С чего начинать решать задачу? Естественно — с понимания ее сути. «Глупо отвечать на вопрос, который вы не поняли». Так писал Д. Пойа, прекрасный математик и педагог, в книге «Как решать задачу». То, что вы прочтете ниже, написано под несомненным влиянием этой знаменитой книги.
Чтобы выявить суть задачи, следует с самого начала ясно осознать следующее: в чем состоит цель решения задачи, что надо найти; что известно; какие даны дополнительные условия.
Ответы на эти вопросы полезно записать.
Далее надо ввести обозначения, обычно буквенные, исходных данных и неизвестных. Лучше всего использовать общепринятые, привычные обозначения, например: Т — абсолютная температура, Р — давление, V — объем, т — масса и т. д. Это, во-первых, помогает быстрее вызвать из памяти необходимые формулы, уравнения, правила, а во-вторых, не отвлекает и не путает вас в процессе решения.
Выбрав обозначения, следует записать условия задачи в краткой форме. При этом необходимо использовать одну систему единиц, например СИ.
Если задача сложная, ее для понимания следует упростить, отбросив на время второстепенные данные. Такие данные не определяют ход решения, а влияют только на величину получаемого результата. Обычно суть задачи сводится к поиску связи между оставшимися после упрощения исходными данными и тем неизвестным, которое надо найти.
Пример из родной для автора химии.
При обработке соляной кислотой сплава цинка и меди массой 30 г выделился газ объемом 2,24 л. Условия процесса нормальные, т. е. давление и температура равны соответственно 101,4 кПа и 0 °C. Определить состав сплава.
Анализируем задачу. Что надо найти? Состав сплава, т. е. сколько в нем содержится цинка и сколько меди.
Что известно? Объем выделившегося газа.
Дополнительные известные условия — данные о температуре и давлении — временно отбросим. Сосредоточимся на сути задачи. Она состоит в том, что надо понять, каким образом по количеству газа можно найти состав сплава.
После того как суть задачи удалось сформулировать, естественно задать себе вопросы: «Что я знаю о ситуации, описываемой в задаче?», «Встречался ли я с похожими задачами?».
Если данных, которые вы смогли извлечь из памяти, оказывается недостаточно, приходится обращаться к лекции, учебнику, справочнику, преподавателю или знающему студенту.
На этом этапе надо постараться отнести задачу к определенному типу и установить, можно ли решить ее стандартным способом. Другими словами, имеются ли подходящие для решения формула, правило, теорема или алгоритм. Если таковые найдутся, задача решается просто подстановкой конкретных данных. Отыскать пригодный для решения стандартный прием часто удается по слову, обозначающему неизвестное, которое надо найти, к примеру, это может быть масса, температура, давление, объем, сила тока, скорость, модуль упругости. Список этот можно продолжать сколь угодно долго. Далее требуется только грамотно применить данную формулу или алгоритм, прежде всего ничего не напутать в размерностях.
Большинство задач, которые приходится решать студенту, относятся к этому типу, их называют стандартными задачами. Большинство, но не все. Встречаются задачи, когда стандартных приемов оказывается недостаточно для решения и требуется более серьезное обдумывание ситуации. Для решения таких задач, называемых нестандартными или творческими, используются различные способы мышления, о которых шла речь в параграфе 3.3.
Ключом к решению нестандартной задачи служит счастливая мысль, которую можно назвать главной догадкой. Как подстегнуть приход главной догадки? Давайте исходить из сформулированной сути задачи. В эту формулировку входят объекты, величины которых известны и не известны. Так, в формулировку сути нашего примера входит объем газа и состав сплава. Необходимо сосредоточиться на поиске связей между этими объектами, для чего призвать на помощь собственную память и внешние источники информации. Весь добытый материал следует рассмотреть с разных сторон, обращая внимание на приходящие в голову ассоциации и аналогии.
Какие еще приемы и действия можно использовать для решения нестандартных задач?
• Представить задачу в виде упрощенной схемы или модели, куда включено только самое главное, а все детали ситуации оставлены за бортом.
• Наглядно изобразить условия задачи в виде рисунка, чертежа, диаграммы, графика. Таким путем удается легче охватить взглядом всю задачу и подключить к ее решению образное мышление.
• Рассмотреть предельные случаи, когда тот или иной элемент задачи принимает крайние значения, обычно максимальные и минимальные.
• Если задача носит общий характер, полезно рассмотреть конкретные примеры, по возможности числовые.
• Задачу решают от конца к началу. К примеру, искомую величину можно найти, если будет известно значение А. Его, в свою очередь, легко отыскать, зная, чему равно Б, и т. д. шаг за шагом.
Теперь вернемся к задаче о составе сплава. Эта задача нестандартная, так как по известной формуле или алгоритму не решается. Суть задачи мы сформулировали так — каким образом по количеству газа определить состав сплава.
Дальше можно рассуждать следующим образом. Сплав состоит из цинка и меди, газ выделяется при взаимодействии сплава с соляной кислотой, значит, необходимы данные о реакции этих металлов с данной кислотой. Вспоминаем или находим, что реакция металлов с соляной кислотой протекает с выделением водорода по реакции:
Ме + 2 НСl = МеСl2 + Н2.
Рассмотрим предельные случаи, когда с кислотой реагирует не сплав, а чистые металлы по отдельности. В этих случаях найти количество металла по объему выделившегося водорода несложно, для этого используется стандартный алгоритм. Также легко решалась бы задача, если б с кислотой реагировал только один из металлов. А может быть, так оно и есть? Вот она главная догадка!
Обращаемся к информации о реакциях металлов с кислотами и находим, что, действительно, в реакцию с соляной кислотой будет вступать только цинк. Догадка подтвердилась, после чего задача решается без особого напряжения. По количеству выделившегося при нормальных условиях водорода находим, сколько цинка содержится в 30 г сплава, остальная масса сплава приходится на медь.
Итак, задача решена. Теперь стоит проверить, а правильно ли это сделано. Для проверки существуют различные способы.
• Оценить правдоподобие полученного результата: не противоречит ли он здравому смыслу и условиям задачи, разумный ли порядок у найденной величины.
• Обратить внимание на размерность найденной величины, соответствует ли она физической природе данного показателя. Если вы нашли массу металла, а она оказалась выраженной, скажем, в секундах, значит, в решении что-то напутано.
• Решение общего характера нужно испытать на таких частных случаях, которые легко поддаются проверке. Как пишет Пойа, «предельные случаи особенно поучительны». Некоторым исходным данным можно придать максимально или минимально возможные значения и оценить разумность получаемых результатов.
