Доказательство второго начала термодинамики
После того как Больцману открылся смысл энтропии как меры количества микросостояний, соответствующих выбранному макросостоянию, он поставил себе новую цель: уже на этом уровне понимания установить происхождение второго начала термодинамики. Я уже рассказывал об основных причинах, почему второе начало действительно работает: состояний с высокой энтропией намного больше, чем с низкой, а разные начальные состояния в процессе развития приходят к разным конечным состояниям, поэтому большую часть времени (с действительно подавляющей вероятностью) можно ожидать, что энтропия будет увеличиваться. Однако Больцман был истинным ученым, и ему недостаточно было лишь этого. Он хотел доказать, что второе начало термодинамики следует из его определения.
Довольно непросто вообразить себя на месте ученого, занимающегося исследованием термодинамики в конце XIX века. Эти ребята чувствовали, что неспособность энтропии уменьшаться в замкнутой системе не просто отличная идея, а закон. Мысль о том, что энтропия, вероятно, будет увеличиваться, казалась им не более правдоподобной, чем, например, предположение о том, что энергия, вероятно, будет сохраняться. И правда, числа настолько ошеломляюще велики, что вероятностные выводы статистической механики можно было бы использовать как абсолютно верные для всех практических задач. Тем не менее Больцман стремился продемонстрировать нечто более определенное.
В 1872 году Больцман (в то время ему было двадцать восемь лет) опубликовал статью, в которой предлагал использовать для доказательства того, что энтропия всегда будет либо увеличиваться, либо оставаться постоянной, кинетическую теорию. Этот результат называется H-теоремой, которая с того самого времени остается источником множества споров в научной среде. Даже сегодня одни люди уверены, что H-теорема объясняет незыблемость второго начала термодинамики в реальном мире, тогда как другие полагают ее всего лишь забавным пережитком истории интеллектуальной мысли. Правда в том, что это действительно чрезвычайно интересный результат для статистической механики, но «доказать» второе начало он все же не в силах.
Больцман размышлял следующим образом. В макроскопическом объекте, таком как наполненная газом комната или чашка кофе с молоком, присутствует невероятное количество молекул — более 1024. Он рассматривал такой случай, когда газ относительно разрежен; в этой ситуации столкнуться могут две любые частицы, но редкие события, когда одновременно друг в друга врезаются три или более частиц, можно игнорировать (это на самом деле не вызывающее претензий предположение). Нам необходимо найти способ, как охарактеризовать макросостояние всех этих частиц. Итак, вместо того чтобы отслеживать положения и импульсы всех молекул (что дало бы нам полное описание микросостояния), давайте следить за средним числом частиц, обладающих данным положением и импульсом. Например, в контейнере с газом, находящемся в равновесии при определенной температуре, среднее число частиц в каждой точке равно, а также существует некоторое распределение импульсов, такое, что средняя энергия частиц дает нам нужную температуру. Имея на руках лишь эту информацию, можно вычислить энтропию газа. А затем (если вы Больцман) доказать, что энтропия газа, пребывающего не в равновесном состоянии, будет со временем возрастать, пока не достигнет максимального значения, после чего останется на этом уровне. Очевидно, что мы вывели второе начало термодинамики.
[145]
Очевидно, однако, что здесь что-то не чисто. Мы начали с микроскопических законов физики, совершенно инвариантных относительно направления времени, — они работают одинаково хорошо как вперед во времени, так и назад. А Больцман утверждал, что получил на основе этих законов результат, абсолютно точно не обладающий свойством инвариантности и приводящий к очевидной стреле времени, что подтверждается словами об увеличении энтропии по направлению к будущему. Как же можно получить необратимые результаты исходя из обратимых предположений?
Данное возражение было громко и ясно высказано Йозефом Лошмидтом в 1876 году, после того как схожие сомнения появились у Уильяма Томсона (лорда Кельвина) и Джеймса Клерка Максвелла. Лошмидт был близким другом Больцмана, взявшим молодого физика под свою опеку в Вене в 1860-е годы. И он не проявлял никакого скептицизма по отношению к атомной теории; в действительности Лошмидт первым сумел точно оценить физические размеры молекул. Однако ему было невдомек, как Больцман сделал вывод об асимметрии времени, не прибегая к помощи его предположений.
Доводы, стоящие за тем, что нам сегодня известно под названием «возражения Лошмидта об обратимости», просты. Рассмотрим какое-то конкретное микросостояние, соответствующее макросостоянию с низкой энтропией. Оно с огромной вероятностью будет развиваться в сторону высокоэнтропийных состояний. Но инвариантность относительно отражения времени гарантирует, что для каждого такого пути развития существует другой допустимый путь — зеркальное отражение оригинала, — начинающийся в высокоэнтропийном состоянии и эволюционирующий навстречу низкой энтропии. В пространстве всех процессов, которые могут происходить с течением времени, можно найти ровно столько же систем, начинающих существование в условиях высокой энтропии и приходящих в состояние с низкой энтропией, как и систем, переходящих из низкоэнтропийного состояния к высокоэнтропийному. На рис. 8.5, где показано пространство состояний, разделенное на макросостояния, мы нарисовали траекторию, берущую начало в макросостоянии с очень низкой энтропией. Однако траектория не появляется из ниоткуда; она должна была существовать и до того, и в ее истории должно было быть состояние с высокой энтропией, — явный пример пути, вдоль которого энтропия уменьшилась. Очевидно, что если вы верите в динамику, инвариантную относительно отражения времени (как все эти ученые), то совершенно невозможно доказать, что энтропия всегда только увеличивается.
[146]
