вычислению?
С пандемониумом Сетки демон Лапласа не справится.
Сначала давайте рассмотрим стоящую перед демоном проблему. Лаплас полагал, что если вы определите положение и скорость каждого атома в мире, то вы определите весь мир. Не останется больше ничего неизвестного. Кроме того, он думал, что физика предоставляет уравнения, связывающие весь набор положений и скоростей в одно время с аналогичными параметрами в более поздние (или ранние) моменты времени. Таким образом, если бы вам было известно состояние мира в некоторый момент времени t0, то вы могли бы вычислить состояние мира в любой другой момент времени t1.
