Стефан Банах, польский математик, который доказал теорему о бутерброде с ветчиной в Шотландском кафе, а также Альфред Тарский, специалист в области логики, предложивший расселовскую иерархию языка, доказали, что если считать аксиому выбора истинной, то истинной будет и следующая теорема:
Шар можно разделить на конечное количество фрагментов, из которых можно собрать две идентичные копии исходного шара.
Эта теорема более известна как «парадокс Банаха — Тарского». Слово «парадокс» используется здесь потому, что на первый взгляд теорема противоречит законам физики, хотя в ее доказательстве нет логических противоречий. В физическом смысле собрать два шара из фрагментов одного невозможно, поскольку эти фрагменты представляют собой не цельную структуру, а совокупность бесконечного количества точек. Тем не менее теорема поражает воображение. Из нее следует, что любой шар можно разделить на части и составить из них любой другой объект, а значит, из горошины можно сделать солнце. (Несмотря на столь невероятные выводы, сейчас большинство математиков принимают аксиому выбора.)
Если суть шутки состоит в неожиданных выводах, то парадокс Банаха — Тарского — самая смешная теорема в математике.
В конце 1970-х, когда мне было около восьми лет, мы перешли на уроках математики от чисел к множествам. Я хорошо помню, как это происходило. Овал с несколькими точками олицетворял собой одно множество, а второй овал с несколькими точками — другое множество. Нам следовало соединить точки одного множества с точками другого, что показывало, в каком множестве больше точек. Я так и не понял, в чем смысл этих упражнений, и мне кажется, учителя тоже не понимали. Примерно через год на уроках перестали говорить о множествах, и я снова встретился с ними уже на втором курсе университета. Если вы учились в школе в 60-х, 70-х или 80-х годах XX века, вполне вероятно, что вас тоже кратко знакомили с теорией множеств. Присутствие этой дисциплины в учебной программе связано с именем Николя Бурбаки, самого плодовитого математика ХХ столетия.
В 1939 году Бурбаки опубликовал свою первую книгу из масштабной серии под названием Éléments de Mathématique («Начала математики»). «В прошлом считалось, что каждый раздел математики зависит от интуитивных знаний в этой области, на которых основаны концепции и истины, — писал он. — Однако в наши дни, как известно, можно, логически говоря, вывести практически всю человеческую математику из одного источника — теории множеств»
[167]. Название этой серии содержало отсылку к Евклиду. Подобно тому как труд Евклида «Начала» формализовал математические знания древних греков в рамках системы аксиом, основанной на свойствах точек и линий, «Начала математики» Бурбаки формализовали современные математические знания в рамках аксиоматической системы, построенной на свойствах множеств. Выбор слова mathématique (в единственном числе, в отличие от английского mathematics) подчеркивал убежденность Бурбаки в единстве этой области знаний. Серия «Начала математики» состояла из десятков книг общим объемом около 7000 страниц, причем не только по теории множеств, но и по таким дисциплинам, как алгебра, математический анализ и топология. Кроме того, Бурбаки была свойственна одна отличительная особенность, которая делала его уникальным среди современников. Такого человека не существовало.
В начале 30-х годов ХХ века несколько молодых французских математиков пришли к выводу, что университетские учебники устарели, и решили вместе написать новые. Они взяли для своей группы псевдоним Николя Бурбаки, по имени Шарля Дени Бурбаки — французского генерала, который в 1862 году отказался от греческого престола, а после унизительного поражения во Франко-прусской войне пытался застрелиться, но промахнулся. Ученые, вошедшие в состав этой группы, заявили о том, что Николя Бурбаки родом из Полдавии — страны, которая упоминается в книге о приключениях Тинтина The Blue Lotus
[168]
[169]. Группа приняла кодекс секретности и ввела возрастное ограничение 50 лет. Подобно польским математикам, собиравшимся в Шотландском кафе во Львове примерно в тот же период, входившие в группу Бурбаки ученые получали удовольствие, смешивая веселье и науку. Во время одной из регулярных встреч в сельской местности несколько членов группы отправились к местному озеру и, раздевшись донага, прыгали в воду с криками «Бурбаки!»
[170]
Однако подход Бурбаки к математике был совершенно серьезным. Группа разработала метод написания книг, согласно которому на создание одной книги требовалось несколько лет. После долгих дискуссий по поводу содержания каждого тома кто-то из членов группы составлял черновой вариант текста книги. На следующем собрании текст вычитывался буквально построчно, причем каждую строку должны были одобрить все члены группы. Стиль изложения материала тоже был уникальным. Цель всей серии книг состояла в том, чтобы вывести все из исходных принципов, не прибегая к каким бы то ни было физическим или геометрическим интуитивным данным. Иллюстрации не использовались, поскольку члены группы считали, что они могут вводить в заблуждение. «Строгость для математика — то же самое, что мораль для человека», — сказал один из основателей группы Андре Вейль. В книгах серии не было аналогий, отступлений, опущений, рисунков или упражнений для читателей. Требование об аксиоматической чистоте было настолько жестким, что в первой книге понадобилось две сотни страниц на определение числа 1, да и то в сокращенной форме. (В книге говорится, что на представление числа 1 в расширенной форме понадобилось бы много тысяч символов. В 1999 году британский специалист по теории множеств А. Р. Д. Матиас заявил, что на самом деле метод Бурбаки требует 4 523 659 424 929 символов и 1 179 618 517 981 связей между ними
[171].)
У серии книг «Начала математики» была хорошо продуманная структура. Каждая книга могла содержать ссылки только на материал предыдущих книг и не должна была ссылаться на книги других авторов, что позволяло построить огромную логическую систему на основании лишь одной теории множеств. Хотя члены группы были очень молоды, все они уже добились значительных успехов в математике и самостоятельно опубликовали ряд работ. Андре Вейль, брат философа и общественного деятеля Симона Вейля, был, пожалуй, самым талантливым членом группы. В 1939 году, когда вышла первая книга серии «Начала математики», разразилась война, и Вейль уехал в Финляндию. Полиция произвела обыск в его квартире в Хельсинки и нашла там письмо, написанное по-русски (в котором шла речь исключительно о математике), и стопку визитных карточек, принадлежащих Николя Бурбаки, члену Королевской академии наук Полдавии. После этого Вейль был депортирован по обвинению в шпионаже. По возвращении во Францию его посадили в тюрьму за то, что он не явился для прохождения службы в армии. Но Вейлю понравилось сидеть в тюрьме. «Моя математическая работа продвигается лучше, чем в самых смелых мечтах, что меня немного беспокоит, — писал он жене. — Если я могу так хорошо трудиться только в тюрьме, не придется ли мне устраивать так, чтобы каждый год попадать сюда на два-три месяца?»
