Подтверждение идеи Кеплера о сходстве движения Земли и планет естественно побудило его вернуться к гипотезе, высказанной в «Тайне мироздания», что это движение вызывает некая исходящая от Солнца сила; и так как действие подобной силы непременно должно так или иначе изменяться с изменением расстояния до Солнца, он пришел к мысли о переменной скорости планеты на протяжении всей ее орбиты. Таким образом, в конце концов Кеплеру удалось избавиться от птолемеевского экванта и заменить его законом, который впоследствии стал известен как второй закон Кеплера, хотя в действительности он был открыт первым. Поскольку орбиты планет расположены практически в одной плоскости, то есть плоскости эклиптики, Кеплер предположил, что сила (virtus) действует только в плоскости орбит и, следовательно, просто обратно пропорциональна расстоянию. То же самое имеет место с орбитальной скоростью, и, значит, небольшое время, за которое планета проходит по очень малой дуге орбиты, пропорционально радиус-вектору. Кеплер доказывает это для окрестности апсид в птолемеевском эксцентрическом круге и без дальнейших изысканий предполагает, что это верно для любой точки орбиты; и даже позже, признав, что орбиты имеют эллиптическую форму, он продолжал считать доказательство верным как нечто само собой разумеющееся. Сейчас нам известно, что в этом он был не прав, так как скорость в любой точке пропорциональна перпендикуляру из фокуса к касательной в рассматриваемой точке, так что теорема Кеплера верна только для апсид, где радиус-вектор перпендикулярен касательной. Но изъян в рассуждениях Кеплера любопытным образом компенсируется другим изъяном в выведении закона. Так как время, за которое планета проходит по очень малой дуге, пропорционально радиус-вектору, сумма отрезков времени, за которое планета проходит сумму малых дуг, образующих конечную дугу орбиты, будет пропорциональна сумме всех радиус-векторов, то есть (как он думает) площади сектора, описываемого радиус-вектором. Это второй недостаток, так как сумма бесконечного числа линий, находящихся бок о бок, не составляет площади, и это Кеплер должен был прекрасно понимать. Тем не менее теория всемирного тяготения доказала истинность знаменитого второго закона Кеплера, а именно что время, требующееся, чтобы описать дугу орбиты, пропорционально площади сектора, описываемого радиус-вектором. Однако способ, которым Кеплер вывел свой закон, был отнюдь не бесспорным. Он так и не узнал об ошибке в своем законе расстояний, но понимал, что сумма нескольких радиус-векторов неверно измеряет площадь сектора; но все-таки, обнаружив, что средние аномалии можно точно рассчитать по его второму закону, причем они будут согласоваться с наблюдениями, и не только для орбиты Земли, к которой он сначала применял его, но и для эллиптической орбиты Марса, он справедливо посчитал это твердо установленным фактом. Однако Марс по-прежнему причинял Кеплеру немало хлопот, поскольку, когда он из наблюдений вблизи перигелия и афелия вывел новые значения элементов, сравнение с наблюдаемыми местами в других частях орбиты вновь выявили вопиющие ошибки, которые в октантах достигали 8′.
Этот последний результат заронил в Кеплере подозрение, что форма орбиты не круговая, и показал необходимость продолжать исследования без каких-либо предвзятых допущений относительно формы орбиты. Однако ее можно было бы определить при известных расстояниях от Марса до Солнца в разных частях орбиты. Поэтому Кеплер вычислил три расстояния на основании гипотезы о круговой орбите и наблюдений. Результат оказался таков:
Поскольку наблюдаемые расстояния оказались меньше, чем рассчитанные из эксцентрического круга, следовал естественный вывод: орбита представляет собой не окружность, а кривую, которая, кроме как в апсидах, целиком лежит внутри круга. Это также объясняет, почему применение закона площадей дало результат, показывающий, что планета движется слишком быстро вблизи апсид и слишком медленно на среднем расстоянии, так как площади секторов круга везде, кроме как вблизи апсид, больше, чем у кривой, лежащей внутри круга. Поэтому Кеплер пришел к выводу, что «орбита планеты является не кругом, но овалом». В апсидах этот овал совпадает с кругом, а в аномалиях 90° и 270° больше всего отклоняется от круга, причем овал имеет яйцевидную форму, более широкую в афелии и более заостренную в перигелии. Чтобы объяснить эту примечательную форму орбиты, Кеплер разложил движение планеты на движение по эксцентрической окружности и движение по эпициклу. Он предположил, что планета обладает некой силой, противостоящей силе, исходящей от Солнца, которая толкает ее вперед, так что она описывает эпицикл попятным движением, а также он предположил, что планета движется неравномерно (в соответствии со вторым законом) на эксцентре, но равномерно на эпицикле.
Таким образом, Кеплер окончательно распрощался с гипотезой о круговой орбите, но зато столкнулся с большими трудностями при работе с яйцевидной орбитой и ее квадратурой, так что ему пришлось прибегнуть к приближенным методам. Заместительная теория с достаточной для этой цели точностью давала гелиоцентрическую долготу, то есть направление радиус-вектора; осталось только определить длину. Поэтому линия от перигелия до афелия (IH) сначала была поделена на неравные части, так что АС = 0,072 32 и SC = 0,113 32, где S — Солнце. Затем угол ХАМ был сделан равным средней аномалии, а из С проведена линия SM′, равная по длине среднему расстоянию Марса. Тогда SM′ будет истинным гелиоцентрическим направлением Марса.
Затем AS делится надвое в точке В, и ВР проведена параллельно AM, так что НВР – это средняя аномалия, тогда окружность вокруг B даст расстояние. На BP отмечен отрезок BМ″, равный среднему расстоянию, тогда SM″ – истинная длина радиус-вектора, и если сделать SМ‴ = SМ″, то М‴ (расположенная на линии SМ′) будет истинным местом планеты.
Для нахождения площадей секторов овала Кеплер заменил овал эллипсом, причем наибольшая ширина лунки между ним и эксцентрической окружностью равна 0,008 58
[343]. Это также дало ошибку примерно в 7′ в октантах, но со знаками противоположными знакам эксцентрической окружности показав, что истинная орбита находится где-то между окружностью и вспомогательным эллипсом
[344]. После ряда других бесплодных экспериментов он вычислил двадцать два расстояния от Марса до Солнца с помощью новой гипотезы. Эти вычисления демонстрируют, что он правильно определил линию апсид, и самым убедительным образом доказывают, что на самом деле она проходит через тело Солнца, как он всегда утверждал, а не через среднее Солнце. Но расстояния оказались слишком малы, с разницей 0,006 60 примерно в месте среднего расстояния. Поэтому истинная орбита со всей ясностью оказалась расположена между кругом и овалом.
