Следующим и самым важным шагом было определение положения линии апсид (долготы афелия), эксцентриситета и средней аномалии в ту или иную дату. Для определения этих трех величин Птолемею требовались только три противостояния, так как он исходил из бисекции эксцентриситета (на рисунке CA = CS), но, так как Кеплер твердо решил, следуя за Коперником и Браге, не делать подобных допущений, ему пришлось использовать четыре противостояния. Из десяти противостояний, наблюдавшихся Браге (к которым он смог добавить еще два, которые наблюдал сам в 1602 и 1604 годах), он выбрал относящиеся к 1587, 1591, 1593 и 1595 годам и вывел из них время истинного противостояния.
На рисунке D, G, F, E – это четыре наблюдаемых положения Марса, S – Солнце, G – центр круговой орбиты, A – точка экванта, HI – линия апсид. Положение этой линии и средняя аномалия первого противостояния, то есть углы HSF и HAF, в первом примере заимствованы из теории Браге. Наблюдения дали непосредственно гелиоцентрические долготы, то есть углы при S между линиями SF, SE, SD и SG, тогда как углы при A, разности средней аномалии, были известны, так как период сидерического обращения давал среднее движение. Из треугольников ASF, ASE, ASD и ASG, в которых углы при AS известны, далее рассчитываются расстояния SF, SE, SD и SG, выраженные в частях AS. Из треугольников SFE и SFG находится угол F четырехугольника FEDG и аналогичным образом три других угла E, D, G. Если теперь четыре точки F, E, D, G лежат на окружности круга, у нас должно быть
F+ D = G + Е = 180°.
Когда это условие выполняется, нужно найти, находится ли центр круга на линии AS. В треугольнике SFG мы можем посчитать длину FG, так как мы знаем угол при S и другие две стороны; в равнобедренном треугольнике FCG мы теперь знаем FG и угол FCG, причем последний равен удвоенному FEG (или удвоенной сумме FES и SEG), значит, мы можем найти два радиуса в частях AS и угол CFG. Далее, угол SFO = SFG – CFG, следовательно, мы в треугольнике CSF мы можем найти сторону CS и угол CSF, и у нас должно получиться
GSF = HSF.
Поэтому необходимо изменить предполагаемое направление Ш или углы HSF и HAF (истинная и средняя аномалия первого противостояния) так, чтобы выполнялись оба условия, то есть пока четыре точки не будут лежать на круге, центр которого находится на линии, соединяющей S и А.
Кеплер верно говорит, что, если читатель находит это описание метода утомительным, ему следует пожалеть автора, который проверил его не меньше семидесяти раз, и ему не следует удивляться, что Марс потребовал более пяти лет, хотя почти целый 1603 год был потрачен на оптические исследования. Результатом семидесяти этих попыток стала (радиус круга = 1)
Долгота афелия 28°48′55″ Льва
[341] (1587 г.)
АС = 0,072 32 CS= 0,113 32.
Эту теорию Кеплер впоследствии назвал «заместительной гипотезой». Она очень хорошо отображала долготы двенадцати противостояний, и наибольшая остаточная ошибка составляла 2′12″, которая, как полагал Кеплер, происходила в основном из-за ошибок наблюдений, так как видимый диаметр Марса в ближайшем к Земле положении казался весьма значительным. И все же теория оказалась ложной, и Кеплер полагал, что, когда Птолемей допустил бисекцию эксцентриситета (АС = CS), он должен был встретиться с аналогичной трудностью, которая, вероятно, заставила и Браге отложить в сторону теорию Марса и заняться вместо нее теорией Луны. Кеплер проверил теорию на широтах противостояний 1585 и 1593 годов, когда Марс находился вблизи пределов наибольшей северной и южной широты и в то же время вблизи афелия и перигелия. Применив солнечную теорию Браге без изменений, он обнаружил, что эксцентриситет получится = 0,080 00 или = 0,099 43, в зависимости от того, что использовалось – истинное или среднее противостояние, и результат очень отличается от 0,113 32, но не очень от ½ (АС + CS) = 0,092 82. Поэтому он попробовал, что будет, если принять АС = CS = 0,092 82, но это оказалось неудачным шагом, так как, хотя места примерно в 90° от апсид были хорошо представлены, места в аномалиях 45°, 135° и т. д. отличались примерно на 8′. Теперь понятно, говорит Кеплер, почему Птолемей закрыл глаза на бисекцию эксцентриситета, так как 8′ вполне укладывались в пределы точности его наблюдений (10′); но Божья благодать одарила нас самым добросовестным наблюдателем в лице Тихо Браге, и потому мы должны с благодарностью использовать этот дар, чтобы найти истинные движения небесных тел. Еще одно доказательство ошибочности «заместительной гипотезы» предоставило исследование долгот вне противостояний, но вблизи апсид. Они также дали эксцентриситет около 0,09. Таким образом, заместительная гипотеза, которая стоила такого огромного труда, окончилась полным провалом. И это показало, что либо орбита представляет собой не круг, либо, если это все же круг, внутри его нет неподвижной точки, при взгляде из которой планета перемещается равномерно, но что точка экванта должна колебаться взад-вперед по линии апсид, что не могло быть следствием какой-либо естественной причины.
Доказав таким образом невозможность создания правильной теории на одних противостояниях, Кеплер осознал, что проблему надо решать в более общем виде, а не разбираться с первым и вторым неравенствами по отдельности, как поступали его предшественники. Он решил взяться сначала за второе неравенство путем более строгого изучения годовой орбиты Земли. В «Тайне мироздания» он попытался объяснить, что планета движется быстрее всего в перигелии и медленнее всего в афелии, потому что в этих точках она ближе всего к Солнцу и наиболее удалена от него, и поэтому, соответственно, находится под наибольшим и наименьшим влиянием некой исходящей от Солнца силы. Но он признал, что если бы это объяснение было правильным, то Земля должна была бы двигаться точно таким же образом, как планеты, но все же никто не приписывал экванты годовой орбите и не представлял ее какой-либо иной формы, кроме простого эксцентрического круга. Поэтому Кеплер испытал настоящее счастье, когда его озарило (dictabat mihi genius, как он говорит), что видимое изменение диаметра годовой орбиты должно вызываться тем, что центр равных расстояний и центр равного углового движения совпадали у Земли не больше, чем у орбит планет. Но теперь это следовало строго доказать.
Доказав сначала реальность предполагаемого явления с помощью двух наблюдений Марса в той же гелиоцентрической долготе, сделанных в те моменты, когда разницы гелиоцентрических долгот планеты и Земли были равны, показав, что параллаксы вместо того, чтобы быть равными, отличаются на 1°14,5′, Кеплер определил эксцентриситет орбиты Земли с помощью наблюдений Марса в одной точке его орбиты, сделанных из нескольких точек орбиты Земли. В треугольнике между Солнцем (S), Землей (Е) и проекцией Марса на плоскости эклиптики (М) углы при S и Е известны, гелиоцентрическая долгота Марса взята либо у Браге, либо из заместительной теории; из них было найдено отношение сторон SE к SM. Аналогичным образом можно было установить отношение других радиус-векторов к SM, выбрав другие наблюдения Марса, сделанные по прошествии ровно одного или нескольких периодов сидерического обращения, и тогда нахождение радиуса круга, расстояния до S от центра и направления диаметра через S, то есть линии апсид, превращалось в простую геометрическую задачу. Из тех же наблюдений и таким же образом он определил расстояние от точки экванта до центра круга, и это расстояние, как и расстояние до Солнца от центра, было найдено равным приблизительно 0,018 00 (радиус = 1), или почти половине эксцентриситета Браге, так что уверенное подозрение Кеплера, что его следует разделить надвое и что Земля вращается точно по тем же принципам, что и планеты, полностью подтвердилось
[342]. Меньшее значение эксцентриситета прекрасно согласовалось с очень малым изменением видимого диаметра Солнца в течение года, при этом обнаружилось, что разница между уравнением центра, вычисленного по старой и новой теории, оказалась незначительной и составила не более чем несколько секунд.
