Очевидно, что эти числа увеличиваются очень быстро: 2000 намного больше 1, 1 999 000 намного больше 2000, а 1 331 334 000 еще больше. По мере того как мы в ходе своего мысленного эксперимента перемещаем все больше и больше молекул в правую половину, опустошая левую, они продолжают возрастать, а затем в определенный момент начинают уменьшаться. В конце концов, задавшись вопросом, много ли существует способов поместить все 2000 молекул в правую часть контейнера, оставив в левой ровно ноль, мы вновь вернемся к единственному уникальному варианту такой конфигурации.
Ситуация, соответствующая наибольшему числу всевозможных конфигураций, — очевидно, та, когда в каждой половине контейнера находится ровно по 1000 молекул. Создать такую конфигурацию можно в общем, очень большим количеством способов. Мы не будем приводить точное число; скажем только, что оно примерно равно 2 ∙ 10600 — двойка, за которой следует шестьсот нулей. И это всего лишь для двух тысяч частиц. Попробуйте вообразить приблизительное число возможных конфигураций атомов в комнате с обычным объемом воздуха или даже в стакане воды (предмет, который можно удержать в руке, состоит где-то из 6 ∙ 1023 молекул — это число Авогадро). Возраст Вселенной — всего лишь около 4 ∙ 1017 секунд, так что можете представить себе, как быстро вам придется двигать молекулы туда и сюда, для того чтобы изучить все возможные допустимые конфигурации.
Все это наводит на определенные мысли. Существует относительно немного способов собрать все молекулы в одной половине контейнера, но огромное число вариантов более или менее равномерного распределения их по доступному пространству. К тому же разумно ожидать, что очень неравномерное распределение с легкостью будет переходить в относительно равномерное, но не наоборот. Эти заявления похожи, но не эквивалентны. Следующим шагом Больцмана было предположение о том, что если у нас нет какой-то особой информации о состоянии системы, то следует предполагать, что она будет переходить от «специальных» конфигураций к «общим», то есть от ситуаций, соответствующих относительно небольшому числу вариантов расположения частиц, к ситуациям, соответствующим множеству способов их расположения.
Размышляя подобным образом, Больцман ставил целью объяснить на атомном уровне второе начало термодинамики — утверждение, что энтропия в замкнутой системе всегда увеличивается (или остается постоянной). Формулировки второго начала уже были даны Клаузиусом и другими учеными, однако Больцман хотел вывести их из некоего простого набора базовых принципов. Вы уже заметили, что статистическое мышление движет нас в правильном направлении: заявление о том, что «развитие систем происходит от специальных конфигураций к общим», весьма похоже на «развитие систем происходит от конфигураций с низкой энтропией к конфигурациям с высокой энтропией».
Таким образом, напрашивается определение энтропии как «количества перестановок микроскопических частей системы, при которых ее макроскопическое состояние не меняется». В нашем примере с перегородкой внутри контейнера это соответствует количеству способов разместить отдельные молекулы внутри сосуда так, чтобы общее число молекул в каждой половине осталось неизменным.
Мы почти подобрались к верному ответу, но все же не совсем. В действительности пионерам термодинамики было известно об энтропии не только то, что «она обычно увеличивается». Например, они знали, что если взять две разные системы и заставить их взаимодействовать, то общая энтропия будет равна простой сумме отдельных энтропий этих двух систем. Энтропия аддитивна, точно так же, как число частиц (в отличие, например, от температуры). Однако количество конфигураций совершенно точно свойством аддитивности не обладает: если соединить два контейнера с газом, то общее количество способов реорганизации молекул в двух контейнерах станет во много раз больше, чем в пределах одной емкости.
Больцману удалось справиться с задачей формулировки определения энтропии в терминах микроскопических перестановок. Мы будем использовать букву W (от немецкого Wahrscheinlichkeit — «вероятность») для обозначения количества перестановок микроскопических составляющих системы без изменения ее макроскопических свойств. Последним шагом Больцмана было взятие логарифма от W и объявление о том, что результат пропорционален энтропии.
Слово «логарифм» звучит очень по-научному, но это всего лишь способ показать, как много цифр понадобится для написания числа. Если число представляет собой степень 10, то его логарифм равен всего лишь этой степени,
[129] то есть логарифм 10 равен 1, логарифм 100 равен 2, логарифм 1 000 000 равен 6 и т. д.
В приложении мы более подробно обсудим некоторые математические тонкости. Они не очень важны для составления глобальной картины; если вы притворитесь, что не замечаете слова «логарифм», то ничего особо не потеряете. В действительности важно знать только лишь две вещи:
по мере увеличения чисел возрастают и их логарифмы;
но не слишком быстро; сами числа становятся неимоверно больше, однако их логарифмы увеличиваются довольно медленно. Один миллиард намного больше тысячи, однако 9 (логарифм миллиарда) не сильно больше 3 (логарифм 1000).
Когда дело доходит до огромных чисел, например таких, с которыми мы сталкиваемся в этой игре, последнее свойство здорово нам помогает. Поделить 2000 частиц поровну можно 2∙10600 способов — просто невообразимое число! Но логарифм этого числа равен всего лишь 600,3 — с этим еще можно иметь дело.
Формула Больцмана для энтропии, традиционно обозначаемой буквой S (букву E мы использовать не хотим, потому что она обычно обозначает энергию), гласит, что энтропия равна произведению некоторой константы k, которая называется постоянной Больцмана, на логарифм W, где W — число микроскопических состояний системы, неразличимых с макроскопической точки зрения.
[130] Таким образом
[131],
