Факториал — это простая операция, сводящаяся к умножению целых чисел друг на друга, поэтому несколько неожиданно видеть в правой части формулы квадратный корень, π и е.
Когда n = 10, приближенное значение менее чем на 1 процент отличается от истинного значения 10! и чем больше число n, тем точнее становится приближенное значение в процентах. Поскольку факториалы — огромные числа (10! — это 3 628 800), представленная выше формула — это нечто потрясающее.
Между π и е явно что-то происходит.
Леонард Эйлер раскрыл еще одну связь между этими двумя константами, даже более неожиданную и поразительную, чем формула Стирлинга. Но, прежде чем переходить к данной теме, нам необходимо познакомиться с очередной гласной, которую Эйлер ввел в наш математический алфавит.
Приготовьтесь к встрече с числом i.
7. Позитивная сила негативного мышления
Автор отправляется в путешествие по другую сторону ноля. Он должен объяснить, почему минус, умноженный на минус, дает плюс. Ему не удается сохранить связь с реальностью, и он погружается в Долину морского конька
Зимой 2007 года Национальная лотерея Великобритании ввела новые билеты. На них размещалось два числа, и люди выигрывали приз, если число слева оказывалось больше числа справа. Вы можете подумать, что все это предельно просто. Однако, поскольку эти билеты были оформлены в зимнем стиле, числа представляли собой температуру ниже нуля. Задача, таким образом, сводилась к сравнению отрицательных чисел, а для некоторых людей это оказалось весьма не просто. Многие игроки вообще не могли, например, понять, что –8 меньше, чем –6. После десятков жалоб такие билеты были сняты с продажи. «Они пытались обмануть меня рассказами о том, что –6 больше, а не меньше –8, но я этому не верю», — заявил один возмущенный игрок
[120].
Проще всего посмеяться над людьми, не понимающими основ арифметики, однако не стоит с этим спешить. Отрицательные числа мучили наш разум столетиями и делают это до сих пор. Именно поэтому подземные этажи зданий принято обозначать буквами (например, LG — lower ground («подземный этаж») и B — basement («подвальный этаж»)) или алфавитно-цифровыми знаками (скажем, B1, B2 и B3), а не отрицательными числами (–1, –2 и –3). Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд Elements
[121], мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в –300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor — «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.
Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчета и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить. Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают еще три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 − 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаем одну, у нас остается еще одна. Но что значит 2 − 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я все же могу это сделать — тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, ее отсутствие, причем такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.
Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин — правда, в определенной степени
[122]. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в черный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Как показано ниже, китайцы размещали палочки на разграфленной доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из черных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось. Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы.
Китайцы раскладывали бамбуковые палочки на разграфленной доске; обычные палочки символизировали положительные числа, черные — отрицательные, что позволяло записывать и решать уравнения
Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст — деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий — отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму. Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввел число ноль в его современном понимании.
Долг минус ноль — это долг.
Имущество минус ноль — это имущество.
Ноль минус ноль — это ноль.
Долг, вычтенный из нуля, — это имущество.
Имущество, вычтенное из нуля, — это долг.
И так далее…
Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время. Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века — и в Испании. Тем не менее понадобилось еще три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе. Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.
